Funktionaaliyhtälö

Miten löysit tuon funktion?

alaspäin aukeavasta paraabelista ax^2 bx c, mutta eihän se oikein ole, vaikka pisteissä x=0 ja x=1 päteekin

Ei ole. Jos f(x) = c*exp(x 2) niin f'(x) = c* exp(x 2) = f(x) eikä suinkaan f(x 2) joka on c*exp(x 4)

Myöskään tunturinaalin vastaus ei ole oikein, f'(x) = -8 x 4 eikä tämä ole f(x 2).

Ohman

Tuli väärin, p.o. f'(x) = -8x 12

Ohman

Sain siis tuloksen (d^n/dx^n) f(x) = f(x n * 2).

Tästä seuraa derivoimalla että (d^(n 1)/dx^(n 1)) f(x) = f'(x n* 2) = f(x (n 1)*2) = f(x 2 n*2) = (d^n/dx^n) f(x 2).

Sama tulos saadaan suoraan derivoimalla alkuperäinen funktion määrittelevä yhtälö n 1 kertaa:

f'(x) = f(x 2) f''(x) = f'(x 2) f'''(x) = f''(x 2)....(d^(n 1)/dx^(n 1) f(x) = (d^n/dx^n) f(x 2).

Siis d/dx((d^n/dx^n) f(x)) = (d^n/dx^n) f(x 2)

Nähdään, että kaikki derivaatat toteuttavat tuon saman määrittely-yhtälön.

Ohman

Lisää hauskuutta.

Koska (d^n/dx^n) f(x) = f(x n*2), on (d^n/dx^n) f(x - n*2) = f(x) kaikilla n:n arvoilla.

Erityisesti, koska f(3) = 4 on

(1) 4 = f(3) = f'(1) = f''(-1) = f'''(-3) =...= (d^n/dx^n) f(3 - n*2)=...

Entäpä f:n integrointi? Nyt f'(x) = f(x 2) eli tämän yhtälön molemmilla puolilla on sama funktio. Koska f'(x) on integroituva, sen integraalifunktiohan on
f(x) C (C integroimisvakio),on siis myös f(x) on integroituva. Olkoon f:n integraalifunktio F. Tällöin

I(3 <= t <= x) (f'(t)) dt = f(x) - f(3) = I (3 <= t <= x) (f(t 2)) dt = I (5 <= u <= x 2) (f(u)) du = F(x 2) - F(5). Saadaan siis yhtälö

(2) f(x) - f(3) = F(x 2) - F(5) .

Tästä voisi taas jatkaa noita integraaleja mutta olkoon tällä kertaa. Johan tuossa ovat yhtälöt (1) ja (2) lukijoille purtaviksi.


Ohman

Olkoon I(f) se f:n integraalifunktio jossa integroimisvakiolle annetaan arvo 0 . Olkoon I(I(f)) = I^2(f) ja edelleen I^(n 1)(f) = I(I^n(f)).

Nyt f'(x - 2) = f(x) joten I(f'(x-2)) = f(x-2) = I(f(x))

I(f'(x-4)) = f(x-4) = I(f(x-2)) = I(I(f(x))) = I^2(f(x))

I(f'(x - (n 1)*2)) = f(x - (n 1)*2) = I(I^n(f(x))) = I^(n 1) (f(x)).

On siis saatu tulokset:

(1) d^n/dx^n (f(x)) = f(x n*2)

(2) I^n(f(x)) = f(x - n*2)

Hauskaa! Mutta onko tällaista funktiota? Ja alkuehdon f(3) = 4 pitäisi myös toteutua.

Ohman

Saadaan tietysti myös kaavat:

d^n/dx^n(f(x - n*2)) = f(x) = I^n(f(x n*2)).

Ohman

Kommentoin nyt vaan tuota sinun derivoituvuusjuttuasi. Et näköjään lukenut tai sitten ymmärtänyt vastaustani. Jos kerran f'(x) = f(x 2) on siis f' olemassa ja sillä on tuo arvo. Mutta silloin f' on olemassa myös pisteessä x 2. Eli f'(x 2) on olemassa. Mutta funktionaaliyhtälön mukaan f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2), JNE

Ohman

e^(2b) = b yhtälölle ei ole reaaliratkaisua.

