Mitä matematiikka on filosofisesti ajateltuna?
Numeroiden suhteen asia on helppoa, numerot ovat kaikista käsitteistä riisuttuja puhtaita olioita. Siksi numerot ovat hyvin tärkeitä.
Onko matematiikka vain tautologiaa? Ei ole. Matematiikan ydin eli differentiaali- ja integraalilaskenta on erittäin informatiivinen ulkomaailman suhteen.
Voiko matemaattisiin todistuksiin luottaa? Kyllä voi, vaikka matemaattisen induktion osalta on ollut puutteellisuuksia.
Voiko matematiikkaa redusoida puhtaaseen logiikkaan? Ei voi, vaikka matematiikka on äärimmäisen loogista.
Onko matematiikasta mitään hyötyä ...? Heh.
Numeroiden suhteen asia on helppoa, numerot ovat kaikista käsitteistä riisuttuja puhtaita olioita. Siksi numerot ovat hyvin tärkeitä.
Onko matematiikka vain tautologiaa? Ei ole. Matematiikan ydin eli differentiaali- ja integraalilaskenta on erittäin informatiivinen ulkomaailman suhteen.
Voiko matemaattisiin todistuksiin luottaa? Kyllä voi, vaikka matemaattisen induktion osalta on ollut puutteellisuuksia.
Voiko matematiikkaa redusoida puhtaaseen logiikkaan? Ei voi, vaikka matematiikka on äärimmäisen loogista.
Onko matematiikasta mitään hyötyä ...? Heh.
Vastaukset 15
Vanhimmat
Tulevien tapahtumien ennustaminen on aina kiehtonut ihmismieltä. Matematiikkaa voidaan käyttää tässä apuvälineenä.
Ensin tarvitaan kuitenkin tutkittavalle ilmiölle joku fysikaalinen malli. Usein malliin sisältyy juuri differentiaaleja ja integraaleja. On kuitenkin paljon ilmiöitä, joita ei osata tai joita ei ole mahdollista mallintaa.
Matematiikka on välttämätön apuväline nykymaailmassa.
"Onko matematiikka vain tautologiaa? Ei ole. Matematiikan ydin eli differentiaali- ja integraalilaskenta on erittäin informatiivinen ulkomaailman suhteen."
Matematiikka on nimenomaan väline. Jos ei ole olemassa jotain luonnossa havaittua säännönmukaisuutta josta voisi muodostaa matemaattisen kaavan niin matematiikka ei kerro mitään luonnosta. Matematiikka on tautologia siinä mielessä että sen avulla voidaan johtaa havaituista säännönmukaisuuksista jotain ennustuksia mutta ne ovat implisiittisesti jo olemassa siinä kaavassa ja vasta laskeminen ja kaavan soveltaminen avaa ne ennustukset eksplisiittisesti näkyville. Jos se matematiikka ei olisi tautologia niin laskeminen ei ylipäätänsä voisi toimia.
"Voiko matemaattisiin todistuksiin luottaa? Kyllä voi, vaikka matemaattisen induktion osalta on ollut puutteellisuuksia."
Ihan sama juttu kuin logiikan kanssa. Jos premissit ovat pätevät niin looginen päättely johtaa oikeaan johtopäätökseen. Jos premissejä on liikaa tai liian vähän tai jonkin premissi on virheellinen niin päädytään väärän johtopäätökseen.
Matematiikka on ihmismielen konstruktio ihan samalla tavalla kuin esim. shakkipeli sääntöineen.
Matematiikka on nimenomaan erittäin hyödillinen väline. Mutta väittää että esim. integraalilaskenta, joka kertoo täsmällisesti kuinka esim. laskea kappaleiden pinta-aloja ja tilavuuksia, olisi vain tautologiaa, on typeryyden huipennus. Ja sama asia koskee differentiaalilaskentaa integraalilaskennan käänteisoperaationa.
Matematiikka ei ole pelkkää tautologiaa.
"Matematiikka ei ole pelkkää tautologiaa."
Matematiikassa kaikki teoreemat seuraavat aksioomista eli johdetut teoreemat eivät tuota mitään uusia väitteitä. Pelkkä integraalilaskenta ei kerro mitään todellisuudesta eikä mikään muukaan matemattinen operaatio. Jos taas olemme havainneet luonnossa jonkun säännönmukaisuuden niin voimme matematiikan avulla johtaa mahdollisia seurauksia siitä ja siten ennustaa tulevaisuutta.
Matematiikka on abstraktio eli 1 1=2 jos on kyse sormista, omenoista, appelsiineista, kaneista eli kaikista mahdollisista olioista jotka ovat erillisiä ja keskenään samankaltaisia konkreettisia asioita. 1 1=2 ei sinänsä kerro mitään siitä onko olemassa jotain jota voisi laskea yhteen mutta jos on niin tulos on aina 2. Yleensä matematiikassa se tautologia ei ole mitenkään ilmeinen eikä intuitiivinen joten se laskutoimitus tuottaa hyödyllistä tietoa mutta ei siinä mitään uutta empiiristä tietoa synny eikä lisätä uusia väitteitä.
Esim. Einsteinin kaava e=mc2 ei ole tautologia eikä mitkään muutkaan fysiikan kaavat vaikka ne on matemaattisesti ilmaistu.
