Luetelkaa jokainen välivaihe. Alusta loppuun. Kiitos.
Ratkaise Diofantoksen yhtälö 41x + 12y = 1
matematiikkalogiikka
151330
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
En anna vastausta suoraan, sillä se ei hyödyttäisi ketään. Luettelenpa tässä silti välivaiheet:
1) Laske syt(41,12) Eukleideen algoritmilla.
2) Ratkaise jakojäännökset saamistasi yhtälöistä.
3) Lähde sijoittamaan alemmalle jakojäännökselle saamasi esitys ylempään.
4) Loppujen lopuksi päädyt tilanteeseen 41a 12b=1. Tässä (a,b) on haetun yhtälön yksittäisratkaisu.
5) Sijoita yksittäisratkaisu yleisen ratkaisun kaavaan (ks. esim. Maol) ja sievennä tarvittaessa.
Jos tämä tuntuu liian hankalalta, kannattaa yrittää ratkaista jokin helpompi samanlainen yhtälö, esim. x 2y=1.
Tällä vastauksella ei ole mitään tekemistä Diofantoksen yhtälöiden kanssa,enkä niistä mitään ymmärräkään, mutta tuota yhtälöä voi kokonaislukuratkaista myös vektoreilla.
41x 12y=1, tämä on suoran yhtälö, ja haetaan mielivaltaisesti kaksi pistettä, jotka toteuttavat tuon yhtälön esim: (1,-10/3) ja (2,-27/4).
Suoran vektorimuotoinen yhtälö xi yj=i-10/3j t((1-2)i (-10/3 27/4)j)=
(1-t)i (41t/12-10/3)j
Ja suoran parametrimuotoinen yhtälö: x=1-t, ja y=41t/12-10/3
Kokonaislukuja x ja y kun haetaan, niin myös t on oltava kokonaisluku, jotta x on kokonaisluku, ja vielä parillinenkin, jotta myös y =(41t-40)/12 on kokonaisluku.
(ratkaisua kannattaa hakea 12:sta tekijöistä)
Kakkosilla ei tule kokonaislukua, mutta jo t= -4:lla tulee, joten y=-17 ja x=5
Tästä saadaan myös kaikki ratkaisut vähän veivaamalla. Oletetaan, että tuo yksi ratkaisu tulee noista, kun n=0: x=a*n 5 ja y=b*n-17. Silloin kaikki ratkaisut voidaan esittää kahdella tavalla, ja niistä tulee:
an 5=1-t
bn-17=41t/12-10/3, näistä tulee: b=-41a/12, joten x=an 5, ja y=-41an/12-17, ja koska kokonaislukuja haetaan, niin a=12.
x=12n 5 ja y=-41n-17
(Joskus takavuosina tällä sivustolla hain näin myös kolmen muuttujan Diofantoksen yhtälölle ratkaisut, ja silloin on haettava tasolta kolme pistettä, tason suuntavektori, tason vektorimuoto ja tason parametrimuoto. Silloin taisi heti löytyä tasolta kolme kokonaislukupistettä, joten oli helpompi.)
Hyviä tehtäviä minäkin alan tuota mietiskelemään, kun jaksan. Tietystikin käytän jotain ostamaani nopeaa c-kääntäjää apuna laskuissa.
Hauskoja ja hyviä tehtäviä.
41/12 = 3, jakojäännös 5 = 41 - 3x12
12/5 = 2, jakojäännös 2 = 12 - 2x5
5/2 =2, jakojäännös 1 = 5 - 2x2 = 5 - 2(12 - 2x5) =5x5 -2x12
= 5(41-3x12) - 2x12 = 5x41 - 17x12
x = 5, y = -17 yksi ratkaisu, yleinen ratkaisu
x = 5 12n, y = -17 - 41n
Kiitos. En tajunnut yhdistää nuita 2x12 ja 15x12 = 17x12.
Ekalle vastanneelle vielä, että osaan kyllä laskea näitä laskuja ja sinun teoriat olivat sinun aikasi tuhlausta. En tajunnut vaan tuota pientä välivaihetta.
Yksittäisratkaisu löytyy myös kokeilemalla. Ratkaistaan aluksi y.
y=(1-41x)/12. Seuraavaksi lasketaan y:n arvoja eri x:n arvoilla. Kun
x=1, y=-3,3...
x=2, y=-6,75
x=3, y=-10,16...
x=4, y=13,583..
x=5, y=-17
Saatiin siis yksittäisratkaisu
x=5, y=-17
Minulla on tapana kehitellä päässälaskumetodeita. Tämäkin menee päässälaskuna seuraavasti. Todetaan aluksi että 41 on alkuluku ja selvästikin x:n on oletava pariton.
Tarkastellaan miten mod(41x,12) muuttuu x:n kasvaessa parittomina lukuina. Koska mod(41, 12)=5 ja mod 3*41, 12)=3, jokaista x:n kasvuaskelta kohden modulo pienenee kahdella (mod 12). Näin ollen mod(5*41, 12)=1, jolloin y saadaan yhtälöstä 5*41 12y=1. Eli y = -204/12.
Ratkaisu tuohon tehtävään löytyy helposti myös ketjumurtolukujen avulla.
Koska 41/12 = [3;2,2,2] ja [3;2,2]=17/5 niin
[3;2,2,2]-[3;2,2]=41/12-17/5=1/(5*12), josta
5*41-17*12=1
Mitenkähän vaikkapa ylioppilastutkintolautakunta tuollaiseen ratkaisuun suhtautuisi? Eikö se ole vähän liian yksinkertainen ja perustu lukion kurssikokonaisuuksiin sisältymättömiin tietoihin?
Ei kai se sentään vaadi perusteluja, että 5*41-17*12=1? Sen voi varmaan ilmoittaa ihan suoraan ilman välivaiheita. Mutta jos ylppäreissä antaa vaan yhden ratkaisun, niin ei kai siitä montaakaan pistettä irtoa.
Ei tuollaista voi kuitenkaan hihasta vetää. Ja kun kursseihin sisältymättömiä ketjumurtolukuja käytetään, niin niiden teoria pitäisi vastauksessa kyllä kunnolla selittää.
Kyllä se riittää, että löydetään ensin yksi ratkaisu. Tämän jälkeen on helppo osoittaa, että kaikki muut ratkaisut saadaan tuon ratkaisun ja vastaavan homogeenisen yhtälön 41x 12y=0 ratkaisujen summina. Ja tämän homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on helppo löytää, koska kertoimet ovat keskenään jaottomia.
Eikö voitaisi sopia, ettei tänne laiteta sellaista matematiikkaa, jota ei kouluissa opeteta?
x y
5 -17
17 -58
29 -99
41 -140
53 -181
65 -222
77 -263
...jne
.