Mitä on integrointi ja derivointi?

Lukujen deriviointi ja integrointi onkin heleppova. Jokaisen luvun a derivaatta on 0 ja integraali ax, kun integroidaan x:n suhteen. Vuoan funktijoitten derivointi ja integrointi se se on eri hommaa, varsinnii integrointi vaatinnee diploomi-insinöörin paprut.

Mittee lie käyttöö nuille, lienevät jottain akateemikkojen höpinää ja paksujen kirjojen täytettä.

Se on eri asia kuin iterointi ja vatulointi.

Derivaatta on muutosnopeus ja integraali on kertymä.

Kun ajat autolla, niin nopeuden v(t) derivaatta on kiihtyvyys a(t) ja nopeuden integraali on kuljettu matka s(t).

Derivaatta kertoo jonkin asian muutosnopeudesta ? :/

Jos vaikka nopeuden derivaatta on 0, niin nopeus on silloin vakio.

Jos derivaatta on jokin vakio, vaikka 1, niin se tarkoittaa, että arvo kasvaa tai laskee tasaisesti, kuin suora.

Jos taas vaikka x:n suhteen otetussa derivaatassa on vielä mukana x itse, niin se kertoo, että muutos on eksponentiaalinen.

Eli etsimällä käyrästä vaikka derivaatan nollakohdat, saat tietää siitä tarkalleen ne kohdat, missä arvo on aivan tasainen.

Sitten integrointi. No integroinnilla on hyvin paljon sovelluksia, sen avulla voi laskea tilavuutta, pinta-alaa, kaikenlaisia kertymäfunktioita, jne. Periaate on se, että esim. hyvin pienin välein, katsotaan käyrän arvo, kerrotaan se arvo sillä hyvin pienen välin pituudella ja lasketaan näin kaikki arvot yhteen jonkin välin yli.

Näin minä olen asian käsittänyt. Korjatkaa jos olen väärässä, mikään matemaatikko kun en ole. ;)

Derivaattojen avulla kirjoitetaan eri asioille tasapainoyhtälöitä eli ns. differentiaaliyhtälöitä. Näiden ratkaisemisessa tarvitaan integrointia.

Laiskan miehen lempifunktion on
f(x) = e**x
Sen derivaatta ja integraali on myös f(x).

Pankkitilin saldon differentiaaliyhtälö on
dK/dt = r K

Kun tästä ratkaistaan integroimalla K, saadaan
K(t) = K0 e**rt

K0 on alkupääoma ja r on korkotekijä, esim 0.05 eli 5 %.

Fysiikan kautta saa ehkä luonnollisimman selityksen noille, mutta yritetäänpä tällä tavalla: Miten löytää funktio joka kuvaa veden valumista sangosta toiseen, kun sanko on jäätynyt ja siinä on vain pieni reikä jäässä, joka suurenee? Ei ihan helppoa. Mutta heti kun ymmärtää, että pitää mitata, kuinka paljon vettä valuu aikayksikössä (derivaatta), saadaan yksi funktio joka kuvaa asian ominaisuutta. Toisaalta toiseen sankoon kertyy koko ajan vettä, sieltä saadaan siis haluamamme funktion integraali funktio. Nyt on kaksi funktiota. Toinen kuvaa, kuinka veden virtausmäärä muuttuu ajan kuluessa, kun ylemmän sangon jäähän pikkuhiljaa sulaa aina vain suurempi reikä. Toinen puolestaan kertoo sankoon kertyvän veden määrän kunakin ajan hetkenä. Saamme siis tietää veden käyttäytymistä kuvaavan funktion, joka on hukassa derivoimalla sen kertymäfunktion ja integroimalla sen virtausfunktion. Lopuksi todetaan, että kyseessä on sama funktio ja ratkotaan siten puuttuvat vakiot. Ja nytpä meillä on funktio, josta voi ratkaista ainakin kaksi asiaa matemaattisilla muunnoksilla! :)

Insinöörille derivointi ja integrointi ovat yhtä tarpeellisia kuin kirves ja saha kirvesmiehelle.

- kaikki tieto on taulukoitua ja valmiiksi laskettua ,olen suranut taloustutkijana pörssikursseja 20 vuotta eikä ole tullut vastaan yhtä ainoaa derivaattaa eikä integraalia.

Jo marginaaliveron ymmärtäminen vaatii jonkin verran matematiikan taitoja. Taannoin ilmeni, että esim. Jutta Urpilainen ei tiennyt, mitä marginaalivero tarkoittaa. Hän on kai koulutukseltaan luokanopettaja.

Ja ainakin Suomen pankin talousporukan pitää tuntea derivaatat ja integraalit, kun he mallintavat ja laskevat poliitikoille näitä verohelpotusten dnaamisia vaikutuksia talouskasvuun.

Kyllä yliopistotason talousmatematiikassakin sovelletaan derivaattaa ja integraalia http://lipas.uwasa.fi/~mla/orms1030/tmp2012p.pdf. Mutta ettäsillee on varmaan keskitason koulutuksen osaava taloustutkija.

Jos nyt unohdetaan insinöörien ja ekonomistien kvartaalikiireet ja dervaatan ja integraalin taulukostakatsomisrefleksi ja yritetään miettiä, mitä ne ovat, voidaan päätyä seuraavanlaiseenkin pohdintaan.

Funktion derivaattahan on koulukirjojen mukaan erotusosamäärän raja-arvo argumentin rajatta lähetessä arvoa 0. Parhaiten derivaattaa luonnehtii juuri tuo erotusosamäärä eli dy/dx, eli (y2-y1)/(x2-x1), eli sellaisenaankin eräänlainen muutosten suhde; tästä siis raja-arvolaskennalla saadaam ns. hetkellinen muutosnopeus.

