Mahtavuuksista

Mutta pitääkö se ymmärtää niin kuin äärellisten joukkojen tapauksessa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin kokonaislukuja.

Onko reaalilukuja enemmän kuin kokonaislukuja?
Vai onko äärettömien joukkojej kardinaliteetti erilainen kuin äärellisten joukkojen.
Eihän äärettömästä voi olla enempää?

"Mahtavuuden ymmärtäminen

Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska molempia on äärettömästi. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa tiheämpi"

https://fi.wikipedia.org/wiki/Mahtavuus

Pitääkö tuo paikkansa??
Vai onko reaalilukuja todella enemmän kuin kokonaislukuja.
Siitä on kyse.

Miten on?

Taavi Hilpertti. kirjoitti:

Mutta pitääkö se ymmärtää niin kuin äärellisten joukkojen tapauksessa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin kokonaislukuja.

Onko reaalilukuja enemmän kuin kokonaislukuja?
Vai onko äärettömien joukkojej kardinaliteetti erilainen kuin äärellisten joukkojen.
Eihän äärettömästä voi olla enempää?

"Mahtavuuden ymmärtäminen

Ei kuitenkaan voi sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin vaikkapa kokonaislukuja, koska molempia on äärettömästi. Sen sijaan reaalilukujen joukko on kokonaislukujen joukkoa tiheämpi"

https://fi.wikipedia.org/wiki/Mahtavuus

Pitääkö tuo paikkansa??
Vai onko reaalilukuja todella enemmän kuin kokonaislukuja.
Siitä on kyse.

Miten on?

Lue lisää

Selviää, kun miettii itse. Onko olemassa injektiota kokonaisluvuilta reaaliluvuille? Entä injektiota reaaliluvuilta kokonaisluvuille? Miksi on tai ei ole? Mitä tämä kertoo joukkojen mahtavuuksista?

mietisiitä kirjoitti:

Selviää, kun miettii itse. Onko olemassa injektiota kokonaisluvuilta reaaliluvuille? Entä injektiota reaaliluvuilta kokonaisluvuille? Miksi on tai ei ole? Mitä tämä kertoo joukkojen mahtavuuksista?

Lue lisää

Ei selviä, koska tieteessä tarvitaan aina joku toinen vahvistamaan oma mietintö.
Eihän tiede ole mikään omien mielipiteiden huutokauppala.
Siksi matematiikassa on pakko käydä dialogia.

Kokonaisluvuilta on injektio reaaliluvuille. Nyt on voimassa |N|=Ei bijektiota, joten reaalilukuja enemmän.
Eli kardinaliteetit on näin pääteltynä todella |N|

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Ei selviä, koska tieteessä tarvitaan aina joku toinen vahvistamaan oma mietintö.
Eihän tiede ole mikään omien mielipiteiden huutokauppala.
Siksi matematiikassa on pakko käydä dialogia.

Kokonaisluvuilta on injektio reaaliluvuille. Nyt on voimassa |N|=Ei bijektiota, joten reaalilukuja enemmän.
Eli kardinaliteetit on näin pääteltynä todella |N|

Lue lisää

Miten määrittelet käsitteen "enemmän" joukoille?

jo u kko kirjoitti:

Miten määrittelet käsitteen "enemmän" joukoille?

Äärellisille joukoille onnistuu vertailu helposti vain laskemalla alkioiden lukumäärä.
Esim A={1,2,3} joukko sisältää kolme alkiota ja B={1,2,3,4} sisältää 4 alkiota, joten B on suurempi. Voidaan myös käyttää bijektiokriteeriä, jolloin jos bijektio joukkojen välillä pätee niin joukot ovat yhtä suuret=sama määrä alkioita.
Jos taas on vain injektio toiseen suuntaan, eikä siis bijektiota niin toisessa joukossa on enemmän alkioita kuten esimerkissä B:ssä on.
Äärellisille joukoille joukon kardinaliteetti/mahtavuus on siis alkioiden lukumäärä.

Äärettömille joukoille voidaan soveltaa samaa bijektio periaatetta vaikkakaan ääretön ei ole luku, eikä sitä voida laskea. Näin ollen mahtavuus ei tarkoita äärettömille joukoille alkioiden lukumäärää, vaan jotain muuta. Mitä se muuta on, en tiedä.

Ylinumeroituvalle ( reaaliluvut) ja numeroituvalle joukolle (kokonaisluvut) ei löydy bijektiota Cantorin teoreeman takia, joten niiden mahtatvuus on sillä perusteella "eri". Tästä ei kuitenkaan seuraa (äärettömien joukkojen tapauksessa), että reaalilukuja olisi enemmän. Eihän äärettömästä voi olla enempää?

Lisäksi Cantor olettaa mielivaltaisesti jostain syystä, että reaalilukujen ja kokonaislukujen välissä ei ole mitään kardinaliteettia. Niin sanottu Continuum hypoteesi, jota ei ole todistettu vieläkään.

"In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1878, about the possible sizes of infinite sets. It states:

There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers."

Eikö ole selvää ettei äärettömästä voi olla enempää?
Täten olisi loogista olettaa, että se mitä voidaan sanoa äärettömistä joukoista olisi siis se, että vaikka bijektiota ei (välttämättä) ole ylinumeroituvan ja numeroituvan joukon välillä niin siitä huolimatta joukkojen välille saadaan vain suurempi tai yhtäsuuri relaatio ei suurempi kuin. Tällöin olisi mahdollista ettei äärettömästä voi olla enempää, eikä mitään Cantorin paradoksia syntyisi.
Yksinkertaisesti kontinuumihypoteesi voi olla väärä.

Joten nykyinen (falsifioitavissa oleva) kantani on ettei äärettömästä voi olla enempää ja ettei reaalilukuja ole enempää kuin kokonaislukuja. Niiden kardinaliteettien välillä vallitsee siis relaatio reaalilukujen joukko on suurempi tai yhtäsuuri kuin kokonaislukujen joukko. Muuta emme voi tiedon puutteen takia sanoa.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Äärellisille joukoille onnistuu vertailu helposti vain laskemalla alkioiden lukumäärä.
Esim A={1,2,3} joukko sisältää kolme alkiota ja B={1,2,3,4} sisältää 4 alkiota, joten B on suurempi. Voidaan myös käyttää bijektiokriteeriä, jolloin jos bijektio joukkojen välillä pätee niin joukot ovat yhtä suuret=sama määrä alkioita.
Jos taas on vain injektio toiseen suuntaan, eikä siis bijektiota niin toisessa joukossa on enemmän alkioita kuten esimerkissä B:ssä on.
Äärellisille joukoille joukon kardinaliteetti/mahtavuus on siis alkioiden lukumäärä.

Äärettömille joukoille voidaan soveltaa samaa bijektio periaatetta vaikkakaan ääretön ei ole luku, eikä sitä voida laskea. Näin ollen mahtavuus ei tarkoita äärettömille joukoille alkioiden lukumäärää, vaan jotain muuta. Mitä se muuta on, en tiedä.

Ylinumeroituvalle ( reaaliluvut) ja numeroituvalle joukolle (kokonaisluvut) ei löydy bijektiota Cantorin teoreeman takia, joten niiden mahtatvuus on sillä perusteella "eri". Tästä ei kuitenkaan seuraa (äärettömien joukkojen tapauksessa), että reaalilukuja olisi enemmän. Eihän äärettömästä voi olla enempää?

Lisäksi Cantor olettaa mielivaltaisesti jostain syystä, että reaalilukujen ja kokonaislukujen välissä ei ole mitään kardinaliteettia. Niin sanottu Continuum hypoteesi, jota ei ole todistettu vieläkään.

"In mathematics, the continuum hypothesis (abbreviated CH) is a hypothesis, advanced by Georg Cantor in 1878, about the possible sizes of infinite sets. It states:

There is no set whose cardinality is strictly between that of the integers and the real numbers."

Eikö ole selvää ettei äärettömästä voi olla enempää?
Täten olisi loogista olettaa, että se mitä voidaan sanoa äärettömistä joukoista olisi siis se, että vaikka bijektiota ei (välttämättä) ole ylinumeroituvan ja numeroituvan joukon välillä niin siitä huolimatta joukkojen välille saadaan vain suurempi tai yhtäsuuri relaatio ei suurempi kuin. Tällöin olisi mahdollista ettei äärettömästä voi olla enempää, eikä mitään Cantorin paradoksia syntyisi.
Yksinkertaisesti kontinuumihypoteesi voi olla väärä.

Joten nykyinen (falsifioitavissa oleva) kantani on ettei äärettömästä voi olla enempää ja ettei reaalilukuja ole enempää kuin kokonaislukuja. Niiden kardinaliteettien välillä vallitsee siis relaatio reaalilukujen joukko on suurempi tai yhtäsuuri kuin kokonaislukujen joukko. Muuta emme voi tiedon puutteen takia sanoa.

Lue lisää

Sekoitat käsitteitä. Puhut mahtavuuksista ja "voi olla enempää" yhtäläisinä asioina. Minulle on epäselvää miten "enempää" liittyy joukkojen mahtavuuksiin. Enempää on lähtökohtaisesti aika "äärellinen" termi. Mielestäni "enempää" viittaa joko äärelliseen määrään tai sitten äärettömään. Termivalinta on huono ja näytät myöntävän sen itsekin vastauksessasi.

Kun puhut joukkojen mahtavuuksista ja sitä kautta kardinaaliaritmetiikasta, sinun pitää lähteä määritelmistä ja hukata intuitio täysin. Sivuuta koko "enemmän" käsite ja anna intuition tulla teoriasta, ei nykyisistä käsityksistäsi.

Opiskele kardinaaliaritmetiikkaa formaalina kokonaisuutena, niin asiat selkenevät.

"Ei ole mielekästä alistua ilman omaa ajattelua välittömästi jonkun matemaatikon mielivallan alle."

Sinä et voi ymmärtää sitä ajattelematta sitä ennakkoluulottomasti. Olet muutoin omissa ajatuksissasi ja näkemyksissäsi kiinni. Siinä nimenomaan ON kyse oman ajattelun unohtamisesta ja toisen ajattelun ymmärtämisestä. Et pysty kritisoimaan ellet ymmärrä, etkä pysty ymmärtämään tiputtamatta omia ajatuksia ensin pois.

Juuri tämä "unohtamisen taito" erottaa tieteessä jyvät akanoista. Se on askel objektiivisuuteen eikä "mielivaltaan alistumista". Sinun pitää pystyä tekemään sama myös omille ajatuksillesi/teorioillesi.

Onnea matkallesi.

Jos äärettömät ovat määrällisesti samat niin eikö ne silloin laadullisestikin ole?
Bijektio relaatio tarkoittaa juuri sitä, että äärettömyydet ovat määrällisesti samoja.
Parillisia lukuja on yhtä paljon kuin kaikkia kokonaislukuja koska niiden välillä on bijektio selvästi.

Mutta onko reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välillä bijektio?
Ei ole, koska Cantorin teoreema.
Mutta mihin Cantorin teoreema perustuu?
Kontinuumihypoteesiin.
Onko kontinuumihypoteesi validi?
Ei tiedetä, se on pelkkä hypoteesi.

Siksi on mahdollista, että reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välillä on bijektio.
Toisin sanoen niitä saattaa olla määrällisesti sama määrä.
Relaatio on kardinaliteeteille (ilman kontinuumihypoteesia) N

Onko mielekästä puhua edes määrästä kun on kyse äärettömästä joukosta?
"
Ei. ole. Mutta bijektio määritelmä on mielekäs.
Mutta sitten se kontinuumihypoteesi.
Se pitäisi ensin todistaa enne kuin tekee diagonaaliargumentin.

"Sen sijaan reaalilukujen joukko on niitä mahtavampi; sen alkioita ei voi asettaa pareittain luonnollisten lukujen kanssa, vaan reaalilukuja jää väistämättä "yli". Tämä voidaan todistaa Cantorin diagonaaliargumentilla."

Tuossa ei oteta kontinuumihypoteesia esille, mikä on harhaanjohtavaa.
Ilman sitä saattaa bijektio ollakin reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välillä.

