Miten ihmeessä lasken:
Pistem¨aisen kappaleen (massa m) impulssimomentti koordinaatiston origon
suhteen m¨a¨aritell¨a¨an yht¨al¨oll¨a L = r × p, miss¨a p = mv = mdr/dt on
kappaleen liikem¨a¨ar¨a ja r on sen paikkavektori. Lis¨aksi Newtonin lain mukaan
voima F = ma = dp/dt. Osoita, ett¨a dL/dt = r × F ja p¨a¨attele t¨ast¨a, ett¨a
kun liike tapahtuu keskeisvoiman (F / r) vaikutuksesta L on vakio.
Pistem¨aisen kappaleen (massa m) impulssimomentti koordinaatiston origon
suhteen m¨a¨aritell¨a¨an yht¨al¨oll¨a L = r × p, miss¨a p = mv = mdr/dt on
kappaleen liikem¨a¨ar¨a ja r on sen paikkavektori. Lis¨aksi Newtonin lain mukaan
voima F = ma = dp/dt. Osoita, ett¨a dL/dt = r × F ja p¨a¨attele t¨ast¨a, ett¨a
kun liike tapahtuu keskeisvoiman (F / r) vaikutuksesta L on vakio.
Vastaukset 2
Vanhimmat
L=r x p
dL/dt=d(r x p)/dt=(dr/dt x p) (r x dp/dt)
p=mdr/dt=>dr/dt=1/m*p
1/m*(p x p) (r x dp/dt)=r x F, koska F=dp/dt, ja p x p =0
dL/dt=r x F = |r|*|F|*sin (välinen kulma), ja keskeisliikkeessä r ja F ovat yhdensuuntaisia, joten sin(välinen kulma )=0
dL/dt=0, joten L=vakio
On jäänyt yksikkövektori e pois tuosta r x F:n lausekkeesta, ristitulo on vektori.
Jälkimmäinen päättely kai menisi paremmin, niin että keskeisliikkeessä r ja F vektorit ovat yhdensuuntaisia, joten niiden välinen ristitulovektori on nollavektori, joten dL/dt=0, ja
L on vakio.
·
Sehän saadaan: L=r x p=r x (mv)= r x (m(wxr))=m(r·r)w-m(r·w)r, ja koska r·w=0, niin
L=mr^2w