Raidallisessa pöytäliinassa on vuoron perään 8,0 cm:n levyisiä valkoisia raitoja ja 6,0 cm:n levyisiä punaisia raitoja. Millä todennäköisyydellä pöydälle heitetty yhden euron kolikko asettuu niin, että se on osin valkoisella ja osin punaisella raidalla? Kolikon halkaisija on 23,8 mm.
Todennäköisyyslaskuun apua !
ellukkaaa
19261
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 19
Vanhimmat
Lähde liikkeelle yhdestä vierekkäisestä valkoisesta ja punaisesta raidasta. Sitten oletat janan joka on piirretty kohtisuoraan raitojen poikki. Heitossa kolikon keskipisteen voidaan ajatella osuvan yhtä suurella todennäköisyydellä muihin tahansa kohtaan tuolla janalla. Ja nuo heitot edustavat kaikkia mahdollisia heittoja pöytäliinalle mikä on helposti pääteltävissä.
Kyseisen janan pituus on 14 cm. Kolikon keskipisteen pitää osua janalla 4 x 23,8 cm alueelle jotta se olisi kahden raidan päällä. Siitä todennäköisyys.
Siis mistä sait tuon etttä pitää kertoa 4 23, 8 mm ?
Joo, piti olla 4 x 11,9, tai 2 x 23,8
Kummankin vierekkäisen raidan alussa on 23,8 mm alue, jossa kolikko osuu kumpaankin. Todennäköisyys on 2*23,8/140=0,34
Jokaisen rajapinnan punainen-valkoinen ympärillä on vyöhyke, jolle osuessaan kolikko on osittain kummankin värin puolella.
Vyöhykkeen koko on kolikon halkaisija, koska kolikon säteen verran voidaan liikkua pois päin rajapinnasta siten että kolikko yhäkin koskettaa molempia värejä.
Näin ollen, jos sekä punaisen raidan leveydestä vähentää kolikon säde saa alueen, jolle osuessaan kolikko on kokonaan punaisella alueella. Samaten, jos valkoisen raidan leveydestä vähentää kolikon säde, on kolikko kokonaan valkoisella alueella. Kun nämä "yksiväriset" alueet laskee yhteen, saadaan alue jolle osuessaan kolikko ei kosketa kumpaakin väriä, eli se koskettaa vain toista väriä.
Edellä mainittua yksiväristä aluetta täytyy verrata alueeseen, jolla ollessaan kolikko koskettaa kumpaakin väriä. "Molempivärisen vyöhykkeen" koko on kolikon halkaisija.
Näin ollen, jos kolikon halkaisija on D, valkoisen raidan leveys on v ja punaisen raidan leveys on r, saadaan lopullinen todennäköisyys kaavasta
P = D / (v r - D).
Kaavan voi tarkistaa olettamalla että kolikon halkaisija D = 0. Tällöin todennäköisyyskin on tietenkin 0. Vastaavasti jos P = 1, D = (v r)/2, eli 2 kolikkoa voitaisiin asettaa raitojen päälle. Jos v = r, D = r = v, eli kyse on kolikosta joka on yhtä leveä kuin raidat. Todennäköisyys tapahtumalle jossa kolikko osuu tismalleen toisen raidan päälle on 0, eli tapahtuma on äärettömän epätodennököinen (joskin mahdollinen).
Sama pöytäliina mutta sille heitetään 4 cm pitkää tulitikkua (oletetaan äärettömän ohueksi). Mikä on nyt todennäköisyys että jää kahden raidan alueelle?
Lyhyen ajattelun tuloksena.
Jos tulitukun pituus L = 4 cm on olemassa rajakulma, johon tikku voi kääntyä siten että se aina osuu molempiin väreihin. Tässä voidaan käyttää edellisen laskun lopputulosta, eli jos tulitikun projektio L cos(a) raitoja vastaan kohtisuorassa suunnassa ylittää (v r)/2 tikku osuu aina molempiin väreihin.
Kulmilla jotka ovat rajan ulkopuolella todennäköisyys osua molempiin väreihin noudattaa edellä esitettyä kaavaa, jossa vakio D on korvattu kulman funktiolla L(a) = L cos(a).