Voimmeko siis sanoa äärettömien joukkojen kokojen vertailuistakaan mitään ilman kontinuumihypoteesia?
Emme voi. Siten on mahdollista, että on vain yksi äärettömyys, josta saa siis bijektion muihin.

Onko äärettömien joukkojen kokoa mielekästä edes vertailla?
Ilman kontinuumihypoteesia se ei välttämättä onnistu.
Ja kontinuumihypoteesi on mielivaltainen oletus.
Onko tässä tullut matematiikan rajat vastaan??

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Onko mielekästä puhua edes määrästä kun on kyse äärettömästä joukosta?
"
Ei. ole. Mutta bijektio määritelmä on mielekäs.
Mutta sitten se kontinuumihypoteesi.
Se pitäisi ensin todistaa enne kuin tekee diagonaaliargumentin.

"Sen sijaan reaalilukujen joukko on niitä mahtavampi; sen alkioita ei voi asettaa pareittain luonnollisten lukujen kanssa, vaan reaalilukuja jää väistämättä "yli". Tämä voidaan todistaa Cantorin diagonaaliargumentilla."

Tuossa ei oteta kontinuumihypoteesia esille, mikä on harhaanjohtavaa.
Ilman sitä saattaa bijektio ollakin reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välillä.

Voimmeko siis sanoa äärettömien joukkojen kokojen vertailuistakaan mitään ilman kontinuumihypoteesia?
Emme voi. Siten on mahdollista, että on vain yksi äärettömyys, josta saa siis bijektion muihin.

Onko äärettömien joukkojen kokoa mielekästä edes vertailla?
Ilman kontinuumihypoteesia se ei välttämättä onnistu.
Ja kontinuumihypoteesi on mielivaltainen oletus.
Onko tässä tullut matematiikan rajat vastaan??

Lue lisää

Reaalilukujen suuremman kardinaaliluvun voi todistaa aivan hyvin ilman diagonaaliargumenttia eikä mitään kontinuumihypoteesia tarvita tähän ollenkaan.

Kontinuumihypoteesi vastaa vain siihen onko luonnollisten lukujen ja reaalilujen välissä olemassa joukko joka on mahtavampi kuin N mutta R sitä mahtavampi.

Tiedetään että potenssijoukko P(N) on bijektio joukolle R. Eli riittä osoittaa että ei ole bijektiota f:N->P(N)
Vastaoletus on sellainen bijektio f.
Merkitään S={x: x not in f(x)}
Selvästi S in P(N). S voi olla tyhjä joukko tai koko N. Joka tapauksessa se on jonkin s in N kuva. Eli f(s)=S, nyt s in S tai s not in S.
Tapaus 1. s in S. Eli s not in f(s)=S, ristiriita.
Tapaus 2. s not in S. Eli s in f(S)=S, ritstiriita.
Näin ollen vastaoletus väärä ja bijektiota ei ole N ja P(N) välillä eli P(N) on mahtavampi ja koska on bijektio P(N) ja R välillä niin R on mahtavampi kuin N.
Ei tarvita mitään olettamuksia kontinuumihypoteeseista.

Kontinuumihypoteesi on riippumaton ZFC aksioomista. Eli se voitaisiin valita aksioomaksi tai sen käänteinen väite voitaisiin valita aksioomaksi. Mutta näin ei tehdä koska hypoteesi ei ole intuitiivinen tai mitenkään selvä, jotta se valittaisiin aksiommaksi. Siksi etsitään "parempaa" aksioomaa lisäykseksi ZFC joka selittäisi kontinuumihypoteesin.

fffffs kirjoitti:

Reaalilukujen suuremman kardinaaliluvun voi todistaa aivan hyvin ilman diagonaaliargumenttia eikä mitään kontinuumihypoteesia tarvita tähän ollenkaan.

Kontinuumihypoteesi vastaa vain siihen onko luonnollisten lukujen ja reaalilujen välissä olemassa joukko joka on mahtavampi kuin N mutta R sitä mahtavampi.

Tiedetään että potenssijoukko P(N) on bijektio joukolle R. Eli riittä osoittaa että ei ole bijektiota f:N->P(N)
Vastaoletus on sellainen bijektio f.
Merkitään S={x: x not in f(x)}
Selvästi S in P(N). S voi olla tyhjä joukko tai koko N. Joka tapauksessa se on jonkin s in N kuva. Eli f(s)=S, nyt s in S tai s not in S.
Tapaus 1. s in S. Eli s not in f(s)=S, ristiriita.
Tapaus 2. s not in S. Eli s in f(S)=S, ritstiriita.
Näin ollen vastaoletus väärä ja bijektiota ei ole N ja P(N) välillä eli P(N) on mahtavampi ja koska on bijektio P(N) ja R välillä niin R on mahtavampi kuin N.
Ei tarvita mitään olettamuksia kontinuumihypoteeseista.

Kontinuumihypoteesi on riippumaton ZFC aksioomista. Eli se voitaisiin valita aksioomaksi tai sen käänteinen väite voitaisiin valita aksioomaksi. Mutta näin ei tehdä koska hypoteesi ei ole intuitiivinen tai mitenkään selvä, jotta se valittaisiin aksiommaksi. Siksi etsitään "parempaa" aksioomaa lisäykseksi ZFC joka selittäisi kontinuumihypoteesin.

Lue lisää

Näin ollen formaali vertailu joukkojen koolle on äärettömille ja äärellisille joukoille sama bijektio-vaade. Koska formalismi toimii samoin äärellisille ja äärettömille joukoille niin voidaan päätellä, että äärettömästä voi olla "enemmän".
Toisin sanoen reaalilukuja on todella enemmän kuin luonnollisia lukuja.

Tämä näkyy Grand Hotel paradoksissa, jossa on N mahtavuudelta ääretön määrä hotellipaikkoja. Hotelli on täynnä, jos sinne tulee seuraava satsi numeroituvasti ääretön joukko niin kaikki mahtuu silti hotelliin bijektion takia (esim ap asukit siirtyvät parillisiin huoneisiin ja jäljelle jää parittomat), mutta jos ylinumeroituva määrä R mahtavuudelta asukkeja tulisi hotelliin niin kaikki eivät mahtuisi hotelliin, vaikka hotellissa on äärettömästi paikkoja!!
Siis mitä ihmettä. Äärettömästä voi formaalisti olla enemmän?

Miten tämä formaalistruktuuri selittää Cantorin paradoksin?
Koska suurinta ääretöntä ei ole formaalisti, potenssijoukon ollessa aina suurempi äärettömyys edellisestä...

Jokin haiskahtaa falskille päättelylle.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Näin ollen formaali vertailu joukkojen koolle on äärettömille ja äärellisille joukoille sama bijektio-vaade. Koska formalismi toimii samoin äärellisille ja äärettömille joukoille niin voidaan päätellä, että äärettömästä voi olla "enemmän".
Toisin sanoen reaalilukuja on todella enemmän kuin luonnollisia lukuja.

Tämä näkyy Grand Hotel paradoksissa, jossa on N mahtavuudelta ääretön määrä hotellipaikkoja. Hotelli on täynnä, jos sinne tulee seuraava satsi numeroituvasti ääretön joukko niin kaikki mahtuu silti hotelliin bijektion takia (esim ap asukit siirtyvät parillisiin huoneisiin ja jäljelle jää parittomat), mutta jos ylinumeroituva määrä R mahtavuudelta asukkeja tulisi hotelliin niin kaikki eivät mahtuisi hotelliin, vaikka hotellissa on äärettömästi paikkoja!!
Siis mitä ihmettä. Äärettömästä voi formaalisti olla enemmän?

Miten tämä formaalistruktuuri selittää Cantorin paradoksin?
Koska suurinta ääretöntä ei ole formaalisti, potenssijoukon ollessa aina suurempi äärettömyys edellisestä...

Jokin haiskahtaa falskille päättelylle.

Lue lisää

Unohdat joukko-opin äärettömyysaksiomaan, ts. ei ole kaikkien joukkojen joukkoa, sellaista kutsutaan luokaksi, mutta joukko se ei ole. Suomeksi liian suuret "joukot" eivät ole joukkoja ollenkaan.

Mutta todellakin voidaan muodostaa nouseva jono joukkoja joiden kardinaaliluku on kasvava

N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ....
Mutta voidaanko muodostaa tämän jonon "raja-arvo" vastaus on että ei, koska se ei olisi enää joukko äärettömyysaksiomman mukaan.

fffffs kirjoitti:

Unohdat joukko-opin äärettömyysaksiomaan, ts. ei ole kaikkien joukkojen joukkoa, sellaista kutsutaan luokaksi, mutta joukko se ei ole. Suomeksi liian suuret "joukot" eivät ole joukkoja ollenkaan.

Mutta todellakin voidaan muodostaa nouseva jono joukkoja joiden kardinaaliluku on kasvava

N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))), ....
Mutta voidaanko muodostaa tämän jonon "raja-arvo" vastaus on että ei, koska se ei olisi enää joukko äärettömyysaksiomman mukaan.

Lue lisää

Mutta todellakin voidaan muodostaa nouseva jono joukkoja joiden kardinaaliluku on kasvava

N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))),"

Tiedetään ettei kompleksilukuja laajempaa lukujoukkoa ole.
Miten sitten ylinumeroituvalle joukolle voidaan saada potenssijoukko jolle ei ole bijektiota kyseiseen ylinumeroituvaan joukkoon. Miten ylinumeroituvasta joukosta voi olla mahtavampi?

Formalismi perustuu ihme mielivaltaisiin oletuksiin kuten se, että potenssijoukko aksiooma pätisi äärettömille joukoille. Ilman sitä oletusta voisi olla niin että N on R:n aito osajoukko. Eihän ääärettömästä voi olla enempää, (paitsi mielivaltaisiin oletuksiin perustuvassa formalismissa).

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Mutta todellakin voidaan muodostaa nouseva jono joukkoja joiden kardinaaliluku on kasvava

N, P(N), P(P(N)), P(P(P(N))),"

Tiedetään ettei kompleksilukuja laajempaa lukujoukkoa ole.
Miten sitten ylinumeroituvalle joukolle voidaan saada potenssijoukko jolle ei ole bijektiota kyseiseen ylinumeroituvaan joukkoon. Miten ylinumeroituvasta joukosta voi olla mahtavampi?

Formalismi perustuu ihme mielivaltaisiin oletuksiin kuten se, että potenssijoukko aksiooma pätisi äärettömille joukoille. Ilman sitä oletusta voisi olla niin että N on R:n aito osajoukko. Eihän ääärettömästä voi olla enempää, (paitsi mielivaltaisiin oletuksiin perustuvassa formalismissa).

Lue lisää

On olemassa kompleksilukuja laajempia lukujoukkoja, sisältäen alkioinaan mm. äärettömyyksiä. Esim. surreaaliluvut. Mutta kompleksiluku joukko on algebrallisessa mielessä laajin ts. algebrallisista syistä ei tarvitse lukujoukkoa laajentaa.

Ylinumeroituvia joukkoja on monenlaisia. Bijektio on vain funktio jolla on kaksi ominaisuutta se kuvaa kaikille alkioille ja eri alkiot eri alkioiksi.

Olet oikealla jäljillä siinä että potenssijoukon olemassaolo on aksiooma. Toisin sanoen siinä sanotaan että jokaisesta joukosta voidaan tehdä joukko jonka alkioina on kyseisen joukon osa-joukot. Tämä intuitiivisestsi selvää, mutta toki se voidaan kyseenlalaistaa. Aivan samalla tavalla se on tyhjä joukko on aksiooma. Joku voisi sanoa että ei ole mitään tyhjää joukkoa vaan aina on oltava jotain.

Aksioomat eivät ole hatusta vedettyjä vaan intuitiivisia ja järkeen käypiä. Toki voidaan tarkastella myös vaihtoehtoisia joukko-oppeja joissa aksioomat eivät pidä paikkansa, sitten voidaan tutkia kuinka mielekkäitä ne ovat.

fffffs kirjoitti:

On olemassa kompleksilukuja laajempia lukujoukkoja, sisältäen alkioinaan mm. äärettömyyksiä. Esim. surreaaliluvut. Mutta kompleksiluku joukko on algebrallisessa mielessä laajin ts. algebrallisista syistä ei tarvitse lukujoukkoa laajentaa.