Ohman kirjoitti:

Kommentoin nyt vaan tuota sinun derivoituvuusjuttuasi. Et näköjään lukenut tai sitten ymmärtänyt vastaustani. Jos kerran f'(x) = f(x 2) on siis f' olemassa ja sillä on tuo arvo. Mutta silloin f' on olemassa myös pisteessä x 2. Eli f'(x 2) on olemassa. Mutta funktionaaliyhtälön mukaan f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2), JNE

Ohman

Lue lisää

Vaikka f toteuttaisi yhtälön, f' ei välttämättä toteuta. Sinun pitäisi todistaa, että jos f toteuttaa tehtävänannon, on f jatkuvasti derivoituva. Luulen, että tämä ei pidä paikkaansa mutta en keksi esimerkkiä ei-jatkuvasti derivoituvasta funktiosta, joka toteuttaisi tehtävänannon.

enosaakokonaan kirjoitti:

Vaikka f toteuttaisi yhtälön, f' ei välttämättä toteuta. Sinun pitäisi todistaa, että jos f toteuttaa tehtävänannon, on f jatkuvasti derivoituva. Luulen, että tämä ei pidä paikkaansa mutta en keksi esimerkkiä ei-jatkuvasti derivoituvasta funktiosta, joka toteuttaisi tehtävänannon.

Lue lisää

Et näköjään ymmärrä vieläkään. Tuo alkuyhtälöhän sannoo, että f'(x) = f(x 2).Koska yhtälön molemmilla puolilla olevat funktiot ovat samat on niillä samat derivaatat. Siis f''(x) = f'(x 2) = f((x 2) 2) = f(x 2*2). JNE
Ohman

Lisään vielä selvennykseksi: Alkuyhtälö sanoo, että f'(x) on olemassa ja sen arvo on f(x 2). Siis f'(x 2) on myös olemassa. Ja f'(x) = f(x 2) joten f''(x) = f'(x 2) = f(x 2*2).JNE.
Jos et tästä ymmärrä niin ei maha mittään...

Ohman

Mikään polynomifunktio ei voi olla ratkaisu aloituksen ongelmaan.

Pätee pisteessä x=3 mutta ei yleisemmin.

RajoitettuRatkaisu kirjoitti:

Pätee pisteessä x=3 mutta ei yleisemmin.

No, siitä ei ole pitkä matka yleiseen ratkaisuun, eli:

Tangenttiparvi y=f(t 2)x f(t)-f(t 2)t ja
jos t=3 ja f(3)= 4, niin tulee tuo yksittäistapaus.

Heti sitten tulee mieleen, että olisiko tehtävän ratkaisu sitten kuitenkin tuon tangenttiparven verhokäyrä ?

(Nyt mennään kyllä jo yli minun ymmärrykseni)

aeija kirjoitti:

No, siitä ei ole pitkä matka yleiseen ratkaisuun, eli:

Tangenttiparvi y=f(t 2)x f(t)-f(t 2)t ja
jos t=3 ja f(3)= 4, niin tulee tuo yksittäistapaus.

Heti sitten tulee mieleen, että olisiko tehtävän ratkaisu sitten kuitenkin tuon tangenttiparven verhokäyrä ?

(Nyt mennään kyllä jo yli minun ymmärrykseni)

Lue lisää

Itse asiassa, se tangenttiparven verhokäyrä on kysytty f(x):

http://aijaa.com/pn9pK9

aeija kirjoitti:

Itse asiassa, se tangenttiparven verhokäyrä on kysytty f(x):

http://aijaa.com/pn9pK9

Tais tulla osoitettua, että käyrälle piirretyn tangenttiparven verhokäyrä on se käyrä.

Tottakai se on differentiaaliyhtälö, mutta kun sitä ratkaisua ei oikein löytynyt aloin epäilemaan, että tässä olisi kuitenkin suoran yhtälöstä kyse.....