(Vaadittu tila > Sallittu tila)

Vällillä x1, x2 jatkuvan funktion integraali on arvoltaan argumenttiakselin ja kuvaajan välinen ala eli geometrisesti tämän vajostetun alueen sisältämien pystysuikaleiden alojen summa. Riemann-integraalin teoriassakin ns porrasfunktiot ovat koulukunnasta riippuen eri tavoin käytössä. Taulukontekijät sanovat, että funktion1 integraalifunktio on funktio2, jonka derivaattafunktio funktio1 on. Sovellutukset ovat sitten arilaisia ajan ja intensiteetin tuloja: työtä toisille ja pääomaa toisille.

- hyvin on mariginaalista matikkaa nää derivaatat ja integraalit - pinta-ala ohjemat on ostettavissa ,sellanen meilläkin on täällä metsäyhtiössä käytössä eikä tartte paljon laskea.

- probleema on juuri se ,että luonnossa ei ole mitään määrättyjä käyriä, vain tasomatikassa sellasia tehtaillaan ,ei edes planeetat kulje tildulleen ellipsi radalla, vaan ovat enemmän tai vähemmän munan muotoisia.

yritäppä laskea derivaatalla ja integroiden esim. Grönlandin pinta-ala- ei onnistu, vaan ne on aikojen saatossa mitattu ja laskettu ruuduttamalla ,siis noin periaatteella.

Taitavista lujuuslaskentainsinööreistä on aina ollut pula, koska harva insinööri on valinnut lujuuslaskentaa pääaineeksi. Mitä enemmän kouluja käynyt, sitä enemmän ulkona lujuudesta pätee varsin hyvin lujuuslaskennan osaamiseen realimaailmassa. Kaikki ovat fiksuja, mutta johtaminen kiinnostaa enemmän taloustieteineen.

Seuraavinakin vuosina siltoja sortuu, kattoja romahtaa ja siiloja kaatuu.

"- probleema on juuri se ,että luonnossa ei ole mitään määrättyjä käyriä, vain tasomatikassa sellasia tehtaillaan ,ei edes planeetat kulje tildulleen ellipsi radalla, vaan ovat enemmän tai vähemmän munan muotoisia."

Sehän se juttu on, että tunnistamalla vaikka maan kiertoradan matematiikan auringon ympäri, säännöt noudattavat yleiseen suhteellisuusteoriaan liittyvänä gravitaation ilmiöitä maapallolla. Eli kaikki noudattaa määrättyjä käyriä. Näinhän sen pitääkin mennä, eli kaikki on pinta-alaa, etäisyyttä ja tilavuutta, johon aika-avaruuden valo tuo neljännen ulotteisuuden arvon sisäiseen arvoavaruuteen eli meidän näköhavaintoon perustuvaan maailmaamme. Kellokin on näköhavaintoon perustuva, poikkeamatta mittanauhasta, sillä kumpaankaan ei ihminen osaa asteikkoa tai aikaa silmämääräisesti tai arviona asettaa muiden kanssa keskenään verrattavasti.

Insinööri tietää arvon jostakin, jolloin saman painovoimakentän seurauksena toinen arvo on tunnettu. Tuotteena, fysiologiana, taipumana tai vaikka puuttuvana väsymiskäyränä teräkseen.

Kevennyksenä lopuksi:
"Juu, mutta taivaastako ne kuvat ja käyrät tulevat, ihan ilman laskemista?"
- Kyllä vain, taivaasta kaikki arvot tulevat tähän maanpäälliseen elämään. Ennen suhteellisuusteorian Big Bangiä, olivat ne kaikki energiakuplassa odottamassa. Laskemalla arvoja ei saa, muuten kuin esiin varjoistaan ja pienet virheet korjaavat toisiaan pois sulkemalla virheen.

Martta ainakin tuntuu osaavan nämä asiat.

Martan keveyttä tai raskautta tuntematta:
Eräässä tehtävässä Martta kertomansa mukaan käytti alle minuutin ratkaistessaan gravitaatiokenttään liittyvän tehtävän. Oletan, ettei ratkaisu ollut arvojen syöttäminen lujuuslaskentaohjelmaan. Itse en saa tietokonetta auki minuutissa, mutta sitä ei tarvita, jos on puhelin tai laskin lähellä.

Ratkaisua hän tosin ei esittänyt, mutta osoitti vastauksellaan olevansa perillä asioista. Toki moni muu kertoi jo lukiopoikien hallitsevan insinööritason lujuuslaskentaa, josta tehtävä oli helpoin mahdollinen. Tikkaakaan ei voi heittää summan mutikassa, tietämättä lakanan takana olevan taulun muotoa, kokoa ja mihin taulussa pitää osua. Väitän lujuuden vaativan vastaavan kaltaista "taulun" hallitsemista.

Onko teillä sitten tiedossa, etteivät Keplerin lait ole enää voimassa? Yksi väittämistä on elliptiset planeettojen kiertoradat auringon ympäri.

Keplerin ensimmäinen laki:
"Kiertäessään tähteä planeetta liikkuu pitkin ellipsin muotoista rataa, jonka toisessa polttopisteessä tähti on"

Taipumaviivat noudattavat paraabelin muotoa, jota ellipsi kuvaa. Gravitaatio on mukana niin planeetan kiertoradan muodostajana, kuin kiertävän planeetaan gravitaatioon perustuvassa laskennassa. Gravitaatio on myös useimpien ilmiöiden takana. Eli tunnet toisen käyrän, niin toinen tunnetaan. Aika-avaruuden uudelleen rakentajia tuntuu näillä sivuilla olevan säännöllisesti, vaikka vanha riittää selittämään asioita.