Yhtenäinen, positiivimittainen joukko, jossa ei janoja?

Tällaista aloin pohtimaan. Siis onko otsikon mukaista joukkoa olemassa. Kyse on siis euklidisen avaruuden (dim > 1) osajoukosta ja mielellään saisi olla mitallinen, jotta sen mitasta voidaan puhua. (Voitaisiin tietysti vaatia positiivista ulkomittaa...)

Esimerkin keksin sellaisesta, joka on yhtenäinen ja ei sisällä janoja (esim. ympyrä, duh) mutta tämä on nollamittainen.

Toinen esimerkkini on yhtenäinen ja positiivimittainen, mutta tässä on janoja. Tällaisiahan tietysti on helppo keksiä, mutta esim. on seuraavanlainen:

A = R^2 \ Q^2 = { (x, y) € R^2 | x ja y eivät molemmat ole rationaalisia}.

A:n yhtenäisyyden osoittamiseen löysin aikonani mukavan todistuksen:
Olkoon s jokin y-akselin suuntainen suora, jolla x-koordinaatti on irrationaalinen.
Olkoot sitten p ja q joukon A pisteitä.

Tutkitaan kaikkia polkuja [p, a] U [a, q] (eli kahden janan muodostamaa murtoviivaa), missä a € A.

Näitä on ylinumeroituva määrä, joten jokaiselta ei voi löytyä QxQ:n pistettä. Siis ainakin yksi tällainen polku sisältyy kokonaan A:han. Siis A on polkuyhtenäinen.

Minun intuitioni olisi sanonut aluksi, että A:ssa ei voi olla janoja, mutta kuten nähtiin, niitä löytyy vieläpä siten, että mitkätahansa kaksi pistettä voidaan yhdistää kahden janan murtoviivalla.

Tuon positiivimittaisuuden lisäsin ehtoihin vain siksi, että löysin nollamittaisia esimerkkejä ("käyrät"), mutta tähän voisi miettiä muunlaistakin vaatimusta...(?).