Laplace-muunnos vaikea käsittää

Eräs Laplace-muunnoksen käyttötapa on seuraava:

Lineaarisen differentiaaliyhtälön ratkaisu:

Muodostetaan yhtlön eri termien Laplace-muunnokset käyttäen taulukoita ja derivaattojen Laplace-muunnoskaavoja.

Saadaan rationaalinen lauseke ratkaisufunktion Laplace-muunnokselle.

Ratkaistaan siitä ratkaisun Lapalac-muunnos.

Laplace-muunnosten taulukoiden avulla saadaan sitten yhtälön ratkaisufunktio.


Toinen esimerkki todennäköisyslaskennasta:

Olkoon positiivisen satunaismuuttujan tiheysfunktio f(x), kun x >= 0 ja 0 muuten. Sen Laplace-muunnos on silloin

L(s) = Int{exp(-sx)f(x)dx: x in (0, infty)}

Silloin derivaatta L'(s) = -Int{exp(-sx)xf(x)dx: x in (0, infty)}

Todetaan, että -L'(0) = Int{xf(x)dx: x in (0,infty)}, joka on satunnaismuuttujan keskiarvo. Laplace-muunnoksen avulla voidaan määrä myös positiivisten satunnaismuuttujien korkeampia momentteja.

Laplace-kaavassa

L(s) = Int{exp(-sx)f(x)dx: x in (0, infty)}

Int on summausoperaatio jolloin L(s) on tulojen exp(-sx)f(x) summa. Se on siis kahden ääretönulotteisen vektorin sisätulo eli korrelaatio tai sovitettu suodatus. Siinä tutkitaan, kuinka yhdensuuntaisia eli kuinka lähellä nämä vektorit ovat. Tässä nähdään, mikä on f(x):n muoto ajatellen vaimenevaa tai suurenevaa kompleksista eksponentiaalia. Tämä on lineaarialgebrallinen kuvaus. Samanlainen kuvaus pätee Fourier-muunnokseen ja z-muunnokseen.

Mene kauppikseen vaan. Et sinä ainakaan fyssan laitokselle ole tulossa.

Fourier muunnos on idealtaan hyvin samankaltainen
ja ainakin sille on aika hieno selitys:
http://betterexplained.com/articles/an-interactive-guide-to-the-fourier-transform/


Väitän, että täältä et saa yhtä hyvää selitystä Laplace-muunnokselle. Tämän palstan
sepät voivat ottaa vain oppia ko. linkistä.

Tietyt integraali- ja differentiaaliyhtälöt muuntuvat kerto- ja jakolaskuksi. Sovelluksia etupäässä säätötekniikan puolella.

Ainakin minä opin parhaiten kirjoittamalla yksityiskohdat auki. Ota joku funktio, laske sen Laplacen muunnos ja opettele yksityiskohdat. Jos kysyy spesifimmin, saa varmaan parempia vastauksia. Netistä löytyi tämmöinen keskustelu: http://math.stackexchange.com/questions/181160/what-exactly-is-laplace-transform