Osaisiko joku täällä selittää ihan käytännön tasolla, mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu? Tarkoitan käytännön tasolla sitä, että vastaus ei ole vain, että "on olemassa kaava, joka toimii". Derivoinnin määritelmä yms. ovat selkeät, joten ihan niin alusta ei tarvitse lähteä.
Esimerkkinä voisi käyttää seuraavaa:
f₀g, kun f(x)= 2x-3 ja g(x)= x2-1 (numero muuttujan perässä ei edessä ilmaisee potenssia).
Derivointi ja ketjusääntö
visualisti_aidosti
5
1277
Vastaukset
- noniinkai
Erotusosamäärä on (f(x h)-f(x))/((x h)-x), ja sitten kun h lähenee nollaa saadaan derivaatta.
Käytetään tuota funktion u(v(x)) derivoimiseen:
(u(v(x h))-u(v(x)))/((x h)-x). Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella:
(v(x h)-v(x))/(v(x h)-v(x)), siis ykkösellä . Tulee:
(u(v(x h))-u(v(x)))/(v(x h)-v(x))*(v(x h)-v(x))/((x h)-x)
Nyt kun h lähenee nollaa, niin alussa olevan derivaatan määritelmän mukaan tuo on:
u'(v(x))*v'(x), (ketjusääntö)
Nyt v(x)=2x-3, joten v '(x)=2
u = x^2-1, joten u '=2x, ja u '(v(x))=2*(2x-3)
koko derivaatta on: 2*(2x-3)*2=8x-12
Jos tuo derivoidaan toisella lailla , niin päästään helpolla:
u(x)=((2x-3)^2)-1, ja tuon derivaatta on 2*(2x-3)*2=8x-12- algebrikko
Todistus ei ole pätevä. Jos v(x h)-v(x), niin tulee nollalla jako. Yhdistetyn funktio derivointisääntö todistetaan karakterisaatiolauseen avulla, joka löytyy esimerkiksi monisteesta https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/70223997/Analyysi1H-S-1.pdf?version=1&modificationDate=1314612931677 sivulta 47.
- noniinkai
algebrikko kirjoitti:
Todistus ei ole pätevä. Jos v(x h)-v(x), niin tulee nollalla jako. Yhdistetyn funktio derivointisääntö todistetaan karakterisaatiolauseen avulla, joka löytyy esimerkiksi monisteesta https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/70223997/Analyysi1H-S-1.pdf?version=1&modificationDate=1314612931677 sivulta 47.
Ei se mikään todistus ollutkaan, selitin vain käytännön tasolla mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu. Tämä selitys on aikanaan kelvannut kyllä hyvin lukion oppikirjoihin, joissa ei mitenkään pohdita sitä, että sopivalla funktiolla ja sopivalla h:n arvolla v(x h) voi olla v(x).
Tässä nimenomaisessa tapauksessa se tosin ei ole mahdollista, koska v(x)=(2x)-3 ja v(x h)= (2(x h))-3= 2x 2h-3, joten v(x) olisi v(x h) vain h:n arvolla 0, mitä se vain lähestyy, mutta ei saavuta.
Tässä yhteydessä tämä selitys ketjusäännön toimivuudesta kyllä mielestäni ihan hyvin käy.
- noniinkai
korjataan vähän:
Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella: tämän tilalla pitää olla:
Kerrotaan tuo lausekkeella: - dudx
Olkoon u(v) yhdistetty funktio, jossa siis v = v(x)
Voidaan näppärästi kirjoittaa
du/dx = du/dv * dv/dx (tämä on se sääntö),
jonka huomaat toimivaksi suorittamalla kertolaskun, dv supistuu pois.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Lindtman I vasemmistohallitus aloittaa viimein Suomen kuntoon laittamisen
Tässä nyt on 3 vuotta seurattu irvokasta kärsimysnäytelmää nimeltään "valtion budjetin tasapainotus by äärioikeisto", ja1552540Missä viipyy persujen lupaama euron bensa?
En edes muista milloin bensapumpussa olisi ollut ykkösellä alkava litrahinta. Missä siis viipyy persujen lupaama euron b1482377Kirje, PellePelottomalle.
Tärkeää olisi luoda ystävyys, että se, jota rakastaa, on samalla paras ystävä ja luotettavin, jolle voi ja uskaltaa luot1021072- 64891
- 65829
Persut jakavat tekoälyllä tehtyjä kuvia maahanmuuttajista somessa
Eivät mainitse, että ovat tekoälyllä tehtyjä. Eivät näe asiassa mitään ongelmaa. Valehtelijapuolue taas vauhdissa. Unka274717Mistä löytyy naisseuraa sinkkumiehelle?
Kertokaapas kokeneemmat mistä löytyis naisseuraa sinkulle. Ihan ois eukko nyt tosissaan hakusessa. Tanssipaikat kun on a18717Voi teitä naisia
Suudeltiin ja nukuttiin toisissamme kiinni mutta pillua ei tullu, ei edes aamulla. t.38vmies85700Martinan hevoset.
Tämä todella kaunis ja ketterä harmaa hevonen jolla monet kilpailut voitetaan ei ole Martinan.Tytär ratsastaa sillä tait203680Hyvä meininki
TTP:ssa väkeä tosi runsaasti paikalla. Hyvää ruokaa jälleen ja munkit ja sima erinomaista. Kiitos yrittäjälle! Hieno Vap22658