Ratkaise seuraavat yhtälöparit:
a) 7x 9y-8=0
9x-8y-69=0
b) x-2y=5
3x-3y=15
Kirjoita ensimmäisen asteen polynomifunktion yhtälö kun tiedetään että sen kuvaaja muodostaa suoran kulman funktio y=-3x 2 kanssa ja kulkee pisteen (6,8) kautta.
Ratkaise yhtälöpari:
a) y=x2 11x-9
y= 6x-13
Ratkaise epäyhtälöt:
4x2-2x-2>0
-x2-4x 3
a) 7x 9y-8=0
9x-8y-69=0
b) x-2y=5
3x-3y=15
Kirjoita ensimmäisen asteen polynomifunktion yhtälö kun tiedetään että sen kuvaaja muodostaa suoran kulman funktio y=-3x 2 kanssa ja kulkee pisteen (6,8) kautta.
Ratkaise yhtälöpari:
a) y=x2 11x-9
y= 6x-13
Ratkaise epäyhtälöt:
4x2-2x-2>0
-x2-4x 3
Vastaukset 7
Vanhimmat
Tee itse omat kotitehtäväsi. Sillä tavalla opit. Matematiikka on harjoitusaine, joka vaatii tanakkaa matematiikkapersettä.
Kiitos kovasti avusta ja rakentavasta palautteesta.
Lasketaanpas malliksi kohta a):
7x 9y-8=0
9x-8y-69=0
Hävitetään x. Sitä varten kerrotaan kumpikin yhtälö sopivilla luvuilla, niin että kun ne sitten lasketaan yhteen, niin x häipyy. Kerrotaan siis ensimmäinen yntälö 9:llä ja toinen yhtö -7:llä, jolloin saadaan aluksi. (Paras valinta kertoimiksi on sellainen, missä x:n kertoimien itseisarvoksi tulee alkuperäisten kerrointen pienin yhteinen jaettava).
63x 81y - 72 = 0
-63x 56y 483 = 0
Lasketaan yhteen yhtälöt
137y 411 = 0, jolloin
y = -411 / 137
___________
Tätä ei voi supistaa, koska 137 on jaoton luku
Sijoitetaan tämä y arvo esimerkiksi ensimmäiseen yhtälöön.
7x - 9*411/137 - 8 = 0
7x = 3699 / 137 8 = (3699 8*137) / 137 = 4795 / 137
x = 4795 / (7 * 137) = 685 / 137,
_________________________
Tämän raskaan ruumiilisen työn jälkeen on mahdollista, että jossain tuli virhe.
Tarkastetaan saadut arvot sijoittamalla ne toiseen yhtälöön:
9*685 / 137 8*411 / 137 - 69*137 / 137
= (6165 3288 - 9453) / 137 = 0. Huh huh!
Tämä tapa oli raaka ja koneellinen, jossa ei ajateltu mitään, mutta se toimii.
Seuraavalla tavalla voidaan muodostaa yhtälöryhä, joka on hieman söpömmän näköinen. Samalla esitetään toisenlainen ratkaisutemppu.
Lasketaan alkuperäiset yhtälöt yhteen:
16x y -77 = 0
Vähennetään toisesta yhtälöstä ensimmäinen:
2x - 17y - 61
Näin saadaan yhtälöryhmä
16x y -77 = 0
2x - 17y -61 = 0
Ratkaistaan ensimmäisestä yhtälöstä y:
y = -16x 77
Sijoitetaan se toiseen yhtälöön:
2x - 17*(-16x 77) - 61 = 0
2x 272 x - 1309 - 61 = 0
274 x = 1370
x = 1370 / 274 = 685 / 137, eli sama kuin edellä.
Koulutehtäviä on useinkin mahdollista yksinkertaistaa tälläisilla tempuilla, jos sattuu sellaisen keksimään.
Tämä e.m. postaukseni oli VAROITTAVA ESIMERKKI HUOLIMATTOMUUDESTANI.
Ilmoitin syvällä rintaäänellä, että ei voi supistaa, koska nimittäjä oli alkuluku. Mutta
jos osoittaja sattuu olemaan rajollinen tällä alkuluvulla, niin supistetaan niin kuin tyhjää vaan. Näin ollen
x = 685 / 137 = 5
y = .-411/137 = -3
Heh heh! Olkaapa huolellisia ja yrittäkää aina supistaa..
Aina vaan paranee. Puhuin jotain rajollisuudesta. Pitäisi olla jaollinen. Ei pidä tehä yötyötä.
Ihan käsittämätöntä... En ymmärrä mitään :(
Tee näin:
1.) Kertaa potenssin laskusäännöt sekä polynomeilla laskeminen, ellet osaa näitä peruasioita kristallin kirkkaasti.
2.) Opettele ratkaisemaan yksittäisten ensimmäisen ja toisen asteen polynomiyhtälöiden nollakohtia. Nollakohdalla tarkoitetaan sitä kohtaa eli muuttujan arvoa, jossa funktio saa arvon nolla. Jos piirretään funktion kuvaaja koordinaatistoon, näkyvät nämä nollakohdat luonnollisesti x-akselin ja kuvaajan leikkauskohtina.
3.) Yhtälöpari on kahden yhtälön ryhmä, jossa kummatkin yhtälöt ovat voimassa samaan aikaan. Yleisiä ratkaisumenetelmiä lineaaristen yhtälöparien ratkaisuun ovat mm. yhteenlaskukeino, sijoituskeino ja vertailukeino. Lue kirjastasi näistä tavoista. Jos kirjassasi on yksinkertainen esimerkki, kirjoita se uudelleen paperille ja mieti, mitä tapahtuu.
-- Juuri se, että yhtälöt ovat samaan aikaan voimassa, mahdollistaa sen, että voidaan esimerkiksi ratkaista toinen yhtälö jonkin muuttujan suhteen ja tämän jälkeen sijoittaa toiseen yhtälöön saatu tulos. Tämä on sijoituskeinon idea. Yritä ymmärtää se.
4.) Opettele ratkaisumenetelmät ensimmäisen ja toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi. Tee itsellesi ehdottoman selväksi, mitä tarkoittaa käsite epäyhtälö.
-- Toisen asteen epäyhtälö voidaan ratkaista esim. näin: 1.) Saata yhtälö sellaiseen muotoon, että vertailulukuna on nolla. 2.) Ratkaise nollakohdat. 3.) Piirrä merkkikaavio. 4.) Tulkitse merkkikaavion avulla ratkaisu. Ymmärtänet tämän listan sisällön konsultoituasi kirjaasi tai esimerkkitehtäviä
5.) Aloitusviestissäsi oli tehtävä "Etsi funktion f(x)= x^2 - 2x 1 pienin arvo, mikäli sellaista on." Lyhyesti: Tutki derivaatan avulla funktion kulkua. Siis derivoi polynomi, ratkaise derivaatan nollakohdat ja piirrä derivaatan merkkikaavio. Ääriarvokohdat löydät siitä. Huom! Tehtävän muotoilu viittaa siihen, että tehtävässä halutaan käytettävän hyväksi toisen asteen polynomin erikoislaatuisuutta sikäli, että sen kuvaajana on paraabeli, tässä tapauksessa ylöspäin aukeava paraabeli. Vai mitä, että tällöin funktion pienin arvo saavutetaan tietenkin paraabelin huipussa! Ratkaise siis huipun koordinaatit.