Ovatkohan sinne päinkään oikein?
a) e^2x 2
b) x^3*e^x^2
Teinköhän a-kohdan oikein, viitsisikö joku tarkistaa? :)
Funktion g(t)=e^t Taylorin polynomi kehityskeskuksena on a=0 on Pn(t) = 1 t t^2/2! t^3/3! .... t^n/n!
Sij. t=2x 2
=> Saadaan funktion g(2x 2) = e^2x 2 = f (x) Taylorin polynomi:
=> 1 2x 2 (2x 2)^2 / 2! (2x 2)^3 / 3! ..... (2x 2)^n / n!
= 1 4x^2 4 / 2! 8x^3 8 / 3! .... (2x 2)^n / n!
B-kohta) (onkohan sinne päinkään??)
= x^2 (1 (3x^2) 1/2!(3x^2)^2 1/3!(3x^2)^3 1/4!(3x^2)^4 ....
= x^2(1 3x^2 1/2!*3^2x^4 1/3!*3^3x^5 1/4! 3^4x^6 ....
a) e^2x 2
b) x^3*e^x^2
Teinköhän a-kohdan oikein, viitsisikö joku tarkistaa? :)
Funktion g(t)=e^t Taylorin polynomi kehityskeskuksena on a=0 on Pn(t) = 1 t t^2/2! t^3/3! .... t^n/n!
Sij. t=2x 2
=> Saadaan funktion g(2x 2) = e^2x 2 = f (x) Taylorin polynomi:
=> 1 2x 2 (2x 2)^2 / 2! (2x 2)^3 / 3! ..... (2x 2)^n / n!
= 1 4x^2 4 / 2! 8x^3 8 / 3! .... (2x 2)^n / n!
B-kohta) (onkohan sinne päinkään??)
= x^2 (1 (3x^2) 1/2!(3x^2)^2 1/3!(3x^2)^3 1/4!(3x^2)^4 ....
= x^2(1 3x^2 1/2!*3^2x^4 1/3!*3^3x^5 1/4! 3^4x^6 ....
Vastaukset 5
Vanhimmat
f(x)=e^(2x 2)=>e^2
f`(x)=2e^(2x 2)=>2e^2*x
f``(x)=4e^(2x 2)=>4e^2*x^2
http://www.numberempire.com/taylorseriesexpansion.php
laitetaan nyt ne kertomatkin
f(x)=e^(2x 2)=>e^2
f`(x)=2e^(2x 2)=>2e^2*x/
f``(x)=4e^(2x 2)=>4e^2*x^2/2!
f````(x)=8e^(2x 2)=>8e^2*x^3/3!
http://www.numberempire.com/taylorseriesexpansion.php
tohon laskimeen kirjoitetaan funktio noin ja sitten poweriin tarvittava lkm
Ok, mites tuo b-kohta? Saan tuolta vastaukseksi x^3 .. miten se pitäisi tulkita?
Tu on jo neljäs termi, kun kolme ekaa ovat nollia.
Minä nyt pidän funktiona f(x)=e^(2x)*x^3,ja merkitään a=e^(2x) ja b=x^3
Sitten vaan derivaattoja ja Pascallin kolmiolla niitä saa:
f'(x)=a'b b'a
f''(x)=a''b 2a'b' b''a
f'''(x)=a'''b 3a''b 3b''a b'''a
jne
Sitten pitäisi muodostaa nuo derivaatat a',a'',a''' ja b',b'',b'''
Sitten vaan Taylorin sarjasta termejä ja 0 0 0 x^3 2x^4.... enempää en viitsi
(Tähän on varmaan joku helppo ratkaisukin olemassa, minä tosin en sitä tiedä, mutta odotetaaaan.....)
Kirjoitetaan näitä nyt kun on aikaa. Tuo ”potenssimerkintä” tarkoittaa derivaatta-astetta.
f^3(x)=a^3b 3a^2b^1 3b^2a^1 b^3a
f^4(x)=a^4b 4a^3b^1 6a^2b^2 4a^1b^3 ab^4
f^5(x)=a^5b 5a^4b^1 10a^3b^2 10a^2b^3 5a^1b^4 ab^5
f^6(x)=a^6b 6a^5b^1 15a^4b^2 20a^3b^3 15a^2b^4 6a^1b^5 ab^6
ja ne derivaatat:
a=e^(2x)---------b=x^3
a^1=2e^(2x)-----b^1=3x^2
a^2=4e^(2x)-----b^2=6x
a^3=8e^(2x)-----b^3=6
a^4=16e^(2x)----b^4=0
a^5=32e^(2x)----b^5=0
a^6=64e^(2x)----b^6=0.
Nyt kun x:n paikalle asetetaan 0, saadaan termejä, ja termien perään liitetään vastaava x:n potenssi, ja jaetaan vastaavalla kertomalla. Muut b-termit menevät nollaksi ja aina jää vain tuo b^3=6 termi, koska se ei sisällä nollaksi asetettavaa x:ää. Koska e^(2*0)=1, niin a-termeistä jää etukerroin
f^3=>b^3a=6*e^(0)*x^3/3!=x^3
f^4=>4a^1b^3=4*2*6*x^4/4!=2x^4
f^5=>10a^2b^3=10*4*6*x^5/5!=2x^5
f^6=>20a^3b^3=20*8*6*x^6/6!=4/3x^6
f^7=>35a^4b^3=35*16*6*x^7/7!=2/3x^7