Määritä kaikki funktiot, joille pätee f´(x)=f(x 2) ja f(3)=4.
Funktionaaliyhtälö
Apuakaivataan1244227
41259
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 41
Vanhimmat
f(x)=-4x^2 12x 4
Miten löysit tuon funktion?
alaspäin aukeavasta paraabelista ax^2 bx c, mutta eihän se oikein ole, vaikka pisteissä x=0 ja x=1 päteekin
Eiköhän c*exp(x 2) ole lähempänä totuutta.
Ei ole. Jos f(x) = c*exp(x 2) niin f'(x) = c* exp(x 2) = f(x) eikä suinkaan f(x 2) joka on c*exp(x 4)
Myöskään tunturinaalin vastaus ei ole oikein, f'(x) = -8 x 4 eikä tämä ole f(x 2).
Ohman
Tuli väärin, p.o. f'(x) = -8x 12
Ohman
Tämähän on hauska funktio.
f'(x) = f(x 2). Koska siis f:llä on tämän yhtälön toteuttava derivaatta, on myös f'' olemassa ja f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2).
f'''(x) = f''(x 2) = f'(x 2*2) = f(x 3*2)
jne
df/dx^n (x) = f(x n*2).
Jos funktiota edustaa Taylorin sarja on
f(x 2) = f(x) f(x 2) *2 1/2! f(x 2*2) * 2^2 ... 1/n! f(x n*2) 2^n ...
ja
4 = f(3) = f(1 2) = f(1) f(3)*2 1/2! f(5) 2^2 ...
Ohman
Sain siis tuloksen (d^n/dx^n) f(x) = f(x n * 2).
Tästä seuraa derivoimalla että (d^(n 1)/dx^(n 1)) f(x) = f'(x n* 2) = f(x (n 1)*2) = f(x 2 n*2) = (d^n/dx^n) f(x 2).
Sama tulos saadaan suoraan derivoimalla alkuperäinen funktion määrittelevä yhtälö n 1 kertaa:
f'(x) = f(x 2) f''(x) = f'(x 2) f'''(x) = f''(x 2)....(d^(n 1)/dx^(n 1) f(x) = (d^n/dx^n) f(x 2).
Siis d/dx((d^n/dx^n) f(x)) = (d^n/dx^n) f(x 2)
Nähdään, että kaikki derivaatat toteuttavat tuon saman määrittely-yhtälön.
Ohman
Lisää hauskuutta.
Koska (d^n/dx^n) f(x) = f(x n*2), on (d^n/dx^n) f(x - n*2) = f(x) kaikilla n:n arvoilla.
Erityisesti, koska f(3) = 4 on
(1) 4 = f(3) = f'(1) = f''(-1) = f'''(-3) =...= (d^n/dx^n) f(3 - n*2)=...
Entäpä f:n integrointi? Nyt f'(x) = f(x 2) eli tämän yhtälön molemmilla puolilla on sama funktio. Koska f'(x) on integroituva, sen integraalifunktiohan on
f(x) C (C integroimisvakio),on siis myös f(x) on integroituva. Olkoon f:n integraalifunktio F. Tällöin
I(3 <= t <= x) (f'(t)) dt = f(x) - f(3) = I (3 <= t <= x) (f(t 2)) dt = I (5 <= u <= x 2) (f(u)) du = F(x 2) - F(5). Saadaan siis yhtälö
(2) f(x) - f(3) = F(x 2) - F(5) .
Tästä voisi taas jatkaa noita integraaleja mutta olkoon tällä kertaa. Johan tuossa ovat yhtälöt (1) ja (2) lukijoille purtaviksi.
Ohman
Olkoon I(f) se f:n integraalifunktio jossa integroimisvakiolle annetaan arvo 0 . Olkoon I(I(f)) = I^2(f) ja edelleen I^(n 1)(f) = I(I^n(f)).
Nyt f'(x - 2) = f(x) joten I(f'(x-2)) = f(x-2) = I(f(x))
I(f'(x-4)) = f(x-4) = I(f(x-2)) = I(I(f(x))) = I^2(f(x))
I(f'(x - (n 1)*2)) = f(x - (n 1)*2) = I(I^n(f(x))) = I^(n 1) (f(x)).
On siis saatu tulokset:
(1) d^n/dx^n (f(x)) = f(x n*2)
(2) I^n(f(x)) = f(x - n*2)
Hauskaa! Mutta onko tällaista funktiota? Ja alkuehdon f(3) = 4 pitäisi myös toteutua.
