naisella on 400 metria piikkilankaa ja hän aitaa sillä suorakulmion muotoisen pellon. Pellon yhdelle sivulle tulee kaksinkertainen piikkilanka. Miten suuren alueen hän onnistuu aitaamaan.
vastaukseksi pitäisi saada noin 6700 nelimetriä.
osaako joku ratkoa tämän?
vastaukseksi pitäisi saada noin 6700 nelimetriä.
osaako joku ratkoa tämän?
Vastaukset 16
Vanhimmat
tuon osaan ratkaista.
Veikkaan, että naisen logiikalla tuo on jaa no olkoon.
Kuvaa suorakulmion toista sivua a:lla ja toista b:llä. Olkoon näistä vaikka a sen sivun pituus, jolla on kaksinkertainen määrä aitaa.
Koska aitaa on 400 metriä, on 3a 2b = 400 (3a, koska sivuja on kaksi ja toisella on kaksinkertainen määrä aitaa ja 2b, koska noilla sivuilla ei aitaa ole kuin yksinkertaisesti.
Ratkaiset edellisestä yhtälöstä jomman kumman muuttujan, sijoitat sen suorakulmion alan yhtälöön, derivoit, etsit derivaatan nollakohdan, ja lasket pinta-alan. Vielä pitää muistaa tarkistaa, että tuo derivaatan nollakohta on maksimi.
Niin, unohdin mainita, että kun kyseessä on nainen, hän tuskin saa aitoja tehtyä suoraan. Todellinen ala siis on pienempi. ;)
Pysyisit nyt sentään kysymyksen asiassa, onneton pikkupilisi vatkaaja.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=max x*y, 2*x 3*y =400
Tällaisten tehtävien ratkaisussa voi aina käyttää samanlaista menettelyä, koska tehtävässä on kahden muuttujan funktio, jota maksimoidaan tai minimoidaan, (tässä tapauksessa pellon ala) ja lisäksi rajoitusyhtälö (tässä tapauksessa piikkilangan pituus).
Ratkaisu menee siten, että rajoitusyhtälöstä (piikkilangan pituus) ratkaistaan jompikumpi muuttujista toisen muuttujan funktiona (pellon leveys tai pituus) ja tulos sijoitetaan maksimoitavaan tai minimoitavaan funktioon (pellon ala), jolloin tästä tulee yhden muuttujan funktio. Sitten saatu funktio derivoidaan, merkitään derivaatan arvo nollaksi ja ratkaistaan derivaattafunktion nollakohta. Nollakohta tai joku nollakohdista vastaa kysytyn maksimi- tai minimikohdan muuttujan arvoa. Toisen muuttujan arvo saadaan tietysti sijoittamalla ratkaisu rajoitusyhtälöön (piikkilangan pituus) ja maksimoitavan tai minimoitavan funktion arvo taas sijoittamalla muuttujan arvot alkuperäiseen (alan) yhtälöön.
Lisäksi pitää muistaa tarkistaa määrittelyvälin päätepisteet, maksimi saattaa löytyä niistäkin. Myös muu perustelu käy, esim. tämän tapaisissa pinta-ala-tehtävissä näkee helposti, että ala on määrittelyvälin päissä nolla.
Kun on kyse mittaluvuista, niin niillä on voimassa implisiittinen positiivisuusehto
Eikös tuon (2 muuttujaa rajoite) saa väännettyä Lagrangeksi?
Eli aitaan menee 5 pätkää lankaa. 400/5 = 80 metriä. 80 * 80 = 6400 m2. Menikö oikein?
A = 20000/3 m^2, kun pellon mitat ovat 100 m ja 200/3 m.
mistä tiedät mitkä ovat pellon mitat?
Mutta ilman sitä selviää mainiosti, ja jokainen
matemaattisesti lahjakas jättää derivoinnit tekemättä.
Näkisin mielelläni muuten kuin derivoinnilla saadun tarkan ratkaisun.
jos nyt vaikka lyhyemmän sivun pituus on 50 metriä. Se kaksi kertaa eli 100 metriä. Jäljelle jää siis 300 metriä piikkilankaa. Koska yhdelle sivulle tulee kaksinkertainen määrä lankaa, jaetaan loput kolmeen osaan. Jää siis kolme sadan metrin pätkää. Niistä saadaan 100 metriä aitaa. Paljonko on 50 m x 100 m? Mitä olette rakentamassa? Hölmöläisten peittoa?
Olkoot suorakulmion sivut x ja y.
Aidan tekemiseen tarvitaan piikkilankaa 3x 2y.
Kun tiedetään että tämä tekee yhteensä 400m, saadaan
3x 2y = 400
Ratkaistaan tästä y
y = (400–3x)/2 = 200 – 3/2 ·x
Suorakulmion pinta-alaksi saadaan
A = xy
Sijoittamalla alan lausekkeeseen yllä laskettu y:n arvo saadaan
A = x·(200 – 3/2 ·x)
A = –3/2 ·x² 200x
Derivoidaan pinta-alan lauseke:
A' = –3x 200
Derivaatta on laskeva suora, joten sen 0-kohta (x = 200/3) on maximiarvo.
Sijoittamalla saatu x:n arvo ylläolevaan y:n lausekkeeseen saadaan y = 100.
Saatuja x:n ja y:n arvoja vastaava maximi-pinta-ala on
A(max) = 200/3·100 ≈ 6666.67
Huom! 6700m²:n suuruista suorakulmiota näillä langoilla ei siis voi aidata.