Voidaan käyttää todennäköisyyksien ketjusääntöä tapahtumalle A ja B tapahtuvat (B riippuu A:sta).
Tapahtuma A: Kulma on rajan ulkopuolella. Todennäköisyys P(A) voidaan laskea kun verrataan "yksivärisiä" kulmaväliä kaikkiin sallittuihin kulmiin 0...360 astetta. Siis väli jolla kulma a saa olla jaetaan luvulla 360.
Tapahtuma B: Kun tapahtuma A on tapahtunut, osutaan molempiin väreihin. Todennäköisyys saadaan integroimalla edellä esitettyä kaavaa kaikkien sallittujen kulmien yli, mutta en nyt jaksa kirjoittaa lopputulosta näkyviin.
Todennäköisyys että sekä A ja B tapahtuvat (tehtävän vastaus): P(A) x P(B ehdolla A tapahtui jo)
Tuossa tikun heitossa on olennaisesti kaksi vapausastetta: tikun kulma pöytäliinan raitoihin nähden ja tikun jonkin kiintopisteen kohtisuora etäisyys raitojen rajaviivasta. Tarkastellaan tilannetta jossa on pystysuorat raidat ja tikun kiintopisteeksi oletettu sytytyspää on kahden raidan rajaviivan vasemmalla puolella. Nollakulmaksi oletetaan kun tikku on pystysuorassa sytytyspää alhaalla ja positiiviseksi kulmaksi a kun tikku lähtee kiertymään sytytyspää kiintopisteenä raitojen rajaviivaa kohti.
Tikku leikkaa rajaviivaa silloin kun sen sytytyspään kohtisuora etäisyys siitä on pienempi kuin 4*sina. Tuon etäisyyden odotusavo saadaan kun 4*sina integroidaan välillä 0->pii ja jaetaan pii:llä. Saadaan 8/pii eli tuo on efektiivinen etäisyys jonka sisään tulitikun sytytyspään pitää asettua rajaviivan vasemmalle puolelle jotta tikku leikkaisi rajaviiva.
Jos tarkastellaan kahta vierekkäistä raitaa, tuollaisia efektiivisiä etäisyyksiä on neljä: raitojen välisen viivan molemmin puolin ja kummankin reunaviivan yhdellä puolella. Näiden efektiivisten etäisyyksien summa on 32/pii ja kun se jaetaan kahden vierekkäisen raidan leveydellä, saadaan todennäköisyydeksi 16/(7*pii).
Eihän se nyt ainakaan enempää voi olla kuin 8/14, joten jaetaan tuo kahdella, eli 8/(7pi)
Joo olet oikeassa. Integraali olisi pitänyt jakaa 2*pii:llä.
Lasketaanko tässä nyt todennäköisyyden odotusarvoa ?
Jos niin on, niin se todennäköisyys itsessään on 2*40/140*sin(a)=4/7*sin(a)
Tuon odotusarvo välillä 0....pi/2 on: 4/7*integraali(0..pi/2)x*sinx*dx/(kulma pi/2), ja osittaisintegroimalla tulee: (4/7)*2/pi=8/(7pi)....
.http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate x*sin(x) from 0 to pi/2
Minä en tuota logiikkaa ymmärrä. Sin(x) odotusarvo tuolla välillä 0...pi/2 on 1, ja se kun on sin(x) käyrän tuolla välillä rajoittaman pinta-alan "massakeskipisteen" x-koordinaatti, niin se tarkoittaa, että kulmalla x= 1 (rad) saadaan tuon todennäköisyyden odotusarvo.
sin(1) =0,8415, joten tuon todennäköisyyden odotusarvo on (4/7)*0,8415=0,48.
Oikeastaan se on todennäköisyys sille, että yhden radiaanin kulmassa pystyakselilta oleva tikku osuu kahdelle alueelle.
Tuossa laskussa tuo sin(x).n odotusarvo on kuitenkin mystisesti jaettu kulmalla pi/2. Miksi se on sillä jaettu ? Massakeskipisteen x-koordinaatti kaavassa jakajana on sin(x):n rajoittama pinta-ala tuolla välillä, mutta se kun on 1, niin minun mielestäni tuota odotusarvoa ei tarvitse jakaa yhtään millään, eikä ainakaan pi/2:lla.
