Miten ratkaistaan tämä tehtävä?
5. Todista, että ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kymmenkulmion sivu on = säteen suurempi osa, kun säde on jaettu jatkuvaan suhteeseen. Piirrä säännöllinen kymmenkulmio.
5. Todista, että ympyrän sisään piirretyn säännöllisen kymmenkulmion sivu on = säteen suurempi osa, kun säde on jaettu jatkuvaan suhteeseen. Piirrä säännöllinen kymmenkulmio.
Vastaukset 7
Vanhimmat
Osoittamalla, että tasakylkisessä kolmiossa, jonka kärkikulma on 2*pii/10 radiaania, kyljen ja kannan suhde on jatkuva suhde. Kylkihän on tuossa se ympyrän säde.
Jatkuva suhdehan on kultainen leikkaus ja kultaisen leikkauksen pitempi pätkä saadaan yhtälöstä: x/R=(R-x)/x. Tuosta kai tulee x=R/2(sqrt(5)-1).
Nyt pitää todistaa, että kymmenkulmion sivu on tuo x.
Kymmenkulmiossa sin(18)= sivunpuolikas/R=>sivu = 2*R*sin(18)
Todistettavaksi tulee, että 2sin(18)=½(sqrt(5)-1), eli sin(18)=(sqrt(5)-1)/4
Pitää siis laskea jollakin tavalla tarkka arvo sin(18). Tämä netti on kyllä niitä laskuja pullollaan, joissa se erilaisilla tempuilla lasketaan, mutta hyvin vaikea laskettava se on. Varmaan tässä tehtävässä on joku helpompi todistus...
Tuo sin(18) saadaan laskettua siitä tasakylkisestä kolmiosta, jossa kärkikulma on 36, ja kyljet R, laskemalla sen ala kahdella tavalla.
R/2(sqrt(5)-1)*R*½sin(72)=½sin(2*18)*R*R=>
½(sqrt(5)-1)cos18=2sin18*cos18=>
sin(18)=(sqrt(5)-1)/4
Vihjaan vähän lisää, sillä ei tässä kannata trigonometrisiin funktiohin seota. Sillä tasasivuisella kolmiolla, jonka kärkikulma on 2*pii/10, on erä tässä hyödynnettävä ominaisuus. Sen kantakulmat ovat täsmällen kaksinkertaiset kärkikulmaan nähden. Kun kolmioon piirretään kantakulman puolittaja, syntyy tasasivuinen kolmio, jonka kylki on alkuperäisen kolmion kanta. Tämä pienempi kolmio on yhdenmuotoinen sen alkuperäisen kanssa, koska sillä on selvästikin ainakin kaksi yhtä suurta kulmaa. Koska yhdenmuotoisuus säilyttää vastinsivujen pituuksien suhteet, tästä voidaan muodostaa suhdelauseke, joka todistaa kysytyn asian.
Kulmanpuolittajalla sen tosiaan näkee kuvasta, ei tullut mieleen.
Tuli tässä ainakin löydettyä yksi tapa sin(18) laskemiseksi.
Eli ympyrän sisään kymmenkulmio, ja siihen yhden sektorin kantakulmaan kulmanpuolittaja, joka sitten jakaa väkisinkin vastakkaisen säteen kultaisen leikkauksen suhteessa, joista pitempi pätkä on kymmenkulmion sivun pituinen.
Siitä päästää suoraan sin(18)= sivun puolikas/R
Soveltuisi hyvin nykyään pitkän matematiikan yo-kirjoitusten viitostehtäväksi. Ovatko yo-tehtävät helpottuneet noin paljon 50 vuodessa?
Tämä on siinä mielessä hyvä tehtävä, että yksinkertaisin ratkaisutapa ei aukea heti, vaan aluksi on hetken pohdittava erilaisia mahdollisia lähestymistapoja ja mietiitävä johtavatko ne ratkaisuun. Lukiotasolla ainakin Pythagoraan tai trigonometristen funktioiden soveltamisyritys saattaa tulla mieleen. Sitten kun huomaa tuon kulmien keskinäisen suhteen, yhdenmuotoisuusmenetelmän käyttö on helppo oivaltaa - siinähän kysymys on nimenomaan mittojen keskinäisistä suhteista, ja suhdetta tässä kysyttiinkin.