Tällaisista differentiaaliyhtälöistä käytetään nimeä delay differential equation, https://en.wikipedia.org/wiki/Delay_differential_equation . Mulla ei ole mitään kokemusta näistä, mutta ehkäpä englanninkielisellä termillä löytyy aihetta käsitteleviä oppikirjoja.

En näe, miten tämä ratkeaisi integraalimuunnoksilla. Saisiko tätä vähän avattua?

Vaikkapa näin:

Määritetään funktio g(x) siten, että
g(x) = f(3-x) kaikilla x ts.
f(x) = g(3-x) kaikilla x.

Tällöin
alkup. Yhtälö saadaan muotoon
g'(x) = -g(x-2)
ja g(0)=4.

Tehdään Laplace-muunnos, jolloin saadaan
s*G(s) – g(0) = exp(-2s)*G(s),
josta saadaan
G(s) = g(0)/(s exp(-2s)) = 4/(s exp(-2s))

Lopuksi pitäisi sitten tehdään tälle Laplacen muunnoksen käänteismuunnos ja tästä saadaankin sitten funktio f edellä olevan g:n määrittelyn perusteella.

Tuollainen ennakoivan vaikutuksen diffisyhtälö on harvinaisempi kuin viivästyneeseen vaikutukseen perustuva sillä koneet voivat mitata vain jo toteutuneita parametriarvoja. Mahtaisikohan taloustieteissä olla sovelluksia tuollaisille yhtälöille?

Kertokaapas, pitääkö aina ottaa kaikki arvot samasta pisteestä kuten taylorin polynomissa, vai voidaanko valita arvoja eri pisteistä kuten tässä?

Riippuu siitä mitä tekee. Jos vaikka on annettu funktio f(x)=x, niin toki voidaan laskea vaikka summa f(1) f(9).

Tarkoitatko, kun kirjoitat "mielivaltaisen tarkasti", että näin saadaan tuota funktiota f(x) esittävä potenssisarja?

Tällöin olisi siis f(x) = a(0) a(1) * x a(2) * x^2 ... a(n)*x^n ...

Mutta tämä on välttämättä tuon funktion Maclaurin-sarja sillä f'(0) = a(1), f''(0) = a(2) jne.Tällöin tuo sarja olisi muotoa

f(x) = f(0) (= a(0)) f(2)*x 1/2! f(2*2) x^2 1/3! f(3*2) x^3 ... 1/n! f(n*2) x^n ...

Ohman

Ohman kirjoitti:

Tarkoitatko, kun kirjoitat "mielivaltaisen tarkasti", että näin saadaan tuota funktiota f(x) esittävä potenssisarja?

Tällöin olisi siis f(x) = a(0) a(1) * x a(2) * x^2 ... a(n)*x^n ...

Mutta tämä on välttämättä tuon funktion Maclaurin-sarja sillä f'(0) = a(1), f''(0) = a(2) jne.Tällöin tuo sarja olisi muotoa

f(x) = f(0) (= a(0)) f(2)*x 1/2! f(2*2) x^2 1/3! f(3*2) x^3 ... 1/n! f(n*2) x^n ...

Ohman

Lue lisää

Sori, kirjoitin huolimattomasti.P.O. f'(0) = a(1), f''(0) = 2*a(2), f'''(0) = 2*3*a(3),...,
d^n/dx^n f(0) = n! a(n) jne.

Ohman

Lisään nyt vielä (itsestään selvän) kommentin. Kysytty funktio ei voi olle minkäänasteinen polynomi, sillä jos se olisi

f(x) = a(n) * x^n ... a(1) * x a(0) niin

(d^n 1)/dx^(n 1) f(x) = 0 ja myös kaikki tätä korkeammat derivaatat ovat nollia mutta näiden derivaattojen arvot ovat aiemmin todistamani mukaan = f(x k*2) missä siis k >= n 1. Polynomilla olisi siis arvo 0 kaikissa näissä pisteissä mikä on mahdotonta.

Ohman