Seuraavanlainen tehtävä, johon kaipailisin apua:
Millä a:n arvoilla yhtälöparilla
a) x y = a
2x ay = 4
b) 2x 2y = a
3x 6y = 5
on ratkaisuja (i) täsmälleen yksi, (ii) ei yhtään, (iii) äärettömän monta?
Olen koittanut sisäistää näitä juttuja mutta silti ei lähde käyntiin. Mitä tässä pitäisi vaiheittain tehdä?
Millä a:n arvoilla yhtälöparilla
a) x y = a
2x ay = 4
b) 2x 2y = a
3x 6y = 5
on ratkaisuja (i) täsmälleen yksi, (ii) ei yhtään, (iii) äärettömän monta?
Olen koittanut sisäistää näitä juttuja mutta silti ei lähde käyntiin. Mitä tässä pitäisi vaiheittain tehdä?
Vastaukset 2
Vanhimmat
x y=a II*(-2)
-2x-2y=-2a (A) ja 2x ay=4 (B)
Eliminoidaan muuttuja x laskemalla yhtälöt (A) ja (B) puolittain yhteen.
ay-2y=4-2a
(a-2)y=4-2a
Tutkitaan kaksi eri tapausta:
1.) a=2
Vasen puoli: (a-2)y=(2-2)y=0
Oikea puoli: 4-2a=4-2*2=4-4=0
Mahdollisia lukupareja x ja y on siis äärettömän monta, kun a=2.
2.) a≠2
(a-2)y=4-2a II:(a-2)
y=(4-2a)/(a-2)=-2
Sijoitetaan tuo esimerkiksi yhtälöön x y=a, josta saadaan x=a 2
Mahdollisia lukupareja on siis tasan yksi, kun a≠2.
(x=a 2 ja y=-2)
(i) a≠2
(ii) Sellaista a:n arvoa ei ole.
(iii) a=2
Determinanttitehtävähän tämä on.
Tällaisen yhtälöryhmän determinantit ovat:
a1x b1y=c1
a2x b2y=c2
D=a1b2-b1a2
Dx=c1b2-b1c2
Dy=a1c2-c1a2, ja yhtälöryhmän ratkaisujen lukumääriin tämä liittyy seuraavasti:
Yksi, JA VAIN YKSI, juuripari kun D=erisuuri kuin 0
Ääretön määrä ratkaisuja kun D=Dx=DY=0
Ei yhtään ratkaisua kun D=0 ja Dx, tai Dy = erisuuri kuin 0.
a-kohdassa
D=a-2
Dx=a^2-4
Dy=4-2a, joten
yksi ratkaisu, jos a=erisuuri kuin 2
Ääretön määrä ratkaisuja, jos a=2
Muuta mahdollisuutta ei ole
b-kohdassa
D=12-6=6
Dx=6a-10
Dy=10-3a
koska D=6, niin yhtälöryhmällä on aina yksi ratkaisu a:n arvosta riippumatta
ja muuta mahdollisutta ei ole