Ylinumeroituvia joukkoja on monenlaisia. Bijektio on vain funktio jolla on kaksi ominaisuutta se kuvaa kaikille alkioille ja eri alkiot eri alkioiksi.

Olet oikealla jäljillä siinä että potenssijoukon olemassaolo on aksiooma. Toisin sanoen siinä sanotaan että jokaisesta joukosta voidaan tehdä joukko jonka alkioina on kyseisen joukon osa-joukot. Tämä intuitiivisestsi selvää, mutta toki se voidaan kyseenlalaistaa. Aivan samalla tavalla se on tyhjä joukko on aksiooma. Joku voisi sanoa että ei ole mitään tyhjää joukkoa vaan aina on oltava jotain.

Aksioomat eivät ole hatusta vedettyjä vaan intuitiivisia ja järkeen käypiä. Toki voidaan tarkastella myös vaihtoehtoisia joukko-oppeja joissa aksioomat eivät pidä paikkansa, sitten voidaan tutkia kuinka mielekkäitä ne ovat.

Lue lisää

potenssijoukon olemassaolo on aksiooma. Toisin sanoen siinä sanotaan että jokaisesta joukosta voidaan tehdä joukko jonka alkioina on kyseisen joukon osa-joukot."

Totta kai näin voidaan tehdä äärellisille joukoille.
Mutta miten sitä sovelletaan äärettömiin joukkoihin suoraan ilman sen kummempia perusteluja en sulata.
Lisäksi surreaaliluvut taitaa olla luokka ei lukujoukko.

Kaiken kaikkiaan jos väitän että luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä on isomorfia niin miten voit todistaa olevani väärässä ottamatta huomioon Cantorin teoreemassa vaadittavaa oletusta siitä että kaikille joukoille on olemassa sen potenssijoukko (myös äärettömälle?).

"That there does indeed exist a set of all subsets of the natural numbers is captured in formal set theory by the power set axiom, which says that for every set there is a set of all of its subsets. (For example, the subsets of the set {a, b} are { }, {a}, {b}, and {a, b}). This allows us to prove that there exists an infinite set which is not equipollent with the set of natural numbers. The set N of natural numbers exists (by the axiom of infinity), and so does the set R of all its subsets (by the power set axiom). By Cantor's theorem, R cannot be one-to-one correlated with N, and by Cantor's definition of number or "power", it follows that R has a different number than N. It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Jos kerran Cantorin teoreema ei todista että reaalilukuja olisi "enemmän" niin miksi ei voisi suoraan vaan todeta ettei äärettömästä ole enempää ja kirjoittaa card N

Taavi Hilpertti kirjoitti:

potenssijoukon olemassaolo on aksiooma. Toisin sanoen siinä sanotaan että jokaisesta joukosta voidaan tehdä joukko jonka alkioina on kyseisen joukon osa-joukot."

Totta kai näin voidaan tehdä äärellisille joukoille.
Mutta miten sitä sovelletaan äärettömiin joukkoihin suoraan ilman sen kummempia perusteluja en sulata.
Lisäksi surreaaliluvut taitaa olla luokka ei lukujoukko.

Kaiken kaikkiaan jos väitän että luonnollisten lukujen ja reaalilukujen välillä on isomorfia niin miten voit todistaa olevani väärässä ottamatta huomioon Cantorin teoreemassa vaadittavaa oletusta siitä että kaikille joukoille on olemassa sen potenssijoukko (myös äärettömälle?).

"That there does indeed exist a set of all subsets of the natural numbers is captured in formal set theory by the power set axiom, which says that for every set there is a set of all of its subsets. (For example, the subsets of the set {a, b} are { }, {a}, {b}, and {a, b}). This allows us to prove that there exists an infinite set which is not equipollent with the set of natural numbers. The set N of natural numbers exists (by the axiom of infinity), and so does the set R of all its subsets (by the power set axiom). By Cantor's theorem, R cannot be one-to-one correlated with N, and by Cantor's definition of number or "power", it follows that R has a different number than N. It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Jos kerran Cantorin teoreema ei todista että reaalilukuja olisi "enemmän" niin miksi ei voisi suoraan vaan todeta ettei äärettömästä ole enempää ja kirjoittaa card N

Lue lisää

Jos ei hyväksy ZFC-joukko-oppia, niin silloin et tietenkään voi todistaa niitä asioita (välttämättä) mitkä liittyvät äärettömään joukkoon. Itse asiassa jos potenssijoukkoja ei sallita yleisesti niin voidaan kysyä voiko sellaisessa joukko-opissa ylipäätään olla äärettömiä joukkoja. En osaa suoralta kädeltä vastasta.

Mutta kun puhutaan luonnollisista luvuista, kokonaisluvuista ja reaaliluvuista niin niistä puhutaan nimenomaan ZFC-aksioomat täyttävän joukko-opin kautta.

Mutta intuitiivisesti kokonaislukuja on tietysti enemmän kuin luonnollisia lukuja, ja näin voidaan sanoa, kunhan ymmärretään, että se tarkoittaa vain ℕ ⊊ ℤ."

Juuri näin, mutta meikäläiselle intuitiivisesti samalla tavalla jopa luonnolliset luvut olisivat reaalilukujen aito osajoukko. Intuitiivisesti siis tuntuu siltä, että äärettömien joukkojen välillä on aina bijektio, käsitteen ääretön "yksikäsitteisydestä", mutta formalismi murskaa tämän intuition.

Ongelma siirtyy siis siihen
miten kardinaaliluvuille (symboloi eri" koon"? äärettömyyksiä) on voitu saada suurempi-kuin-relaatio. Sen ymmärtäisin, jos aito osajoukko relaatio vallitsisi äärettömän joukon ja sen potenssijoukon välillä, mutta formalismi todistaa, että potenssijoukko on suurempi kuin joukko.

Äärellisille joukoille on selvää, että jos on joukko A niin sen potenssijoukko B on mahtavuudeltaan suurempi, koska siinä on enemmän alkioita.
Äärettömille joukoille tulos on formalismin mukaan sama, mutta on täysin intuitiota vastaaan kun ajattelee äärettömän käsitettä.
Intuitiivisesti formalismissa on jotain vialla jos ajatellaan, ettei äärettömästä "enempää" voi olla.

"On vain kielenkäyttökysymys, sanotaanko, että joukossa A on enemmän alkioita kuin joukossa B, jos card A > card B."

Herää kysymys miksi tuota "suurempi kuin relaatiota" käytetään.
Eikö B ole silloin A:n aito osajoukko, jos on mahdollista, että alkioita on "yhtä paljon" siis ääretön määrä (olettaen, että ääretön on aina sama ääretön).

Todellakin ristiriita huutaa näissä "äärettömyyksien vertailuissa".
En ymmärrä miten potenssijoukko aksioomaa käytetään suoraan äärettömille joukoille tuosta noin vain.

"That there does indeed exist a set of all subsets of the natural numbers is captured in formal set theory by the power set axiom, which says that for every set there is a set of all of its subsets. (For example, the subsets of the set {a, b} are { }, {a}, {b}, and {a, b}). This allows us to prove that there exists an infinite set which is not equipollent with the set of natural numbers. The set N of natural numbers exists (by the axiom of infinity), and so does the set R of all its subsets (by the power set axiom). By Cantor's theorem, R cannot be one-to-one correlated with N, and by Cantor's definition of number or "power", it follows that R has a different number than N. It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Täten en näe syytä miksi ei voisi kirjoittaa, että N on reaalilukujen aito osajoukko.

Minusta asiat eivät ole vaikeita tai helppoja; ne vain on ja toisilla kestää kauemmin asioiden hahmottamiseen kuin toisilla.

Hiki- ja Wikipedia ovat samanlaisia lähteitä kuin muutkin. Jotkut saavat niistä uutta tietoa, toiset eivät. Faktat on pystyttävä johtamaan olemassaolevista tuloksista ennen kuin voi sanoa oppineensa asian kunnolla. Kun tuon johtamisen on tehnyt, asia pysyy (toivottavasti) mielessä.

En kyllä keksi, miksi en voisi suositella vaikkapa suomenkielisen Wikipedian artikkelin "Thaleen lause" versiota, jonka muokkaus on tehty 16. huhtikuuta 2014 kello 19.46‎, jos joku haluaa todistuksen sille, miksi puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suora.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Mutta intuitiivisesti kokonaislukuja on tietysti enemmän kuin luonnollisia lukuja, ja näin voidaan sanoa, kunhan ymmärretään, että se tarkoittaa vain ℕ ⊊ ℤ."

Juuri näin, mutta meikäläiselle intuitiivisesti samalla tavalla jopa luonnolliset luvut olisivat reaalilukujen aito osajoukko. Intuitiivisesti siis tuntuu siltä, että äärettömien joukkojen välillä on aina bijektio, käsitteen ääretön "yksikäsitteisydestä", mutta formalismi murskaa tämän intuition.

Ongelma siirtyy siis siihen
miten kardinaaliluvuille (symboloi eri" koon"? äärettömyyksiä) on voitu saada suurempi-kuin-relaatio. Sen ymmärtäisin, jos aito osajoukko relaatio vallitsisi äärettömän joukon ja sen potenssijoukon välillä, mutta formalismi todistaa, että potenssijoukko on suurempi kuin joukko.

Äärellisille joukoille on selvää, että jos on joukko A niin sen potenssijoukko B on mahtavuudeltaan suurempi, koska siinä on enemmän alkioita.
Äärettömille joukoille tulos on formalismin mukaan sama, mutta on täysin intuitiota vastaaan kun ajattelee äärettömän käsitettä.
Intuitiivisesti formalismissa on jotain vialla jos ajatellaan, ettei äärettömästä "enempää" voi olla.

"On vain kielenkäyttökysymys, sanotaanko, että joukossa A on enemmän alkioita kuin joukossa B, jos card A > card B."

Herää kysymys miksi tuota "suurempi kuin relaatiota" käytetään.
Eikö B ole silloin A:n aito osajoukko, jos on mahdollista, että alkioita on "yhtä paljon" siis ääretön määrä (olettaen, että ääretön on aina sama ääretön).

Todellakin ristiriita huutaa näissä "äärettömyyksien vertailuissa".
En ymmärrä miten potenssijoukko aksioomaa käytetään suoraan äärettömille joukoille tuosta noin vain.

"That there does indeed exist a set of all subsets of the natural numbers is captured in formal set theory by the power set axiom, which says that for every set there is a set of all of its subsets. (For example, the subsets of the set {a, b} are { }, {a}, {b}, and {a, b}). This allows us to prove that there exists an infinite set which is not equipollent with the set of natural numbers. The set N of natural numbers exists (by the axiom of infinity), and so does the set R of all its subsets (by the power set axiom). By Cantor's theorem, R cannot be one-to-one correlated with N, and by Cantor's definition of number or "power", it follows that R has a different number than N. It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Täten en näe syytä miksi ei voisi kirjoittaa, että N on reaalilukujen aito osajoukko.

Lue lisää

On minun puoleltani vähän hölmöä puuttua keskusteluun, kun en ole lukenut kaikkia viestejä ajatuksella läpi. Huomio kiinnittyi kumminkin muutamaan kohtaan T. Hilpertin edellisessä viestisä. Jospa näistä kommenteista on hänelle hyötyä.

T. Hilpertti: "-- meikäläiselle intuitiivisesti samalla tavalla jopa luonnolliset luvut olisivat reaalilukujen aito osajoukko."

Kyllä luonnollisten lukujen joukko N onkin reaalilukujen joukon R aito osajoukko. Osajoukko se on siksi, että jokainen luonnollinen luku on myös reaaliluku (tai samaistettavissa reaaliluvun kanssa). Aito osajoukko se on siksi, ettei esim. pii ole luonnollinen luku (tai samaistettavissa minkään luonnollisen luvun kanssa).

