Osaisiko joku täällä selittää ihan käytännön tasolla, mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu? Tarkoitan käytännön tasolla sitä, että vastaus ei ole vain, että "on olemassa kaava, joka toimii". Derivoinnin määritelmä yms. ovat selkeät, joten ihan niin alusta ei tarvitse lähteä.
Esimerkkinä voisi käyttää seuraavaa:
f₀g, kun f(x)= 2x-3 ja g(x)= x2-1 (numero muuttujan perässä ei edessä ilmaisee potenssia).
Derivointi ja ketjusääntö
visualisti_aidosti
5
1295
Vastaukset
- noniinkai
Erotusosamäärä on (f(x h)-f(x))/((x h)-x), ja sitten kun h lähenee nollaa saadaan derivaatta.
Käytetään tuota funktion u(v(x)) derivoimiseen:
(u(v(x h))-u(v(x)))/((x h)-x). Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella:
(v(x h)-v(x))/(v(x h)-v(x)), siis ykkösellä . Tulee:
(u(v(x h))-u(v(x)))/(v(x h)-v(x))*(v(x h)-v(x))/((x h)-x)
Nyt kun h lähenee nollaa, niin alussa olevan derivaatan määritelmän mukaan tuo on:
u'(v(x))*v'(x), (ketjusääntö)
Nyt v(x)=2x-3, joten v '(x)=2
u = x^2-1, joten u '=2x, ja u '(v(x))=2*(2x-3)
koko derivaatta on: 2*(2x-3)*2=8x-12
Jos tuo derivoidaan toisella lailla , niin päästään helpolla:
u(x)=((2x-3)^2)-1, ja tuon derivaatta on 2*(2x-3)*2=8x-12- algebrikko
Todistus ei ole pätevä. Jos v(x h)-v(x), niin tulee nollalla jako. Yhdistetyn funktio derivointisääntö todistetaan karakterisaatiolauseen avulla, joka löytyy esimerkiksi monisteesta https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/70223997/Analyysi1H-S-1.pdf?version=1&modificationDate=1314612931677 sivulta 47.
- noniinkai
algebrikko kirjoitti:
Todistus ei ole pätevä. Jos v(x h)-v(x), niin tulee nollalla jako. Yhdistetyn funktio derivointisääntö todistetaan karakterisaatiolauseen avulla, joka löytyy esimerkiksi monisteesta https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/70223997/Analyysi1H-S-1.pdf?version=1&modificationDate=1314612931677 sivulta 47.
Ei se mikään todistus ollutkaan, selitin vain käytännön tasolla mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu. Tämä selitys on aikanaan kelvannut kyllä hyvin lukion oppikirjoihin, joissa ei mitenkään pohdita sitä, että sopivalla funktiolla ja sopivalla h:n arvolla v(x h) voi olla v(x).
Tässä nimenomaisessa tapauksessa se tosin ei ole mahdollista, koska v(x)=(2x)-3 ja v(x h)= (2(x h))-3= 2x 2h-3, joten v(x) olisi v(x h) vain h:n arvolla 0, mitä se vain lähestyy, mutta ei saavuta.
Tässä yhteydessä tämä selitys ketjusäännön toimivuudesta kyllä mielestäni ihan hyvin käy.
- noniinkai
korjataan vähän:
Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella: tämän tilalla pitää olla:
Kerrotaan tuo lausekkeella: - dudx
Olkoon u(v) yhdistetty funktio, jossa siis v = v(x)
Voidaan näppärästi kirjoittaa
du/dx = du/dv * dv/dx (tämä on se sääntö),
jonka huomaat toimivaksi suorittamalla kertolaskun, dv supistuu pois.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Vihamielisyys naisia kohtaan on jo yllättävän suuri ongelma
Esiintyy laajemmassa mittakaavassa, mitä vain tällä palstalla. Mistä tuo ilmiö nyt oikein johtuu, ja saa alkuvoimansa?6282888- 1071522
Odotan sitä hetkeä
kun nähdään taas. Tiedän, että sinäkin odotat. Kun se päivä koittaa, katseesi hakee minua. Ehkä arkailemme toisiamme väh671466Olen melko vakuuttunut
etten tule olemaan koskaan täysin onnellinen ilman sinua. En uskonut, että näin kävisi kenenkään kanssa. Kunnes sain kok831390- 1381276
- 1141274
- 1041125
Postimerkki kirjeeseen ja kortiin maksaa jo 3 euroa!
https://yle.fi/a/74-20229241 Kyllä tämä on järjetön hinta, Posti tuhoaa itsensä tällä hinnalla, täytyyhän Postin "Herro1381051- 48960
- 49929