Monty Hall Problem

http://www.thisishowyoudoit.com/blog/movie21-variablechange-montyhall/

samaa siellä esitetään, että kun yksi väärä valinta paljastetaan, 2/3 todennäköisyys siirtyy sille toiselle, kilpailijan ei-valitsemalle ovelle.

Kommenteista löytyy uusi, yksinkertainen selitys:

"You have a 66.67% of NOT picking the door with the car at the beginning.
If the door that you pick at the start does not contain the car then the car MUST be behind the door that the host does not open.
Therefore if you always trade doors then your give yourself a 66.67% chance of winning the car."

Onko selitys oikea?

Toinen tapa ajatella asiaa on se, että vaihtaminen on ekvivalenttia sen kanssa, että saisit valita itsellesi kaksi laatikkoa ja saisit molempien sisällöt. Tällöin vaihtaminen tietenkin antaa kaksinkertaisen todennäköisyyden löytää auto.

Tämän kirjoituksen kommenteista löytyi melko hyvä selitys
http://delicategeniusblog.com/?page_id=134

Minusta selitys on aika hyvä ja luulen nyt ymmärtäväni asian.

Imagine you are given a choice of two games to play.

Game A rules:
There are three doors, and the prize is behind one of them. You choose ONE door, and if the prize is behind that door, you win.

Game B rules:
There are three doors, and the prize is behind one of them. You choose TWO doors, and if the prize is behind ANY of the two, you win.

Obviously you would always choose to play Game B. Now I will show that Game A translates to sticking, and game B translates to switching in the original game.

If you decide to stick, your initial choice means “I choose this door”. Then you ignore the host opening one of the other doors, and wait for him to open the door you’ve chosen initially. This is exactly Game A.

If you decide to switch, your initial choice actually means “I choose the OTHER TWO doors, NOT this one”. Then the host opens BOTH these doors for you, in two stages: first to show a goat, and then to show what’s behind the door you “switched” to. If the prize is behind EITHER of them, it is yours to take. This is exactly Game B

... on käyty ISO keskustelu jo aiemmin tällä palstalla -- on parempi, että etsit ja luet sen ensin, kuin että alkaisin selittää ongelman intuitiota.

... onko teillä lukiossa puhuttu 'ehdollisesta todennäköisyydestä'? Huomaa, että yhden portin/laatikon/luukun avaaminen antaa sinulle ehdon/infon/tiedon, jonka avulla pystyt tekemään valistuneemman arvauksen kuin jos arvaisit summittain.

Ongelmassa siis juontaja tietää missä luukussa auto sijaitsee. Siis kun juontaja avaa jonkin jäljellä olevista luukuista, hän avaa AINA luukun, missä on vuohi. Tällön alkuperäinen valinta menettää merkityksensä ja todennäköisyys on 1/2 vaihdolle.
Eli riippumatta siitä, onko kilpailija valinnut "auton", juontaja valitsee aina sen luukun, missä on vuohi. 2/3-todennäköisyys vaihdolle siis pätee vain, jos juontaja avaa jonkin jäljellä olevista luukuista sattumanvaraisesti.

Periaatteessa ymmärrän vastauksen 2/3 perustelut, mutta minulla on pieni dilemma. Jos juontaja avaa aina oven jonka takana on vuohi, tämä vuohi on oikeastaan merkityksetön.

Loogisesti alkuperäinen kysymys menisi näin:

A (B nor C)

B (A nor C)

C (A nor B)

A, B ja C ovat ovia. Jos A on tosi, auto on oven A takana jne. Mikä tahansa ylläolevista voi olla tosi, juontaja tietää mikä. Toisinsanoen kun valitset oven, mahdollisuutesi osua oikeaan on 1/3. Tehtyäsi valinnan, juontaja avaa yhden oven jonka takana on AINA vuohi. Oletetaan, että valitsit oven A ja juontaja avasi oven B. Tällöin lause B ei voi olla tosi. Näin vain lauseet

A (B nor C)

C (A nor B)

voivat enää olla tosia. Eli kun päästään vaihtovaiheeseen, on kaksi mahdollista tulosta. Sama juttu vaikka valitsisi mitkä ovet. Kisassa on aina yksi ovi, jonka totuusarvo on alusta alkaen nolla. Luulen, että päättelystäni puuttuu jokin tärkeä, sillä en usko olevani maailman älykkäin ihminen. Lyhyesti:

Jos siis juontaja valitsee aina oven, jonka takana on vuohi, se voidaan olettaa jo kisan alussa. Kisassa on siis oikeastaan vain kaksi ovea, auto ja jäljelle jäänyt vuohi.