T. Hilpertti: "Eikö B ole silloin A:n aito osajoukko, jos on mahdollista, että alkioita on "yhtä paljon" siis ääretön määrä (olettaen, että ääretön on aina sama ääretön)."

Kyllä on. Oletko aivan varma, että ymmärrät, mitä tarkoittaa osajoukko ja aito osajoukko? Joukko P on joukon Q osajoukko, jos jokainen P:n alkio on myös Q:n alkio. Joukko P on joukon Q aito osajoukko, jos on olemassa ainakin yksi Q:n alkio, joka ei ole P:n alkio. Osajoukon määritelmä ei riipu joukkojen mahtavuudesta.

T. Hilpertti: "Täten en näe syytä miksi ei voisi kirjoittaa, että N on reaalilukujen aito osajoukko."

Kyllä voi kirjoittaa. N on kuin onkin reaalilukujen aito osajoukko. Äärettömällä joukolla Q voi olla aito osajoukko P, jolla card P = card Q tai card P < card Q. Edellisestä tilanteesta ovat esimerkkinä joukko Z ja sen osajoukko N. Jälkimmäisestä tilanteesta esimerkiksi käyvät joukko R ja sen osajoukko N. Vai sekö tässä oli epäselvää, että miksi näin voi olla?

Jotenkin jäi mielikuva myös siitä, että olit ymmärtänyt kontinuumihypoteesin jotenkin väärin. Kontinuumihypoteesi väittää, että ei ole olemassa sellaista joukkoa, jonka mahtavuus olisi joukkojen N ja R mahtavuuksien välissä. Kontinuumihypoteesi ei väitä, että joukoilla N ja R olisi sama mahtavuus.

Mitä tulee kielenkäyttöön, on puhdas sopimuskysymys, sanotaanko reaalilukuja olevan enemmän kuin luonnollisia lukuja. Tähän ei voi ottaa jyrkkää kantaa kumpaankaan suuntaan, jos ei samalla tarjoa määritelmää käsitteelle "olla enemmän kuin jotakin toista".

a-s-h kirjoitti:

On minun puoleltani vähän hölmöä puuttua keskusteluun, kun en ole lukenut kaikkia viestejä ajatuksella läpi. Huomio kiinnittyi kumminkin muutamaan kohtaan T. Hilpertin edellisessä viestisä. Jospa näistä kommenteista on hänelle hyötyä.

T. Hilpertti: "-- meikäläiselle intuitiivisesti samalla tavalla jopa luonnolliset luvut olisivat reaalilukujen aito osajoukko."

Kyllä luonnollisten lukujen joukko N onkin reaalilukujen joukon R aito osajoukko. Osajoukko se on siksi, että jokainen luonnollinen luku on myös reaaliluku (tai samaistettavissa reaaliluvun kanssa). Aito osajoukko se on siksi, ettei esim. pii ole luonnollinen luku (tai samaistettavissa minkään luonnollisen luvun kanssa).

T. Hilpertti: "Eikö B ole silloin A:n aito osajoukko, jos on mahdollista, että alkioita on "yhtä paljon" siis ääretön määrä (olettaen, että ääretön on aina sama ääretön)."

Kyllä on. Oletko aivan varma, että ymmärrät, mitä tarkoittaa osajoukko ja aito osajoukko? Joukko P on joukon Q osajoukko, jos jokainen P:n alkio on myös Q:n alkio. Joukko P on joukon Q aito osajoukko, jos on olemassa ainakin yksi Q:n alkio, joka ei ole P:n alkio. Osajoukon määritelmä ei riipu joukkojen mahtavuudesta.

T. Hilpertti: "Täten en näe syytä miksi ei voisi kirjoittaa, että N on reaalilukujen aito osajoukko."

Kyllä voi kirjoittaa. N on kuin onkin reaalilukujen aito osajoukko. Äärettömällä joukolla Q voi olla aito osajoukko P, jolla card P = card Q tai card P < card Q. Edellisestä tilanteesta ovat esimerkkinä joukko Z ja sen osajoukko N. Jälkimmäisestä tilanteesta esimerkiksi käyvät joukko R ja sen osajoukko N. Vai sekö tässä oli epäselvää, että miksi näin voi olla?

Jotenkin jäi mielikuva myös siitä, että olit ymmärtänyt kontinuumihypoteesin jotenkin väärin. Kontinuumihypoteesi väittää, että ei ole olemassa sellaista joukkoa, jonka mahtavuus olisi joukkojen N ja R mahtavuuksien välissä. Kontinuumihypoteesi ei väitä, että joukoilla N ja R olisi sama mahtavuus.

Mitä tulee kielenkäyttöön, on puhdas sopimuskysymys, sanotaanko reaalilukuja olevan enemmän kuin luonnollisia lukuja. Tähän ei voi ottaa jyrkkää kantaa kumpaankaan suuntaan, jos ei samalla tarjoa määritelmää käsitteelle "olla enemmän kuin jotakin toista".

Lue lisää

Tarkoitin että miksei voisi kirjoittaa card N

"Pelkkä kielenkäyttökysymys on sekin, sanotaanko, että kokonaislukuja on enemmän kuin luonnollisia lukuja"

Ei ole. Sinun pitäisi matemaatikkona se tietää.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

Tarkoitin että miksei voisi kirjoittaa card N

Jos et hyväksy potenssijoukkoa äärettömälle joukolle se tarkoittaa että on olemassa ääretön JOUKKO A, jolla on osajoukko(ja) joita ei voida muodostaa tai määritellä. Tämä tuo vielä suurempia ongelmia joukko-oppiin ja intuitioon.

Mahtavuus on intuitiivisen lukumäärän käsitteen yleistys, joten sen voi hyvin ajatella tarkoittavan lukumäärää myös äärettömien joukkojen kohdalla. Jos enemmän käsitetään mahtavuuden mielessä, niin silloin reaalilukuja todellakin on enemmän.

Tuo suomenkielisen wikipedia aihetta käsittelevä sivu on kyllä kaikkiaan hyvin sekava. Suosittelen pitäytymään englanninkielisessä versiossa. Esimerkkinä suomenkielisen sivun ongelmista voi mainita vaikkapa johdannossa esiintyvän lauseen: "Kun äärettömässä joukossa on äärettömästi alkioita, ilmoitetaan sen mahtavuus sanalla ääretön". Tämä on sekä erittäin huonoa suomenkieltä (äärettömässä joukossa on äärettömästi alkioita! ihanko tosi?) että harhaanjohtavaa, sillä kaikilla äärettömillä joukoilla ei suinkaan ole sama mahtavuus.

matemaagi kirjoitti:

Mahtavuus on intuitiivisen lukumäärän käsitteen yleistys, joten sen voi hyvin ajatella tarkoittavan lukumäärää myös äärettömien joukkojen kohdalla. Jos enemmän käsitetään mahtavuuden mielessä, niin silloin reaalilukuja todellakin on enemmän.

Tuo suomenkielisen wikipedia aihetta käsittelevä sivu on kyllä kaikkiaan hyvin sekava. Suosittelen pitäytymään englanninkielisessä versiossa. Esimerkkinä suomenkielisen sivun ongelmista voi mainita vaikkapa johdannossa esiintyvän lauseen: "Kun äärettömässä joukossa on äärettömästi alkioita, ilmoitetaan sen mahtavuus sanalla ääretön". Tämä on sekä erittäin huonoa suomenkieltä (äärettömässä joukossa on äärettömästi alkioita! ihanko tosi?) että harhaanjohtavaa, sillä kaikilla äärettömillä joukoilla ei suinkaan ole sama mahtavuus.

Lue lisää

"Mahtavuus on intuitiivisen lukumäärän käsitteen yleistys, joten sen voi hyvin ajatella tarkoittavan lukumäärää myös äärettömien joukkojen kohdalla."

Aivan, mutta äärettömän käsitteestä johtuen lukumäärän käsite taas "häviää".
Äärettömästä ei voi kuvitella enempää, koska jos voisi, niin se ei olisi ääretön.

Sekaannusta aiheuttaa äärettömän käsitteen hämäryys, se ei olekaan yksikäsitteinen. Onkin eri kardinaliteetteja äärettömille, mikä on intuition vastaista, ja seuraa pelkästään formalismista, joka tosin perustuu myös intuitiivisiin aksioomiin. Äärettömän kohdalla niitä vaan ei ole jostain syystä kyseenalaisettu selvällä ymmärrettävällä tavalla.

Opetetaan suoraan, että reaalilukuja on äärettömästi ja luonnollisia lukuja on äärettömästi. Kuitenkin niitä on "erilainen ääretön" määrä.

On selvää, että kaikki luvut voidaan ilmaista luonnollisilla luvuilla 0,1,2,3...
Esim. kokonaisluvut ovat selvästi niiden laajennus (otetaan vastaluku), rationaaliluvut (sallitaan niiden jakolaskut), ja irrationaaliluvut esim. neperin luku ääretön summa luonnollisia lukuja (joille sallitaan jakolaskut).

Jos nyt käsitämme äärettömän vain käsitteeksi jota enemmän ei voi olla niin tsädääm, yhtäkkiä kaikkien joukkojen välille tulee isomorfia. Äärellisille joukoille siis pätee ZFC, mutta kaikilta osin se ei (äärettömän käsitteestä johtuen) päde äärettömille joukoille. En ymmärrä mitä ongelmaa tällaisessa järjestelmässä olisi.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Mahtavuus on intuitiivisen lukumäärän käsitteen yleistys, joten sen voi hyvin ajatella tarkoittavan lukumäärää myös äärettömien joukkojen kohdalla."

Aivan, mutta äärettömän käsitteestä johtuen lukumäärän käsite taas "häviää".
Äärettömästä ei voi kuvitella enempää, koska jos voisi, niin se ei olisi ääretön.

Sekaannusta aiheuttaa äärettömän käsitteen hämäryys, se ei olekaan yksikäsitteinen. Onkin eri kardinaliteetteja äärettömille, mikä on intuition vastaista, ja seuraa pelkästään formalismista, joka tosin perustuu myös intuitiivisiin aksioomiin. Äärettömän kohdalla niitä vaan ei ole jostain syystä kyseenalaisettu selvällä ymmärrettävällä tavalla.

Opetetaan suoraan, että reaalilukuja on äärettömästi ja luonnollisia lukuja on äärettömästi. Kuitenkin niitä on "erilainen ääretön" määrä.

On selvää, että kaikki luvut voidaan ilmaista luonnollisilla luvuilla 0,1,2,3...
Esim. kokonaisluvut ovat selvästi niiden laajennus (otetaan vastaluku), rationaaliluvut (sallitaan niiden jakolaskut), ja irrationaaliluvut esim. neperin luku ääretön summa luonnollisia lukuja (joille sallitaan jakolaskut).

Jos nyt käsitämme äärettömän vain käsitteeksi jota enemmän ei voi olla niin tsädääm, yhtäkkiä kaikkien joukkojen välille tulee isomorfia. Äärellisille joukoille siis pätee ZFC, mutta kaikilta osin se ei (äärettömän käsitteestä johtuen) päde äärettömille joukoille. En ymmärrä mitä ongelmaa tällaisessa järjestelmässä olisi.

Lue lisää

"Sekaannusta aiheuttaa äärettömän käsitteen hämäryys, se ei olekaan yksikäsitteinen."

Matikassa on hyvä se, että jos asiasta ei saa intuitiota, voidaan tarvittavat ominaisuudet johtaa määritelmistä. Jos jokin ei tunnu täsmäävän, voidaan päättely aina tarkistaa (ainakin periaatteessa, tuskin monikaan on opetellut äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelun todistusta). Kun matemaattisen osaamisensa rakentaa järjestelmällisesti aina aksioomista lähtien, ei epäselviä asioita pitäisi jäädä. Matikan opiskelu vaatii valitettavasti aika paljon omaa mietintää, kun aika monessa artikkelissa ei ole todistusten yksityiskohtia kirjoitettu auki.