Ohman
Saadaan tietysti myös kaavat:
d^n/dx^n(f(x - n*2)) = f(x) = I^n(f(x n*2)).
Ohman
Jos oletetaan, että f:llä on ratkaisu muotoa ae^(bx) niin f'(x)=abe^(bx). Tällöin f'(x)=f(x 2) tulee muotoon abe^(bx)=ae^(b(x 2)) josta b=e^(2b). Mutta tämä ratkeaa vain numeerisesti tai sitten ratkaisun voi ilmoittaa Lambertin W-funktion avulla.
Mietiskelin myös sarjateorian kautta ratkaisua, mutta en saanut osoitettua, että funktio olisi edes kahdesti derivoituva.
Kommentoin nyt vaan tuota sinun derivoituvuusjuttuasi. Et näköjään lukenut tai sitten ymmärtänyt vastaustani. Jos kerran f'(x) = f(x 2) on siis f' olemassa ja sillä on tuo arvo. Mutta silloin f' on olemassa myös pisteessä x 2. Eli f'(x 2) on olemassa. Mutta funktionaaliyhtälön mukaan f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2), JNE
Ohman
e^(2b) = b yhtälölle ei ole reaaliratkaisua.
Vaikka f toteuttaisi yhtälön, f' ei välttämättä toteuta. Sinun pitäisi todistaa, että jos f toteuttaa tehtävänannon, on f jatkuvasti derivoituva. Luulen, että tämä ei pidä paikkaansa mutta en keksi esimerkkiä ei-jatkuvasti derivoituvasta funktiosta, joka toteuttaisi tehtävänannon.
Et näköjään ymmärrä vieläkään. Tuo alkuyhtälöhän sannoo, että f'(x) = f(x 2).Koska yhtälön molemmilla puolilla olevat funktiot ovat samat on niillä samat derivaatat. Siis f''(x) = f'(x 2) = f((x 2) 2) = f(x 2*2). JNE
Ohman
Lisään vielä selvennykseksi: Alkuyhtälö sanoo, että f'(x) on olemassa ja sen arvo on f(x 2). Siis f'(x 2) on myös olemassa. Ja f'(x) = f(x 2) joten f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2).JNE.
Jos et tästä ymmärrä niin ei maha mittään...
Ohman
Äsken hampulääkärissä tuli tämmöstä:
http://aijaa.com/ngVizG
Mikään polynomifunktio ei voi olla ratkaisu aloituksen ongelmaan.
Aika kinkkinen. Jos f(x 2) tilalla olisi f(x-2), olisi exp(k*x) muotoinen ratkaisu. Mutta annetulle yhtälölle ei näy löytyvän alkeisfunktioiden joukosta.
Kun toi edellinen ei herättänyt muuta kuin hilpeyttä, niin parannetaan vähän: http://aijaa.com/P6jf4g
Pätee pisteessä x=3 mutta ei yleisemmin.
No, siitä ei ole pitkä matka yleiseen ratkaisuun, eli:
Tangenttiparvi y=f(t 2)x f(t)-f(t 2)t ja
jos t=3 ja f(3)= 4, niin tulee tuo yksittäistapaus.
Heti sitten tulee mieleen, että olisiko tehtävän ratkaisu sitten kuitenkin tuon tangenttiparven verhokäyrä ?
(Nyt mennään kyllä jo yli minun ymmärrykseni)
Itse asiassa, se tangenttiparven verhokäyrä on kysytty f(x):
http://aijaa.com/pn9pK9
Tais tulla osoitettua, että käyrälle piirretyn tangenttiparven verhokäyrä on se käyrä.
Eikös tämä ole pikemminkin differentiaaliyhtälö?
df(x)/dx = f(x 2) ja alkuehto on f(3) = 4.
Ohman
Tottakai se on differentiaaliyhtälö, mutta kun sitä ratkaisua ei oikein löytynyt aloin epäilemaan, että tässä olisi kuitenkin suoran yhtälöstä kyse.....
Tällaisista differentiaaliyhtälöistä käytetään nimeä delay differential equation, https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation . Mulla ei ole mitään kokemusta näistä, mutta ehkäpä englanninkielisellä termillä löytyy aihetta käsitteleviä oppikirjoja.
Mitenkäs olisi ratkaiseminen integraalimuunnosten avulla?