Jopa nyt on vaikeaa taas.

1. Pelaat alkuperäisellä valinnalla aina loppuun saakka
Ensimmäisessä valintatilannetteessa mahdollisuus hävitä on 2/3. Et valitse koskaan muuta. Juontajan toiminta ei mitenkään vaikuta sinuun. Pelin lopussa mahdollisuutesi hävitä ovat siis 2/3.

2. Vaihdat valintaa juontajan avauttua ensimmäisen luukun.

Ensimmäinen valinnassa mahdollisuutesi hävitä on 2/3.

Juontaja tuo peliin uutta tietoa poistamalla toisen vuohen pelistä. Uudessa valinnassa mahdollisuutesi hävitä on 1/2. Teet myös sen.

Kahden peräkkäisen valinnan todennäköisyys saada vuohi on
2/3 x 1/3 -> tämä vaihtoehto on parempi.

Ehdollinen todennäköisyys on joskus vaikea ymmärtää. Ehkä seuraava muunnelma auttaa:

Kilpailija voi valita oven, ovia on sata tuhatya, joista yhden oven takana on auto ja 99 999:n takana vuohi. Kilpailija osoittaa yhtä ovea, mutta juontaja, joka tietää minkä oven takana auto on, avaa 99 998 ovea, joiden takana on vuohi ja kysyy, haluaako kilpailija vaihtaa valintansa.

Tuntuuko edelleen 50/50 valilnnalta?

Kirjoittelin itsekin silkkaa soopaa, tunnustan sen punastellen. Asia on näet paljon yksinkertaisempi.

Kolmen luukun tapauksessa pelaaja valinta sisältää auton todennäköisyydellä 1/3. Juontajalle jäävä setti sisältää auton todennäköisyydellä 2/3.

Pelin lopussa juontaja sitten kysyy onko pelaaja valmis vaihtamaan oman settinsä juontajan settiin.

Karvas totuus selvisi minulle, kun mietin hetken tuota 100.000 luukun vaihtoehtoa. Siinä juontajan setti sisältää auton todennäköisyydellä 99.999/100.000.

Tuo Monty-Hall-ongelma sai jopa maailmankuulun matemaattisen neron Paul Erdosin epätietoisuuden valtaan, kunnes hänelle vakuutteluksi esitettiin tietokonesimulaatio. Ongelman voi ratkaista joko intuitiolla tai tarkastelemalla huolellisesti ehdollisen todennäköisyyden peruskaavaa eli Bayesin sääntöä. Sen mukaan tapahtumille A ja B pätee todennäköisyyslaki

(1) P(A&B)=
(2) P(A|B)P(B)=
(3) P(B|A)P(A)

eli luonnollisella kielellä sanottuna: "Todennäköisyys, että (1) A ja B tapahtuvat on yhtä kuin todennäköisyys, että (2) A tapahtuu sen jälkeen eli sillä ehdolla, että B on tapahtunut, ja (3) päin vastoin".

Tätä Bayesin kaavaa ei välttämättä usein osaa laskea ilman huolellisuutta oikein. Nimittäin pitää erityisesti ja ehdottomasti käydä kaikki mahdolliset tapaukset todennäköisyysavaruudessa läpi. Tässä saattaa nimittäin tapahtua niin, että jos on kaksi identtisesti ilmenevää tapausta A1 ja A2 otosavaruudesta A=(A1,A2). Silloin pitää laskea sekä P(A1&A2) että P(A2&A1) eli esim. vuohi=(vuohi1,vuohi2) ja siitä eteenpäin.

Tätä ongelmaa on ajateltava tällä tavalla. Alkutilanteessa jokaisella vaihtoehdolla on 1/3 mahdollisuus toteutua. Tämä pitää ajatella niin, että sillä sinun ovellasi on 33% mahdollisuus ja niillä kahdella muulla ovella on 66% mahdollisuus yhteensä. Kun sitten paljastuu, että se toinen aukaistu ovi ei ollut oikea ovi niin tuo 66% siirtyy sille avaamattomalle ovelle.

Möntyn tapauksessa ei kyllä matematiikkaa tarvita. Ensimmäistä luukkua ei tietenkään lasketa mukaan, koska tiedetään, että se on bummi. Voidaan leppoisin mielin odottaa tyhjän kääntöä, ja sitten alkaa arpomaan 50/50.