Työn iloa!

matikanFM kirjoitti:

"Sekaannusta aiheuttaa äärettömän käsitteen hämäryys, se ei olekaan yksikäsitteinen."

Matikassa on hyvä se, että jos asiasta ei saa intuitiota, voidaan tarvittavat ominaisuudet johtaa määritelmistä. Jos jokin ei tunnu täsmäävän, voidaan päättely aina tarkistaa (ainakin periaatteessa, tuskin monikaan on opetellut äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelun todistusta). Kun matemaattisen osaamisensa rakentaa järjestelmällisesti aina aksioomista lähtien, ei epäselviä asioita pitäisi jäädä. Matikan opiskelu vaatii valitettavasti aika paljon omaa mietintää, kun aika monessa artikkelissa ei ole todistusten yksityiskohtia kirjoitettu auki.

Työn iloa!

Lue lisää

"Matikan opiskelu vaatii valitettavasti aika paljon omaa mietintää, kun aika monessa artikkelissa ei ole todistusten yksityiskohtia kirjoitettu auki.
Työn iloa!"

Ei ole mitään järkeä miettiä vaikeita deduktioita tietokoneaikakaudella.
Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä. Siinä olisi kaikki matemaattiset ja fysikaaliset tunnetut rakennelmat aksioomista lähtien step by step todistuksineen.
Kun joku tekisi sellaisen niin säästyisi suunnaton vaiva.

Tosin matematiikka on niin vaikeaa, että tuskin mikään tekoäly osaisi ratkaista Poincaren konjuktuuria kuten vaikkapa Grigori Perelman.

Mutta jos jokin asia on deterministisesti ratkaistavissa niin siihen soveltuu paremmin tietokone kuin ihmisaivot. Vaikeus on siinä, että jotain probleemaa ei edes tajua kuin 100 ihmistä maapallolla.
Matematiikan luulisi aluksi olevan loogista ja selkeää, mutta jotain hämärää siinä on myös. Hirveä määrä kaikkia teoreemia ja todistuksia jotka on kirjoitettu mahdollisimman lyhyesti vaikealla symbolikielellä. Ei motivoi oppimaan sellainen. Laissa pitäisi määritellä, että jokainen asia opetettaisiin matematiikassa yksityiskohatisesti (mikä seuraa mistäkin).

Monet matemaattiset jutut jäävät hämäriksi kuten esim. äärettömyyden käsite
tai surreaaliluvut. Ne jäävät formalismiksi vailla konkreettista intuitiota.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Matikan opiskelu vaatii valitettavasti aika paljon omaa mietintää, kun aika monessa artikkelissa ei ole todistusten yksityiskohtia kirjoitettu auki.
Työn iloa!"

Ei ole mitään järkeä miettiä vaikeita deduktioita tietokoneaikakaudella.
Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä. Siinä olisi kaikki matemaattiset ja fysikaaliset tunnetut rakennelmat aksioomista lähtien step by step todistuksineen.
Kun joku tekisi sellaisen niin säästyisi suunnaton vaiva.

Tosin matematiikka on niin vaikeaa, että tuskin mikään tekoäly osaisi ratkaista Poincaren konjuktuuria kuten vaikkapa Grigori Perelman.

Mutta jos jokin asia on deterministisesti ratkaistavissa niin siihen soveltuu paremmin tietokone kuin ihmisaivot. Vaikeus on siinä, että jotain probleemaa ei edes tajua kuin 100 ihmistä maapallolla.
Matematiikan luulisi aluksi olevan loogista ja selkeää, mutta jotain hämärää siinä on myös. Hirveä määrä kaikkia teoreemia ja todistuksia jotka on kirjoitettu mahdollisimman lyhyesti vaikealla symbolikielellä. Ei motivoi oppimaan sellainen. Laissa pitäisi määritellä, että jokainen asia opetettaisiin matematiikassa yksityiskohatisesti (mikä seuraa mistäkin).

Monet matemaattiset jutut jäävät hämäriksi kuten esim. äärettömyyden käsite
tai surreaaliluvut. Ne jäävät formalismiksi vailla konkreettista intuitiota.

Lue lisää

"Ei ole mitään järkeä miettiä vaikeita deduktioita tietokoneaikakaudella.
Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä."

Matikan tuloksia on vaan niin paljon, ettei cd-levy taida riittää moiseen.

"Tosin matematiikka on niin vaikeaa, että tuskin mikään tekoäly osaisi ratkaista Poincaren konjuktuuria kuten vaikkapa Grigori Perelman. "

No ei varmaan. Ihmiset ja koneet ratkovat asioita eri tavoiilla.

"Laissa pitäisi määritellä, että jokainen asia opetettaisiin matematiikassa yksityiskohatisesti (mikä seuraa mistäkin)."

Entäs ne hyvät oppilaat, jotka osaavat jo nykyopetuksen matikan etukäteen? Tylsistyisivät yhä enemmän. Eivät oppisi niin paljon kuin nykyään, jos opetussuunnitelmissa ei päästä siihen mihin nykyopetuksella päästään.

"Monet matemaattiset jutut jäävät hämäriksi kuten esim. äärettömyyden käsite
tai surreaaliluvut. Ne jäävät formalismiksi vailla konkreettista intuitiota."

Matikka on vaan niin tavattoman laajalti kehittynyttä, että huippumatemaatikotkin hallitsevan siitä vain jonkun osa-alueen.

Suosittelisin, että koettaisit hahmottaa vähän lintuperspektiivistä matikan laajuuden ja kuinka paljon näitä yksityiskohtia olisi täydennettävä, jotta matikkaa voisi lukea sujuvasti ja helposti. Huomaat, että ihmiselämä ei siihen riitä. Veikkaisin, että graduun asti kaiken voi opetella yksityiskohtaisesti ZFC:stä lähtien, mutta jo lisurissa ja väikkärissä tulee kehittää uutta ja opetella sen verran modernia matikkaa, että yksityiskohdista joutuu karsimaan.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Matikan opiskelu vaatii valitettavasti aika paljon omaa mietintää, kun aika monessa artikkelissa ei ole todistusten yksityiskohtia kirjoitettu auki.
Työn iloa!"

Ei ole mitään järkeä miettiä vaikeita deduktioita tietokoneaikakaudella.
Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä. Siinä olisi kaikki matemaattiset ja fysikaaliset tunnetut rakennelmat aksioomista lähtien step by step todistuksineen.
Kun joku tekisi sellaisen niin säästyisi suunnaton vaiva.

Tosin matematiikka on niin vaikeaa, että tuskin mikään tekoäly osaisi ratkaista Poincaren konjuktuuria kuten vaikkapa Grigori Perelman.

Mutta jos jokin asia on deterministisesti ratkaistavissa niin siihen soveltuu paremmin tietokone kuin ihmisaivot. Vaikeus on siinä, että jotain probleemaa ei edes tajua kuin 100 ihmistä maapallolla.
Matematiikan luulisi aluksi olevan loogista ja selkeää, mutta jotain hämärää siinä on myös. Hirveä määrä kaikkia teoreemia ja todistuksia jotka on kirjoitettu mahdollisimman lyhyesti vaikealla symbolikielellä. Ei motivoi oppimaan sellainen. Laissa pitäisi määritellä, että jokainen asia opetettaisiin matematiikassa yksityiskohatisesti (mikä seuraa mistäkin).

Monet matemaattiset jutut jäävät hämäriksi kuten esim. äärettömyyden käsite
tai surreaaliluvut. Ne jäävät formalismiksi vailla konkreettista intuitiota.

Lue lisää

"Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä. Siinä olisi kaikki matemaattiset ja fysikaaliset tunnetut rakennelmat aksioomista lähtien step by step todistuksineen."

Vaan riittääkö maapallon atomit tallentamaan koko matematiikkaa? Matemaattista dataa on vaan niin käsittämätön määrä ja uutta luodaan jatkuvasti. Esim. Goldbachin heikko otaksuma vaati noin 10^27 erikoistapauksen tietokonetodistuksen, ja jos (lähes) jokaisen erikoistapauksen todistaminen vaatisi aukikirjoitettuna useita sivuja, niin pelkästään yhden lauseen todistus vaatisi ihan mukavankokoisen kirjaston. :)

matikanFM kirjoitti:

"Ei ole mitään järkeä miettiä vaikeita deduktioita tietokoneaikakaudella.
Tietokoneohjelma voitaisiin tehdä, jossa olisi koko länsimainen matematiikka yhdellä cd:llä."

Matikan tuloksia on vaan niin paljon, ettei cd-levy taida riittää moiseen.

"Tosin matematiikka on niin vaikeaa, että tuskin mikään tekoäly osaisi ratkaista Poincaren konjuktuuria kuten vaikkapa Grigori Perelman. "

No ei varmaan. Ihmiset ja koneet ratkovat asioita eri tavoiilla.

"Laissa pitäisi määritellä, että jokainen asia opetettaisiin matematiikassa yksityiskohatisesti (mikä seuraa mistäkin)."

Entäs ne hyvät oppilaat, jotka osaavat jo nykyopetuksen matikan etukäteen? Tylsistyisivät yhä enemmän. Eivät oppisi niin paljon kuin nykyään, jos opetussuunnitelmissa ei päästä siihen mihin nykyopetuksella päästään.

"Monet matemaattiset jutut jäävät hämäriksi kuten esim. äärettömyyden käsite
tai surreaaliluvut. Ne jäävät formalismiksi vailla konkreettista intuitiota."

Matikka on vaan niin tavattoman laajalti kehittynyttä, että huippumatemaatikotkin hallitsevan siitä vain jonkun osa-alueen.

Suosittelisin, että koettaisit hahmottaa vähän lintuperspektiivistä matikan laajuuden ja kuinka paljon näitä yksityiskohtia olisi täydennettävä, jotta matikkaa voisi lukea sujuvasti ja helposti. Huomaat, että ihmiselämä ei siihen riitä. Veikkaisin, että graduun asti kaiken voi opetella yksityiskohtaisesti ZFC:stä lähtien, mutta jo lisurissa ja väikkärissä tulee kehittää uutta ja opetella sen verran modernia matikkaa, että yksityiskohdista joutuu karsimaan.

Lue lisää

"Matikan tuloksia on vaan niin paljon, ettei cd-levy taida riittää moiseen."

No nykyaikaiselle muistitikulle mahtuisi ihan varmasti länsimainen matematiikka aina alkeista gradutasolle asti. Esim. yliopistoon asti matematiikka on lähinnä yhteenlaskua eri variaatioilla.

Yliopistossa sitten yhtäkkiä tulee teoreemia ja todistuksia. Eikä niitäkään tule kuin rajallinen määrä. Kursseja on äärellinen määrä ja niihin mahtuu äärellinen määrä näitä teoreemoja ja todistuksia. Hirveän määrän "turhaa" työtä joutuvat opiskelijat tekemään, vaikka matematiikka saataisiin yhdelle muistitikulle esimerkkeineen, teoreemineen ja todistuksineen. Jokainen auki selitettynä vaihe vaiheelta.

"Entäs ne hyvät oppilaat, jotka osaavat jo nykyopetuksen matikan etukäteen? Tylsistyisivät yhä enemmän. Eivät oppisi niin paljon kuin nykyään, jos opetussuunnitelmissa ei päästä siihen mihin nykyopetuksella päästään."

En ymmärrä miten hyvät oppilaat tylsistyisivät matikkapeliin tai muistitikulla olevaan dataan, jossa olisi matematiikka yhdessä paketissa gradutasolle asti.
Luultavasti se vaan kannustaisi heitä eteenpäin.

"Matikka on vaan niin tavattoman laajalti kehittynyttä, että huippumatemaatikotkin hallitsevan siitä vain jonkun osa-alueen."

Näille osa-alueille kukin huippututkija voisi tehdä oman muistitikkunsa, jossa kaikki olisi auki selitettynä. Jälkipolvien varalta, jos vaikkapa ydinsota tuhoaisi 2/3 maapallosta.

"mutta jo lisurissa ja väikkärissä tulee kehittää uutta ja opetella sen verran modernia matikkaa, että yksityiskohdista joutuu karsimaan."