En näe, miten tämä ratkeaisi integraalimuunnoksilla. Saisiko tätä vähän avattua?
Vaikkapa näin:
Määritetään funktio g(x) siten, että
g(x) = f(3-x) kaikilla x ts.
f(x) = g(3-x) kaikilla x.
Tällöin
alkup. Yhtälö saadaan muotoon
g'(x) = -g(x-2)
ja g(0)=4.
Tehdään Laplace-muunnos, jolloin saadaan
s*G(s) – g(0) = exp(-2s)*G(s),
josta saadaan
G(s) = g(0)/(s exp(-2s)) = 4/(s exp(-2s))
Lopuksi pitäisi sitten tehdään tälle Laplacen muunnoksen käänteismuunnos ja tästä saadaankin sitten funktio f edellä olevan g:n määrittelyn perusteella.
Noista delay differential equations näyttää olevan paljon pyörittelyjä, tärkeitä säätötekniikassa. Ei ihan helppoa matikkaa. Aloittajan yhtälössä tosin on kyse ennemminkin ennakoivasta kuin viivästyneestä vaikutuksesta.
Tuollainen ennakoivan vaikutuksen diffisyhtälö on harvinaisempi kuin viivästyneeseen vaikutukseen perustuva sillä koneet voivat mitata vain jo toteutuneita parametriarvoja. Mahtaisikohan taloustieteissä olla sovelluksia tuollaisille yhtälöille?
Mikähän mahtaa olla tilanne tämän ongelman ratkaisun suhteen? Joko joku palstalla säännöllisesti esiintyvistä matematiikkaneroista on ongelman ratkaissut? Itse olen suurella mielenkiinnolla odottanut ongelman lopullista ratkaisua.
Veikkaan että reaaliratkaisua ei ole alkeisfunktioiden avulla suljetussa muodossa. Mahdolliset ratkaisut olisivat käsittääkseni eksponenttimuotoisia, sin-cos-muotoisia tai niiden yhdistelmiä mutta en ole keksinyt sellaisia. Mutta en ole matematiikkanero.
Tällaista funktiota voitaisiin varmaan aproksimoida polynomilla P, jolle pätee
P(3)=4
P'(1)=4
P''(-1)=4
P'''(-3)=4
ja niin edelleen.
Jos tutkitaan kolmanteen derivaattaan asti saadaan kolmannen asteen polynomi P(x)=(2/3)x^3 4x^2-6x-32.
Voidaanko funktiota f approksimoida täten ja saadaanko approksimaatiosta mielivaltaisen tarkka kasvattamalla derivaatan kertalukua?
Kertokaapas, pitääkö aina ottaa kaikki arvot samasta pisteestä kuten taylorin polynomissa, vai voidaanko valita arvoja eri pisteistä kuten tässä?
Riippuu siitä mitä tekee. Jos vaikka on annettu funktio f(x)=x, niin toki voidaan laskea vaikka summa f(1) f(9).
Tarkoitatko, kun kirjoitat "mielivaltaisen tarkasti", että näin saadaan tuota funktiota f(x) esittävä potenssisarja?
Tällöin olisi siis f(x) = a(0) a(1) * x a(2) * x^2 ... a(n)*x^n ...
Mutta tämä on välttämättä tuon funktion Maclaurin-sarja sillä f'(0) = a(1), f''(0) = a(2) jne.Tällöin tuo sarja olisi muotoa
f(x) = f(0) (= a(0)) f(2)*x 1/2! f(2*2) x^2 1/3! f(3*2) x^3 ... 1/n! f(n*2) x^n ...
Ohman
Sori, kirjoitin huolimattomasti.P.O. f'(0) = a(1), f''(0) = 2*a(2), f'''(0) = 2*3*a(3),...,
d^n/dx^n f(0) = n! a(n) jne.
Ohman
Lisään nyt vielä (itsestään selvän) kommentin. Kysytty funktio ei voi olle minkäänasteinen polynomi, sillä jos se olisi
f(x) = a(n) * x^n ... a(1) * x a(0) niin
(d^n 1)/dx^(n 1) f(x) = 0 ja myös kaikki tätä korkeammat derivaatat ovat nollia mutta näiden derivaattojen arvot ovat aiemmin todistamani mukaan = f(x k*2) missä siis k >= n 1. Polynomilla olisi siis arvo 0 kaikissa näissä pisteissä mikä on mahdotonta.
Ohman