Tällaista aloin pohtimaan. Siis onko otsikon mukaista joukkoa olemassa. Kyse on siis euklidisen avaruuden (dim > 1) osajoukosta ja mielellään saisi olla mitallinen, jotta sen mitasta voidaan puhua. (Voitaisiin tietysti vaatia positiivista ulkomittaa...)
Esimerkin keksin sellaisesta, joka on yhtenäinen ja ei sisällä janoja (esim. ympyrä, duh) mutta tämä on nollamittainen.
Toinen esimerkkini on yhtenäinen ja positiivimittainen, mutta tässä on janoja. Tällaisiahan tietysti on helppo keksiä, mutta esim. on seuraavanlainen:
A = R^2 \ Q^2 = { (x, y) € R^2 | x ja y eivät molemmat ole rationaalisia}.
A:n yhtenäisyyden osoittamiseen löysin aikonani mukavan todistuksen:
Olkoon s jokin y-akselin suuntainen suora, jolla x-koordinaatti on irrationaalinen.
Olkoot sitten p ja q joukon A pisteitä.
Tutkitaan kaikkia polkuja [p, a] U [a, q] (eli kahden janan muodostamaa murtoviivaa), missä a € A.
Näitä on ylinumeroituva määrä, joten jokaiselta ei voi löytyä QxQ:n pistettä. Siis ainakin yksi tällainen polku sisältyy kokonaan A:han. Siis A on polkuyhtenäinen.
Minun intuitioni olisi sanonut aluksi, että A:ssa ei voi olla janoja, mutta kuten nähtiin, niitä löytyy vieläpä siten, että mitkätahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää kahden janan murtoviivalla.
Tuon positiivimittaisuuden lisäsin ehtoihin vain siksi, että löysin nollamittaisia esimerkkejä ("käyrät"), mutta tähän voisi miettiä muunlaistakin vaatimusta...(?).
Esimerkin keksin sellaisesta, joka on yhtenäinen ja ei sisällä janoja (esim. ympyrä, duh) mutta tämä on nollamittainen.
Toinen esimerkkini on yhtenäinen ja positiivimittainen, mutta tässä on janoja. Tällaisiahan tietysti on helppo keksiä, mutta esim. on seuraavanlainen:
A = R^2 \ Q^2 = { (x, y) € R^2 | x ja y eivät molemmat ole rationaalisia}.
A:n yhtenäisyyden osoittamiseen löysin aikonani mukavan todistuksen:
Olkoon s jokin y-akselin suuntainen suora, jolla x-koordinaatti on irrationaalinen.
Olkoot sitten p ja q joukon A pisteitä.
Tutkitaan kaikkia polkuja [p, a] U [a, q] (eli kahden janan muodostamaa murtoviivaa), missä a € A.
Näitä on ylinumeroituva määrä, joten jokaiselta ei voi löytyä QxQ:n pistettä. Siis ainakin yksi tällainen polku sisältyy kokonaan A:han. Siis A on polkuyhtenäinen.
Minun intuitioni olisi sanonut aluksi, että A:ssa ei voi olla janoja, mutta kuten nähtiin, niitä löytyy vieläpä siten, että mitkätahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää kahden janan murtoviivalla.
Tuon positiivimittaisuuden lisäsin ehtoihin vain siksi, että löysin nollamittaisia esimerkkejä ("käyrät"), mutta tähän voisi miettiä muunlaistakin vaatimusta...(?).
Vastaukset 4
Vanhimmat
Korjausta: Siis intuitio olisi sanonut, että A:ssa ei ole muunlaisia kuin pysty- ja vaakasuoria janoja (jollaisia suoria on). Mutta nyt kun tarkemmin miettii, niin tietysti:
irrationaali-kulmakertoimisella suoralla rationaalista koordinaattia vastaa irrationaalinen, joten molemmat koordinaatit eivät voi olla rationaalisia.
Lisäkysymys: Onko joukko
B = { (x,y) € R^2 | x ja y molemmat irrationaalisia}
yhtenäinen? Ja sisältääkö se janoja? Positiivimittainen (ääretön) se selvästi on, mutta mitenkäs tämäkään osoitetaan? (R^2:sta poistettava osuus on jotenkin paljon "pienempi" kuin B, mutta ei numeroituva, joten suoraan sen perusteella ei voida sanoa).
C= Yhdiste seuraavista joukoista "x-akselin suuntaiset suorat, jonka y-koordinaatti on rationaaliluku" ja "y-akselin suuntaiset suorat, jonka x-koordinaatti on rationaaliluku"
Nyt B=R^2\C
Auttaako tuo pähkäilemään tuotostasi, joukkosi B ei voi olla yhtenäinen.
Joo, tietenkään se ei ole yhtenäinen :).
Eikä myöskään sisällä janoja, sillä janalla olisi aina rationaalikoordinaattisia (ainakin toinen koordinaatti rationaalinen) pisteitä.
Mutta alkuperäinen kysymys on voimassa.
Tällainen yhtenäinen, positiivimittainen janaton joukko on olemassa. http://math.stackexchange.com/questions/593159/connected-0-measure-set-does-not-contain-line-segments