Jos graduun asti voi kaiken opetella yksityiskohtaisesti niin silloin ihminen on noin 25 vuotias. Miten ihmeessä voi dataa olla niin hirveästi yhtäkkiä sitten jatko-opintoihin kun kuitenkin moni valmistuu tohtoriksi päälle 30 vuotiaana. Se data minkä ihminen oppii 10 vuodessa mahtuu mainiosti modernille muistitikulle.

Yksittäisen ihmisen elämä ei tietenkään riitä hallitsemaan kaikkea matematiikkaa, mutta jollain tavalla matematiikassa kaiken on linkityttävä toisiinsa. Lähes koko lukion pitkän matematiikan saa redusoitua yhteenlaskuun. Yliopistomatematiikan logiikkaan.

Luulen , että tarvitsee lukea useampikin kurssi...

"Reaalilukuja on "enemmän" kuin luonnollisia lukuja. "

Viittaat siis Cantorin teoreemaan, koska siihen se pohjautuu.
Sitä ovat kritisoineet monet suuret matemaatikot kuten L.Kronecker.

Ääretön on käsite. Äärettömästä ei voi olla enempää ihan sen käsitteestä johtuen.
Ei voida sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja.
Näiden lukujoukkojen välille ei toki bijektiota ole Cantorin formalismissa.
Äärettömien joukkojen kohdalla vertailu ei mene samoin kuin äärellisten.

Käytännössä siis reaalilukuja on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja.
Ääretön määrä. Toki luonnollisten lukujen "itseisarvo kasvaa" huomattavasti nopeammin lähestyttäessä ääretöntä kuin reaaliluvuilla. Mutta alkioiden lukumäärä on kummallakin sama ääretön, vaikkakin näiden äärettömyyksien välille ei saada bijektiota.

"It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Tiedetään, että tämä Cantorin formalismi sallii potenssijoukon olevan sitä edeltävää joukkoa aina mahtavampi eli Card N

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Reaalilukuja on "enemmän" kuin luonnollisia lukuja. "

Viittaat siis Cantorin teoreemaan, koska siihen se pohjautuu.
Sitä ovat kritisoineet monet suuret matemaatikot kuten L.Kronecker.

Ääretön on käsite. Äärettömästä ei voi olla enempää ihan sen käsitteestä johtuen.
Ei voida sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja.
Näiden lukujoukkojen välille ei toki bijektiota ole Cantorin formalismissa.
Äärettömien joukkojen kohdalla vertailu ei mene samoin kuin äärellisten.

Käytännössä siis reaalilukuja on yhtä paljon kuin luonnollisia lukuja.
Ääretön määrä. Toki luonnollisten lukujen "itseisarvo kasvaa" huomattavasti nopeammin lähestyttäessä ääretöntä kuin reaaliluvuilla. Mutta alkioiden lukumäärä on kummallakin sama ääretön, vaikkakin näiden äärettömyyksien välille ei saada bijektiota.

"It does not prove, however, that the number of elements in R is in fact greater than the number of elements in N, for only the notion of two sets having different power has been specified; given two sets of different power, nothing so far has specified which of the two is greater."

https://en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor's_theory

Tiedetään, että tämä Cantorin formalismi sallii potenssijoukon olevan sitä edeltävää joukkoa aina mahtavampi eli Card N

Lue lisää

Taavi siis yrittää lyhyesti sanoa ettei hän hyväksy äärettömän joukon potenssijoukon olemassaoloa. Se on eräs ZF joukko-opin aksiooma

"Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa x kohti on olemassa joukko y, joka sisältää vain kaikki x:n osajoukot."

Taavi ei siis hyväksy tätä aksioomaa, tästä on kyse. Reaalilukujen mahtavuus on suurempi jos ja vain jos luonnollisten lukujen joukolla on potenssijoukko eli joukko joka sisältää alkioinaan kaikki luonnollisten lukujen osajoukot.

fffffs kirjoitti:

Taavi siis yrittää lyhyesti sanoa ettei hän hyväksy äärettömän joukon potenssijoukon olemassaoloa. Se on eräs ZF joukko-opin aksiooma

"Potenssijoukkoaksiooma: Jokaisella joukolla on potenssijoukko eli sen kaikkien osajoukkojen joukko. Se on: jokaista joukkoa x kohti on olemassa joukko y, joka sisältää vain kaikki x:n osajoukot."

Taavi ei siis hyväksy tätä aksioomaa, tästä on kyse. Reaalilukujen mahtavuus on suurempi jos ja vain jos luonnollisten lukujen joukolla on potenssijoukko eli joukko joka sisältää alkioinaan kaikki luonnollisten lukujen osajoukot.

Lue lisää

Onko Taavi yleisestikin sitä mieltä että matematiikan tulisi perustua terveeseen järkeen eikä aksioomiin?

Purre-2 kirjoitti:

Onko Taavi yleisestikin sitä mieltä että matematiikan tulisi perustua terveeseen järkeen eikä aksioomiin?

Sitä pitää kysyä Taavilta, mutta miten terve järki ja aksioomat eroavat toisistaan. Yleensä aksioomat valitaan nimen omeen terveen järjen perusteella, toki voidaan valita toisenkinlaiset aksioomat.

Nyt pitäisi ennemminkin kysyä miksi jonkun mielestä äärettömällä joukolla ei voi olla potenssijoukkoa (ja tässä tapauksessa siis riittää numeroituvasti äärettömällä). Tilanne voisi olla kahdenlainen, Taavin mielestä luonnollisten lukujen joukolla on oltava osajoukko jota ei voida muodostaa tai jos kaikki osajoukot on olemassa, niin niistä muodostettu joukko ei hyväksytä enää joukoksi (olisi kai sitten luokka).

Yhtä hyvin joku voi kieltää tyhjän joukon olemassaolon "Aina on oltava jotain, ei voi olla joukkoa joka on tyhjä, aina on jotain", siksi se onkin aksiooma.

fffffs kirjoitti:

Sitä pitää kysyä Taavilta, mutta miten terve järki ja aksioomat eroavat toisistaan. Yleensä aksioomat valitaan nimen omeen terveen järjen perusteella, toki voidaan valita toisenkinlaiset aksioomat.

Nyt pitäisi ennemminkin kysyä miksi jonkun mielestä äärettömällä joukolla ei voi olla potenssijoukkoa (ja tässä tapauksessa siis riittää numeroituvasti äärettömällä). Tilanne voisi olla kahdenlainen, Taavin mielestä luonnollisten lukujen joukolla on oltava osajoukko jota ei voida muodostaa tai jos kaikki osajoukot on olemassa, niin niistä muodostettu joukko ei hyväksytä enää joukoksi (olisi kai sitten luokka).

Yhtä hyvin joku voi kieltää tyhjän joukon olemassaolon "Aina on oltava jotain, ei voi olla joukkoa joka on tyhjä, aina on jotain", siksi se onkin aksiooma.

Lue lisää

"Yleensä aksioomat valitaan nimen omeen terveen järjen perusteella, toki voidaan valita toisenkinlaiset aksioomat."

Taavin mielestä aksioomien pitää tietysti perustua terveeseen järkeen.
Mitä terve järki tarkoittaa matematiikassa?
Matemaatikon mielivaltaa päättää säännöt?

Edelleen voidaan olettaa kuitenkin potenssijoukkoaksiooma äärettömille joukoille.
Tästä huolimatta ei voida sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja. Näiden äärettömyys on vain "erilaista".
Pointti on se, että kardinaliteetti tarkoittaa äärellisille joukoille alkioiden lukumäärää, mutta äärettömille joukoille se on vain formalismista kumpuava erikoisuus. (on emahdollista konstruoida Cantorin aksioomilla erilaisia äärettömyyksiä)

Lisäkysymys:

Miten joukon tiheys ja kardinaliteetti liittyvät toisiinsa?
Voidaanko mitenkään tietää, että täydellisyysaksiooma on luotettva, jos kerran Cantorin mukaan löytyy aina lukujoukko, jonka kardinaliteetti on edellistä suurempi.

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Yleensä aksioomat valitaan nimen omeen terveen järjen perusteella, toki voidaan valita toisenkinlaiset aksioomat."

Taavin mielestä aksioomien pitää tietysti perustua terveeseen järkeen.
Mitä terve järki tarkoittaa matematiikassa?
Matemaatikon mielivaltaa päättää säännöt?

Edelleen voidaan olettaa kuitenkin potenssijoukkoaksiooma äärettömille joukoille.
Tästä huolimatta ei voida sanoa, että reaalilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja. Näiden äärettömyys on vain "erilaista".
Pointti on se, että kardinaliteetti tarkoittaa äärellisille joukoille alkioiden lukumäärää, mutta äärettömille joukoille se on vain formalismista kumpuava erikoisuus. (on emahdollista konstruoida Cantorin aksioomilla erilaisia äärettömyyksiä)

Lisäkysymys:

Miten joukon tiheys ja kardinaliteetti liittyvät toisiinsa?
Voidaanko mitenkään tietää, että täydellisyysaksiooma on luotettva, jos kerran Cantorin mukaan löytyy aina lukujoukko, jonka kardinaliteetti on edellistä suurempi.

Lue lisää

En menisi vähättelemään mahtavuuden käsitettä koska se on aivan mahtava keksintö. Sen avullahan voidaan määritellä lukumäärän käsite: lukumäärä =äärellisen joukon mahtavuus.

Voidaan kai tämmöisissä jutusteluissa sopia notta lukumäärästä puhuttaessa se tarkoittaa aina mahtavuutta. Eli on lupa puhua lukumääristä myös äärettömien joukkojen ollessa kyseessä. Ei kai siitä mitään epäselvyyttä synny. Tämä meni ehkä vähän asian vierestä mutta menköön.

Purre-2 kirjoitti:

En menisi vähättelemään mahtavuuden käsitettä koska se on aivan mahtava keksintö. Sen avullahan voidaan määritellä lukumäärän käsite: lukumäärä =äärellisen joukon mahtavuus.

Voidaan kai tämmöisissä jutusteluissa sopia notta lukumäärästä puhuttaessa se tarkoittaa aina mahtavuutta. Eli on lupa puhua lukumääristä myös äärettömien joukkojen ollessa kyseessä. Ei kai siitä mitään epäselvyyttä synny. Tämä meni ehkä vähän asian vierestä mutta menköön.

Lue lisää

"Eli on lupa puhua lukumääristä myös äärettömien joukkojen ollessa kyseessä."

No jos itse oikeuttaa itselleen sellaisen luvan.
Miten sinä voit kuvitella äärettömästä enempää olisi mielenkiintoista tietää.

Se, että on eri kardinaliteetin/mahtavuuden äärettömyyksiä ei vielä todista, että alkioiden lukumäärä olisi erilainen.
Näillä äärettömyyksillä on vain erilainen mahtavuus johtuen Cantorin käyttämistä aksioomista.

Mahtavuus siis tarkoittaa äärettömien joukkojen kohdalla lähinnä Cantorin aksioomista johdettua tulosta, potenssijoukko on sen lähtöjoukkoa aina mahtavampi.

Tiedetään, että luonnollisilla/kokonais/rationaaliluvuilla on sama mahtavuus.
Numeroituvasti äärettömän joukon potenssijoukko taas on mahtavampi näitä (eli reaaliluvut ja kompleksiluvut). Ylinumeroituvalle joukolle löytyy myös potenssijoukko, ja sille potenssijoukko jne...äärettömästi.

Eikö siis ole sangen todennäköistä, että löytyy myös joukko joka on myös tiheämpi kuin reaaliluvut. Tällöin täydellisyysaksiooma menisi roskakoriin ja koko matematiikka kaatuisi.

Tämä potenssijoukkoaksiooma sovellettuna äärettömälle joukolle samoin kuin äärelliselle haiskahtaa terveen järjen vastaiselta.
Se on vain sopimus.

Pystytkö itse kuvittelemaan äärettömän joukon potenssijoukon???

Olisi mukavaa jos reaalilukujen potenssijoukko olisi yhtä kuin kompleksiluvut. Näin ei kuitenkaan ole. Joku asioista perillä oleva osaa varmaan sanoa miksi ei.

