Olkoon S_i niiden joukon {1,...,n} permutaatioiden (a_1,...,a_n) lukumäärä, joilla seuraavat ehdot ovat yhtä aikaa voimassa
1. a_i=n
2. a_1
1. a_i=n
2. a_1
Kombinatorinen ongelma
alkajakombinatoristi
6208
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Olkoon S_i niiden joukon {1,...,n} permutaatioiden (a_1,...,a_n) lukumäärä, joilla seuraavat ehdot ovat yhtä aikaa voimassa
1. a_i=n
2. a_1 pienempi kuin a_2 pienempi kuin ... pienempi kuin a_i, eli alkuosa muodostaa kasvavan jonon.
Laske S_1 ... S_n.
Tässä on jokin väärinkäsitys.
Permutaatiolla tarkoitetaan joukon alkioiden järjestystä.
Esim. Joukon {1, 2, 3} permutaatiot ovat:
{1, 2, 3}, {1, 3, 2}, {2, 1, 3}, {2, 3, 1}, {3, 1, 2} ja {3, 2, 1}
Mikä näistä on a_1 ? Entä a_2 ? ...
Mitä tarkoitat merkinnällä a_i = n ?
Mitä tarkoitat merkinnällä a_1 < a_2 ?
Joukon {1,2,3} permtaatiot ovat muotoa (1,2,3), ei {1,2,3}. Jos permutaatio on vaikkapa (3,1,2), niin tällöin a_1=3, a_2=1 ja a_3=2. Sainkin ratkaistua tehtävän. Vastaus lienee summa i=1 n:ään (n-1)!/(i-1)!.
Se merkitäänkö permutaatiota {1, 2, 3} tai (1, 2, 3) on vain merkintätapa-kysymys.
Mutta asiaan:
Noilla sinun merkinnöilläsi saan itse tulokseksi summa i=1 n:än (i-1)!·(n-i)! , eli
∑[i=1→n] (i-1)!(n-i)!
Tämän lausekkeen arvo poikkeaa sinun saamastasi tuloksesta kun n > 4.
Kyse ei ole vain notaatiosta, suluilla on erilaiset vakiintuneet merkitykset. Kaarisuluilla merkitään joukkoa esimerkiksi {1,2,3} ja normaaleilla suluilla jonoa esim. (1,2,3). Joukossa järjestyksellä ei ole väliä eli {1,2,3} on sama joukko kuin esim. {3,1,2}, mutta (1,2,3) ei ole sama kuin (3,2,1), koska siinä järjestyksellä on väliä.
Edelleen joukosta lasketaan vain erilaiset alkiot eli {1,1,2,2,3} = {1,2,3} kun taas jonossa sama alkio voi esiintyä useammassa paikassa.
Tarkkuutta.
Unohda toi mun edellinen vastaus! Laskuvirheitä!
Saan saman vastauksen kuin Sinäkin, siis
∑[i=1→n] (n-1)!/(i-1)!
Mitenkä päin mahdoin tänään herätä... ?
Pahoitteluni!