Sitten kun se odotusarvo 1 on sillä jaettu ja saatu 2/pi, niin se on sitten lykätty tuonne todennäköisyyden odotusarvon lausekkeeseen, ja taas miksi ? Sinnehän pitäisi sijoittaa sin(odotusarvo).
Tuolla minulle käsittämättömällä vehkeilyllä on sitten saatu tulokseksi
(4/7)*2/pi=0,36
Tästä koko tehtävästä ei saa oikein mitään tolkkua, mitä tässä yleensä haetaan, todennäköisyyttä, todennäköisyyden odotusarvoa, vai odotusarvon todennäköisyyttä.
Vastaus saattaisi olla vain tuo esitetty (4/7)*sin(tikun kulma pystyasennosta)
Jos sitä nyt vielä yrittää tulkita, niin siinähän on todennäköisyys p1=4/7 kerrottu funktion sin(x) odotusarvoa pienempien kulmien prosentuaalisella osuudella laskennassa käytetystä kulmavälistä, eli
1 (rad)/ (pi/2)(rad)= 2/pi. Tämä on nyt sitten todennäköisyys p2, ja koko todennäköisyys on p1*p2= (4/7)*2/pi. Ehkä tämä logiikka nyt selvisi.
Mahtaako olla vieläkään oikein. Minä käyttäisin, ja käytänkin, cosinin odotusarvoa (pi/2-1).
Todennäköisyys on silloin tosin vain (4/7)*(1-2/pi) eli noin 0,2, mutta olkoon...
Joo, tossa oli kyllä virhepäätelmä. Tämän kuvan myötä, vasta ymmärsin koko tehtävän. Monta päivää siihen menikin: http://aijaa.com/nTH5Hy
Kyllä tuo 8/(7*pii) on oikein. Tarkistuslasku voidaan tehdä olettaen että 45 astetta on edustava kulma (ei ole odotusarvo mutta on lähellä sitä). Silloin tikun kohtisuora projektio rajaviivaan nähden olisi 4/sqrt2=2,84 eli hieman enemmän kuin alkuperäisen esimerkin kolikkoprobleemassa. Eli jos heitettäisiin rajaviivaan nähden 45 asteen kulmasssa olevaa tikkua, tulisi kysytyksi todennäköisyydeksi jonkin verran enemmän kuin kolikkoprobleeman 0,34.
Tuossa se virhepäätelmä vasta taisi ollakin. Laitetaan nyt vielä tämäkin, ja enää en tähän koske.. http://aijaa.com/I6QcwE
Lasketaanpa tuo tapaus että on raita leveys 1 ja sille heitetään tikkua jonka pituus on myös 1. Otetaan tikussa kiintopisteeksi sen toinen pää, vaikkapa sytytyspää, ja merkataan sen kohtisuoraa etäisyyttä raidan oikeasta reunasta x (raita pystysuorassa) ja tikun kulmaa raitaa vastaan kohtisuoraan nähden a. Nyt todennäköisyys, että heitettäessä tikun kulma osuu välille a, a da on dP(a)=da/(2*pii). Jotta tikku leikkaisi oikeaa rajaviivaa, pitää kiintopisteen olla lähempänä kuin x=1*cosa rajaviivaa. Todennäköisyys tälle on P(x)=1*cosa/1=cosa. Kokonaistodennäköisyys on siis dP(a,x)=cosa*da/(2*pii).
Tarkastellaan ensin vain tapausta että tikku leikkaa oikeanpuolimmaista rajaviivaa, jolloin kulman a pitää olla välillä -pii/2, pii/2. Kun ylläoleva lauseke integroidaan tuolla välillä, saadaan todennäköisyydeksi 1/pii. Peilikuvatapaus on että kulma a on välillä pii/2, 3*pii/2 ja tikku leikkaa vasemmanpuoleista rajaviivaa. Siitä tulee yhtä suuri todennäköisyys ja lopullinen todennäköisyys on 2/pii.
raitojen keskiarvo on 7 cm . se jaetaan kolikon mitalla. eli noin joka kolmas heitto osuu pöydälle niin että kolikko osuu molempiin puoliin