"-- tässä on looginen ristitiita sen intuition kanssa, että äärettömästä ei voi olla enempää."

Vieläkään et ole määritellyt, mitä tarkoitat sillä, että jotain on enemmän kuin jotain toista. En minä voi sinun intuitioitasi ymmärtää, jos et määrittele käsitteitäsi. Mitä siis tarkoittaa se, että jotakin on enemmän kuin jotakin toista? Ainoa määritelmä, joka Itselleni tulee mieleen, on se, että joukossa A on enemmän alkioita kuin joukossa B, jos ei ole olemassa surjektiota B:stä A:han. Tätä määritelmää et kuitenkaan ole hyväksynyt, joten täytyyhän sinulla olla jokin oma määritelmäsi. Kerro se meille.

"Kuitenkin jos reaalilukujen potenssijoukko on mahtavampi kuin reaaliluvut (Cantorin formalismin mukaisesti) niin eikö reaaliluvut ole tällöin sen joukon osajoukko, --"

Ei ole. Reaalilukujen joukko on potenssijoukkonsa alkio, ei osajoukko.

"-- mahdollisesti jopa samaan tapaan kuin rationaaliluvut ovat reaalisuoran osajoukko, jolloin reaalisuora olisi osa jotain toista "suoraa" sisältäen näin ollen "aukkoja" kuten rationaalilukusuorakin sisältää irrationaalilukujen mentäviä aukkoja."

Ei voi olla näin. Jos konstruoit reaaliluvut lähtien rationaalilukujen joukosta, on täydellisyysominaisuus teoreema, ei aksiooma. Ks. todistus osoitteesta

http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers

Jos taas ajattelet reaaliukujen joukkoa aksiomaattisesti (eli et konstruoi niitä), on täydellisyysominaisuus tosiaan aksiooma. Jos epäilet tuon aksiooman mielekkyyttä ja hylkäät sen, et enää puhu samoista reaaliluvuista kuin konstruoimalla saataisiin. Kannattaa keksiä näille uusille luvuille jokin eri nimi, jotteivät ne jatkossa mene sekaisin reaalilukujen kanssa. Sitten voit alkaa kehittää niille "reaalianalyysiä".

Purre-2 kirjoitti:

Olisi mukavaa jos reaalilukujen potenssijoukko olisi yhtä kuin kompleksiluvut. Näin ei kuitenkaan ole. Joku asioista perillä oleva osaa varmaan sanoa miksi ei.

Reaalilukujen joukon potenssijoukon alkiot ovat joukkoja. Kompleksilukujen joukon alkiot ovat lukuja. R:n potenssijoukko ei voi olla C, koska R:n potenssijoukko ei sisällä yhtään kompleksilukua. Eihän se sisällä edes yhtään reaalilukua, vaan vain joukkoja.

Esimerkki: Olkoon A = {0, 1}. Tällöin A:n potenssijoukko on P(A) = { {0}, {1}, {0, 1}, {} }, jossa {} tarkoittaa tyhjää joukkoa. Siis 0 tai 1 eivät ole P(A):n alkioita.

a-s-h kirjoitti:

"-- tässä on looginen ristitiita sen intuition kanssa, että äärettömästä ei voi olla enempää."

Vieläkään et ole määritellyt, mitä tarkoitat sillä, että jotain on enemmän kuin jotain toista. En minä voi sinun intuitioitasi ymmärtää, jos et määrittele käsitteitäsi. Mitä siis tarkoittaa se, että jotakin on enemmän kuin jotakin toista? Ainoa määritelmä, joka Itselleni tulee mieleen, on se, että joukossa A on enemmän alkioita kuin joukossa B, jos ei ole olemassa surjektiota B:stä A:han. Tätä määritelmää et kuitenkaan ole hyväksynyt, joten täytyyhän sinulla olla jokin oma määritelmäsi. Kerro se meille.

"Kuitenkin jos reaalilukujen potenssijoukko on mahtavampi kuin reaaliluvut (Cantorin formalismin mukaisesti) niin eikö reaaliluvut ole tällöin sen joukon osajoukko, --"

Ei ole. Reaalilukujen joukko on potenssijoukkonsa alkio, ei osajoukko.

"-- mahdollisesti jopa samaan tapaan kuin rationaaliluvut ovat reaalisuoran osajoukko, jolloin reaalisuora olisi osa jotain toista "suoraa" sisältäen näin ollen "aukkoja" kuten rationaalilukusuorakin sisältää irrationaalilukujen mentäviä aukkoja."

Ei voi olla näin. Jos konstruoit reaaliluvut lähtien rationaalilukujen joukosta, on täydellisyysominaisuus teoreema, ei aksiooma. Ks. todistus osoitteesta

http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_the_real_numbers

Jos taas ajattelet reaaliukujen joukkoa aksiomaattisesti (eli et konstruoi niitä), on täydellisyysominaisuus tosiaan aksiooma. Jos epäilet tuon aksiooman mielekkyyttä ja hylkäät sen, et enää puhu samoista reaaliluvuista kuin konstruoimalla saataisiin. Kannattaa keksiä näille uusille luvuille jokin eri nimi, jotteivät ne jatkossa mene sekaisin reaalilukujen kanssa. Sitten voit alkaa kehittää niille "reaalianalyysiä".

Lue lisää

"Tätä määritelmää et kuitenkaan ole hyväksynyt, joten täytyyhän sinulla olla jokin oma määritelmäsi. Kerro se meille."

Olen hyväksynyt, mutta vain äärellisille joukoille. Äärettömien joukkojen kohdalla pätee "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma", joka välttämättä tarkoittaa isomorfiaa kaikkien äärettömyyksien kesken. Siis jos jotain on ääretön määrä niin sitä on aina se sama ääretön määrä, koska äärettömästä ei voi olla enempää (äärellisen joukon mielessä). Äärellisille joukoille pätee ZFC, äärettömille joukoille "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma".

"Ei ole. Reaalilukujen joukko on potenssijoukkonsa alkio, ei osajoukko. "

Kyllähän potenssijoukon alkio on myös osajoukko. Esim.tyhjä joukko on jokaisen joukon potenssijoukon alkio, mutta se on myös jokaisen joukon osajoukko.

Ei ole mitenkään selvää, että reaalisuora olisi "täydellinen" ilman aukkoja.
Miten on esim. infinitesimaalien laita? Eivät ole reaalisuoralla, että sikäli infinitesimaalilukusuora olisi "täydellisempi".

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Tätä määritelmää et kuitenkaan ole hyväksynyt, joten täytyyhän sinulla olla jokin oma määritelmäsi. Kerro se meille."

Olen hyväksynyt, mutta vain äärellisille joukoille. Äärettömien joukkojen kohdalla pätee "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma", joka välttämättä tarkoittaa isomorfiaa kaikkien äärettömyyksien kesken. Siis jos jotain on ääretön määrä niin sitä on aina se sama ääretön määrä, koska äärettömästä ei voi olla enempää (äärellisen joukon mielessä). Äärellisille joukoille pätee ZFC, äärettömille joukoille "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma".

"Ei ole. Reaalilukujen joukko on potenssijoukkonsa alkio, ei osajoukko. "

Kyllähän potenssijoukon alkio on myös osajoukko. Esim.tyhjä joukko on jokaisen joukon potenssijoukon alkio, mutta se on myös jokaisen joukon osajoukko.

Ei ole mitenkään selvää, että reaalisuora olisi "täydellinen" ilman aukkoja.
Miten on esim. infinitesimaalien laita? Eivät ole reaalisuoralla, että sikäli infinitesimaalilukusuora olisi "täydellisempi".

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

Lue lisää

Kysymys kuuluu ja on koko ajan kuulunut näin Taavi:

Miksi et hyväksy aksioomaa että luonnollisilla luvuilla on potenssijoukko?

Jos luonnollisilla luvuilla on potenssijoukko niin reaalilukujen joukko joka on yhtä mahtava kyseisen potenssijoukon kanssa on mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Toisaalta mikäli kaksi joukkoa (äärellistä) sisältää saman määrän alkioita, on niiden välillä bijektio eli yhtä mahtavat. Äärettömille joukoille ei ole käsitettä lukumäärä ja luonnollinen laajennus on mahtavuuden käsite. Nyt jos tahdot voit esitellä meille sitten oman laajennoksesi käsitteelle "lukumäärä", näyttää että sopii äärellisille joukoille ja sitten miten se toimii äärettömille joukoille.

fffffs kirjoitti:

Kysymys kuuluu ja on koko ajan kuulunut näin Taavi:

Miksi et hyväksy aksioomaa että luonnollisilla luvuilla on potenssijoukko?

Jos luonnollisilla luvuilla on potenssijoukko niin reaalilukujen joukko joka on yhtä mahtava kyseisen potenssijoukon kanssa on mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Toisaalta mikäli kaksi joukkoa (äärellistä) sisältää saman määrän alkioita, on niiden välillä bijektio eli yhtä mahtavat. Äärettömille joukoille ei ole käsitettä lukumäärä ja luonnollinen laajennus on mahtavuuden käsite. Nyt jos tahdot voit esitellä meille sitten oman laajennoksesi käsitteelle "lukumäärä", näyttää että sopii äärellisille joukoille ja sitten miten se toimii äärettömille joukoille.

Lue lisää

Miksi et hyväksy aksioomaa että luonnollisilla luvuilla on potenssijoukko?"

Hyväksyn, jos se luonnollisten lukujen joukko on äärellinen.
En siis hyväksy potenssijoukkoaksioomaa äärettömälle joukolle (luonnollisten lukujen ääretön joukko esim.). Korvaan sen äärettömyyden yksikäsitteisyysaksioomalla, jolloin reaalilukujen ja luonnollisten lukujen välille tulee bijektio. Siis ääretön on yksikäsitteinen.

Miten on.
Ovatko infitesimaalit reaalisuoran aukkoja?
Eli miksi vielä uskotaan reaalisuoran täydellisyysaksioomaan?

" It may be hard to imagine, but around every standard real number there is a cloud of its hyperreal approximations, all on the same number line, if you will."

http://www.cut-the-knot.org/WhatIs/Infinity/Structure.shtml

Taavi Hilpertti kirjoitti:

"Tätä määritelmää et kuitenkaan ole hyväksynyt, joten täytyyhän sinulla olla jokin oma määritelmäsi. Kerro se meille."

Olen hyväksynyt, mutta vain äärellisille joukoille. Äärettömien joukkojen kohdalla pätee "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma", joka välttämättä tarkoittaa isomorfiaa kaikkien äärettömyyksien kesken. Siis jos jotain on ääretön määrä niin sitä on aina se sama ääretön määrä, koska äärettömästä ei voi olla enempää (äärellisen joukon mielessä). Äärellisille joukoille pätee ZFC, äärettömille joukoille "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma".

"Ei ole. Reaalilukujen joukko on potenssijoukkonsa alkio, ei osajoukko. "

Kyllähän potenssijoukon alkio on myös osajoukko. Esim.tyhjä joukko on jokaisen joukon potenssijoukon alkio, mutta se on myös jokaisen joukon osajoukko.

Ei ole mitenkään selvää, että reaalisuora olisi "täydellinen" ilman aukkoja.
Miten on esim. infinitesimaalien laita? Eivät ole reaalisuoralla, että sikäli infinitesimaalilukusuora olisi "täydellisempi".

https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal

Lue lisää

"Olen hyväksynyt, mutta vain äärellisille joukoille. Äärettömien joukkojen kohdalla pätee "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma", joka välttämättä tarkoittaa isomorfiaa kaikkien äärettömyyksien kesken."

Ok. Ja ilmeisesti määritelmääsi kuuluu myös, että jokaisessa äärettömässä joukossa on enemmän alkioita kuin missään äärellisessä joukossa? Nyt olet siis määritellyt mitä tarkoittaa käsite "olla enemmän kuin jotakin toista". Samalla olet vastannut tyhjentävästi omaan aloitusviestisi kysymykseen. Eli sinun määritelmäsi valossa ei voida sanoa, että realilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja. Mutta huomaa, että kyllä tähän määritelmä tarvittiin, ennen kuin asiasta pystyttiin sanomaan yhtään mitään.

