Osaisiko joku täällä selittää ihan käytännön tasolla, mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu? Tarkoitan käytännön tasolla sitä, että vastaus ei ole vain, että "on olemassa kaava, joka toimii". Derivoinnin määritelmä yms. ovat selkeät, joten ihan niin alusta ei tarvitse lähteä.
Esimerkkinä voisi käyttää seuraavaa:
f₀g, kun f(x)= 2x-3 ja g(x)= x2-1 (numero muuttujan perässä ei edessä ilmaisee potenssia).
Esimerkkinä voisi käyttää seuraavaa:
f₀g, kun f(x)= 2x-3 ja g(x)= x2-1 (numero muuttujan perässä ei edessä ilmaisee potenssia).
Vastaukset 5
Vanhimmat
Erotusosamäärä on (f(x h)-f(x))/((x h)-x), ja sitten kun h lähenee nollaa saadaan derivaatta.
Käytetään tuota funktion u(v(x)) derivoimiseen:
(u(v(x h))-u(v(x)))/((x h)-x). Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella:
(v(x h)-v(x))/(v(x h)-v(x)), siis ykkösellä . Tulee:
(u(v(x h))-u(v(x)))/(v(x h)-v(x))*(v(x h)-v(x))/((x h)-x)
Nyt kun h lähenee nollaa, niin alussa olevan derivaatan määritelmän mukaan tuo on:
u'(v(x))*v'(x), (ketjusääntö)
Nyt v(x)=2x-3, joten v '(x)=2
u = x^2-1, joten u '=2x, ja u '(v(x))=2*(2x-3)
koko derivaatta on: 2*(2x-3)*2=8x-12
Jos tuo derivoidaan toisella lailla , niin päästään helpolla:
u(x)=((2x-3)^2)-1, ja tuon derivaatta on 2*(2x-3)*2=8x-12
Todistus ei ole pätevä. Jos v(x h)-v(x), niin tulee nollalla jako. Yhdistetyn funktio derivointisääntö todistetaan karakterisaatiolauseen avulla, joka löytyy esimerkiksi monisteesta https://wiki.helsinki.fi/download/attachments/70223997/Analyysi1H-S-1.pdf?version=1&modificationDate=1314612931677 sivulta 47.
Ei se mikään todistus ollutkaan, selitin vain käytännön tasolla mihin derivoinnin ketjusääntö perustuu. Tämä selitys on aikanaan kelvannut kyllä hyvin lukion oppikirjoihin, joissa ei mitenkään pohdita sitä, että sopivalla funktiolla ja sopivalla h:n arvolla v(x h) voi olla v(x).
Tässä nimenomaisessa tapauksessa se tosin ei ole mahdollista, koska v(x)=(2x)-3 ja v(x h)= (2(x h))-3= 2x 2h-3, joten v(x) olisi v(x h) vain h:n arvolla 0, mitä se vain lähestyy, mutta ei saavuta.
Tässä yhteydessä tämä selitys ketjusäännön toimivuudesta kyllä mielestäni ihan hyvin käy.
korjataan vähän:
Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä lausekkeella: tämän tilalla pitää olla:
Kerrotaan tuo lausekkeella:
Olkoon u(v) yhdistetty funktio, jossa siis v = v(x)
Voidaan näppärästi kirjoittaa
du/dx = du/dv * dv/dx (tämä on se sääntö),
jonka huomaat toimivaksi suorittamalla kertolaskun, dv supistuu pois.