Huomaa myös, että reaalilukujen joukko on määritelmästäsi huolimatta yhä mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Eli ei ole olemassa bijektiota N:stä R:ään.

"Kyllähän potenssijoukon alkio on myös osajoukko."

Sinä väitit aiemmassa viestissäsi (implisiittisesti), että potenssijoukon alkio olisi samaisen potenssijoukon osajoukko. Ei näin ole. Mutta ei tällä asialla ole oikeasti merkitystä argumenttisi suhteen, joten tästä vääntämisen voimme jättää tähän.

"Ovatko infitesimaalit reaalisuoran aukkoja? Eli miksi vielä uskotaan reaalisuoran täydellisyysaksioomaan?"

Lukusuorasta ja sen aukoista puhuminen on reaalilukujoukon järjestyksen ja täydellisyyden havainnollistamista. Täydellisyys ei oikeasti tarkoita sitä, että lukusuorassa ei ole reikiä. Älä ajattele tätä aukkohavainnollistusta liian konkreettisesti. Oikeasti täydellisyys tarkoittaa juuri sitä, mitä linkkaamassasi Wikipedia-artikkelissa siitä kerrottiin: siis sitä, että jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä reaalilukujoukolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja.

Ts. vaikka tungettaisiin lukusuoralle joka väliin äärettömästi hyperreaalilukuja ja näin tehtäisiin lukusuoralle reikiä, ei reaalilukujoukon täydellisyys muuttuisi siitä mihinkään. Jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä _reaaliluvuista_ koostuvalla joukolla olisi yhä pienin yläraja _reaalilukujen_ joukossa.

a-s-h kirjoitti:

"Olen hyväksynyt, mutta vain äärellisille joukoille. Äärettömien joukkojen kohdalla pätee "äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma", joka välttämättä tarkoittaa isomorfiaa kaikkien äärettömyyksien kesken."

Ok. Ja ilmeisesti määritelmääsi kuuluu myös, että jokaisessa äärettömässä joukossa on enemmän alkioita kuin missään äärellisessä joukossa? Nyt olet siis määritellyt mitä tarkoittaa käsite "olla enemmän kuin jotakin toista". Samalla olet vastannut tyhjentävästi omaan aloitusviestisi kysymykseen. Eli sinun määritelmäsi valossa ei voida sanoa, että realilukuja olisi enemmän kuin luonnollisia lukuja. Mutta huomaa, että kyllä tähän määritelmä tarvittiin, ennen kuin asiasta pystyttiin sanomaan yhtään mitään.

Huomaa myös, että reaalilukujen joukko on määritelmästäsi huolimatta yhä mahtavampi kuin luonnollisten lukujen joukko. Eli ei ole olemassa bijektiota N:stä R:ään.

"Kyllähän potenssijoukon alkio on myös osajoukko."

Sinä väitit aiemmassa viestissäsi (implisiittisesti), että potenssijoukon alkio olisi samaisen potenssijoukon osajoukko. Ei näin ole. Mutta ei tällä asialla ole oikeasti merkitystä argumenttisi suhteen, joten tästä vääntämisen voimme jättää tähän.

"Ovatko infitesimaalit reaalisuoran aukkoja? Eli miksi vielä uskotaan reaalisuoran täydellisyysaksioomaan?"

Lukusuorasta ja sen aukoista puhuminen on reaalilukujoukon järjestyksen ja täydellisyyden havainnollistamista. Täydellisyys ei oikeasti tarkoita sitä, että lukusuorassa ei ole reikiä. Älä ajattele tätä aukkohavainnollistusta liian konkreettisesti. Oikeasti täydellisyys tarkoittaa juuri sitä, mitä linkkaamassasi Wikipedia-artikkelissa siitä kerrottiin: siis sitä, että jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä reaalilukujoukolla on reaalilukujen joukossa pienin yläraja.

Ts. vaikka tungettaisiin lukusuoralle joka väliin äärettömästi hyperreaalilukuja ja näin tehtäisiin lukusuoralle reikiä, ei reaalilukujoukon täydellisyys muuttuisi siitä mihinkään. Jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä _reaaliluvuista_ koostuvalla joukolla olisi yhä pienin yläraja _reaalilukujen_ joukossa.

Lue lisää

"Ts. vaikka tungettaisiin lukusuoralle joka väliin äärettömästi hyperreaalilukuja ja näin tehtäisiin lukusuoralle reikiä, ei reaalilukujoukon täydellisyys muuttuisi siitä mihinkään. Jokaisella ylhäältä rajoitetulla epätyhjällä _reaaliluvuista_ koostuvalla joukolla olisi yhä pienin yläraja _reaalilukujen_ joukossa."

Ei välttämättä. Niitä infitesimaaleja kun on ääretön määrä niin eihän mitään pienintä ylärajaa ole. Voidaan aina löytää jokin luku joka on "vielä pienempi yläraja". Tämä siis vain infitesimaaleilla.

Reaalisuora on täydellinen vain sen takia, että se käsittää vain reaaliluvut.
Ja se on ad hoc konstruoitu täydelliseksi. Sovittu määritelmä, joka soveltuu siihen. Hyperreaaleihin se ei sovellu (siis täydellisyysaksiooma). Jos siis nyt sovittaisiin niin (loogisesti näin voitaisiin tehdä), että reaalilukuihin kuuluvat myös infitesimaalit niin olisiko reaalilukusuora enää täydellinen??

Reaaliluvuilla esim. 0.999...=1, mutta hyperreaaliluvuilla ei.

Sivulta http://www.fact-index.com/h/hy/hyperreal_number.html : "Unlike the reals, the hyperreals do not form a metric space". Eli koska kyseessä ei ole metrinen avaruus. ei hyperreaalilukujen muotostama avaruus ole täydellinen.

"Juuri näin. Ja syy tällaiseen toimintaan on erittäin hyvä: on haluttu joukko, jonka alkioilla voi kuvata (suunnattujen) janojen pituuksia. Tälle joukolle on annettu nimi reaalilukujen joukko R."

No miksi näin on haluttu tehdä? Siis kuvata suunnattujen janojen pituuksia?
Saneleeko siis fysiikka matematiikan?

Jos nyt unohdetaan fysiikka, ja ajatellaan matemaattisesti. Jos ajatellaan järjellä niin esim. lähestyessä numeroa 1 reaaliakselilla niin löytyy äärettömästi numeroita välillä (0,1) siis kun 1 ei sisälly väliin. Aina löytyy reaaliluku joka on lähempänä 1 kuin edellinen. Miten tällainen väli olisi rajoitettu?
Ad hoc Sopimuksella tietysti! Naurettavaa pelleilyä tehdä aksioomia ja sopimuksia omien intressien läpi viemiseksi. Siis reaalilukuakseli on täydellinen vain siksi, että niin on sovittu.

"Ajattelet ehkä, että on olemassa jokin laajempi joukko, jonka osajoukkona R:ää pitää aina ajatella. Ei ole näin. R:n täydellisyys on R:n sisäinen ominaisuus.

Ajattelen juuri näin ja väitän, että reaaliakseli on osa suurempaa "hyperreaaliakselia", jossa jokaisen reaaliluvun välissä on ääretön määrä infitesimaaleja.

Käytännössä reaalilukuakselin tarkkuus nykyisessä zfc mielessä riittää tietysti luonnotieteisiin (fysiikka), koska maailmankaikkeus koostuu äärellisestä määrästä partikkeleita ja jo epätarkkuusperiaate sekä Planckin säde rajoittavat meidät tietysti hyvin rajoittuneeseen matematiikkaan. Käytännön kannalta tosin matematiikkaa ei edes tarvittaisi. Riittää, että tajuaa selviytyä ja ehkä jopa lisääntyä.

Mutta edelleen järjellä ajateltuna äärettömästä ei voi olla enempää.
Siis väitän, että reaalilukuja ja luonnollisia lukuja on yhtä paljon. Ja että äärettömälle joukolle ei voida kuvitella potenssijoukkoa.
Lisäksi vieläpä väitän, että reaaliluvut ovat osa hyperreaalilukuja.

Se, että matematiikkaamme toimii johtuu siis mielestäni siitä, että sen tarkkuus on tarpeeksi riittävä, eikä siitä että se olisi eksaktia kun mielivaltaisesti lähestytään ääretöntä.

"Sanon tämän vielä uudelleen: reaalilukujen täydellisyysaksioomassa ei ole kyse lukusuoran aukoista."

No kun niistä juuri on "intuitiivisesti" kyse.

"Intuitively, completeness implies that there are not any “gaps” (in Dedekind's terminology) or “missing points” in the real number line. This contrasts with the rational numbers, whose corresponding number line has a “gap” at each irrational value.

Dedekind completeness is the property that every Dedekind cut of the real numbers is generated by a real number. In a synthetic approach to the real numbers, this is the version of completeness that is most often included as an axiom.

The rational number line Q is not Dedekind complete. An example is the Dedekind cut

The rational number line Q is not Dedekind complete. An example is the Dedekind cut

L = \{ x \in \mathbf{Q}|x^2 \le 2 \vee x < 0\}.
R = \{ x \in \mathbf{Q}|x^2 \ge 2 \wedge x > 0 \}.
L does not have a maximum and R does not have a minimum, so this cut is not generated by a rational number.

There is a construction of the real numbers based on the idea of using Dedekind cuts of rational numbers to name real numbers; e.g. the cut (L,R) described above would name \sqrt{2}. If one were to repeat the construction with Dedekind cuts of real numbers, one would obtain no additional numbers because the real numbers are Dedekind complete."

https://en.wikipedia.org/wiki/Completeness_of_the_real_numbers

Väitän, että esim. infinitesimaalinen luku 0.999... on aukko reaaliakselilla.
Siispä reaalilukujoukko ei ole eksaktisti ainakaan maksimaalisen tiheä lukujoukko siis ilman "aukkoja". Miten nimitetään lukujoukkoa, jossa ei ole aukkoja (dedekind-täydellinen)??

" Et voi vain julistamalla todeta, että R:n ja N:n välillä on bijektio. Kai Cantorin diagonaalitodistus on sinulle tuttu?
"
Siis aikaisemmissa viesteissä on jo puitu tämä asia. En kannata Cantorin ja Hilbertin suuntausta, jossa päädytään "eri äärettömyyksien" tilanteeseen.
Kannatan Poincaren suuntausta. Diagonaaliargumentti on validi vain Cantorin aksiomatiikassa (sisältää potenssijoukkoaksiooman äärettömille joukoille, jota en hyväksy). Meikäläisen äärettömyyden yksikäsitteisyysaksiooma pakottaa bijektion kaikkien äärettömyyksien välille. Siis reaalilukuja ja luonn.lukuja on yhtä paljon=ääretön määrä.

Lisäksi on olemassa jopa suuntaus jossa, ääretön 1>ääretön
tämä on loogisesti oxymoroni, mutta arvostettu matikan proffa on sen takana:)

http://arxiv.org/abs/1203.3150

Nostan hattua pitkämielisyydellesi ja auttamishalullesi. Taavilla ei selvästikään ole mielenkiintoa syventyä asiaan vaan pääpaino on vastaan väittämisellä, koska juuri hän on löytänyt joukko-opista virheen! Toivottavasti joku kuitenkin saa tästkin ketjusta ammennettua jotain.

lisään sen, että

ensimmäinen joukko: y= xx, toinen joukko y=x, molemmissa x kuuluu luonnollisiin lukuihin ja x lähestyy ääretöntä

näiden joukkojen tiheys on sama, koska muuttujia ja niiden arvoja on yhtä paljon molemmissa JA KOSKA ensimmäisen joukon viimeiset alkiot ovat korkeammalla kuin jälkimmäisen samojen muuttuja-arvojen joukon arvot, jos ensimmäisestä joukosta otettaisiin pois korkeammat arvot, jälkimmäinen joukko olisi tiheämpi kuin ensimmäinen joukko.