Loppujen lopuksi on kyse myös siitä miten määritellään tautologia.
https://fi.wikipedia.org/wiki/Tautologia
Tautologian voi myös ymmärtää niin että siinä ei lisätä uutta informaatiota.
Tuolla on keskustelua aiheesta:
http://forums.philosophyforums.com/threads/is-math-a-tautology-59574.html
Ymmärrän näkökulmasi, mutta olen eri mieltä. Ehdottomasti.
Derivaatta (eli differentiaalilaskennan keskeisin termi) kertoo meille täsmällisesti, kuinka esim. laskea nopeuksia. Newton ymmärsi tämän. Onko tieto kappaleen, ilmiön tai asian nopeudesta vain tautologiaa? Ehdottomasti ei.
Mutta tulen sinua vastaan. Nykyinen puhdas eli abstrakti matematiikka on pääpiirteissään tautologiaa. Ehdottomasti ja varmasti.
"Onko matematiikka vain tautologiaa? Ei ole. Matematiikan ydin eli differentiaali- ja integraalilaskenta on erittäin informatiivinen ulkomaailman suhteen."
Vaatinee filosofista pohdintaa miettiä, mikä on matematikan ydin. Se ei kyllä ole differentiaali- ja integraalilaskenta, vaikkakin tämän matematiikan haaran sovelluksilla on mitä merkittävin osa luontoon ja fysiikkaan liittyvissä asioissa.
Tautologiaa näen matematiikassa vain "luonnollisissa paikoissa". On kerroksittaisia ja sisäkkäisiä rakenteita, jolloin selvästikin alemman rakenteen ominaisuudet ovat myös laajennuksen sisällä.
Tutustu nyt ensin edes Kurt Gödelin ajatuksiin. Tämä olisi aika hyvä alkupotku matematiikan filosofian ajatteluun.
Ja tästä voit edetä sitten Georg Cantorin mietteisiin äärettömyydestä.
Kyllä näissä mietteissä menee aika tovi monessa ilta- ja yöhetkessä.
PS. muista välillä syödä ja nukkua kunnolla.
Tuota on sikäli kompattava, että Cantorin käsitys matematiikasta noin yleensäkin, ei pelkkää äärettömyyttä koskien, on varmasti se älyllisesti kypsin ja harkituin.
Matematiikan perustaminen joukko-opille on ajatuskukkanen sekin. Ajatus matematiikan pohjaamisessa joukko-opille oli, että luvuista täytyy tehdä "todellisia" (johonkin "reaalisesti olemassaolevaan" pohjautuvia) tai ikäänkuin naturalistisia olioita esittelemällä aksioomien avulla olemassaoleviksi joukkoja, joiden ekvivalenssiluokkia luvut ovat. Mutta ei sellaisia joukkoja tai lukuja luonnossa ole; ne ovat vain abstraktiona mielessä. Kivi voi kuulua johonkin nimettyyn joukkoon tai olla kuulumatta siihen; kiven fysikaaliseen käytökseen joukko ja joukkoon kuuluminen/kuulumattomuus ei vaikuta mitenkään. Samoin ekvivalenssiluokkien kanssa; ne ovat vain mielen tuotosta. Kyllä niille mielen luomille käsitteille voidaan tarkat ehdot antaa, mutta osoitapa luonnosta olio nimeltä "ekvivalenssiluokka".
Tavallaan hurlumheita siis koko joukko-oppi matematiikan POHJAKSI käsitettynä, mutta toki joukkoja voidaan käsitellä matemaattiseen tapaan matemaattisella tarkkuudella, kuten mitä tahansa muutakin abstrakteja objekteja / mielen konstruktioita, joille voidaan kuvata / kehittää tarkat konsistentit säännöt.
Huom. En kerro tässä kuitenkaan sitä, mitä matematiikka mielestäni on; vaan kerron vain, mitä se hyvin perustein nähdäkseni ei ainakaan ole.
En suoraan sanoen jaksa edes juuri kommentoida tuon linjan moskaa. Ordinaali on varmasti olemassa eri tavalla kuin kivi. Voiko enää epäselvempää ilmaisua kuin "olla olemassa" olla? Etten sanoisi.
Kaiken tuon tyyppisen ajattelun huvittavin piirre on, että joudut vaikka käsitteen "abstraktiona mielessä" objektiivisen olemassaolon ylipäätänsä puhuessasi siitä. Samalla haluat kiistää, että vaikka luku 9 on olemassa.
Se totuuden jyvänen tuohon sisältynee, että matematiikan täysi samaistaminen joukko-oppiin sulkee silmät tietyiltä hyvin mielenkiintoisilta ongelmilta. Toisaalta kaiken matematiikan käsitteleminen joukko-oppina on pragmaattisesti hyvin järkevää ja mahdollista. Hyvänä esimerkkinä tuo ryhmäteoria sekä Kantin vasen ja oikea. Ryhmäteoria on joukko-oppia, jolla ei ole mitään tekemistä vasemman ja oikean kanssa. Ainoan "yhteyden" tarjoaa metakieli, jonka ymmärtämiseksi tarvitaan käsitys vasemmasta ja oikeasta. Siksi puhutaan vaikka vasemmasta tai oikeasta sivuluokasta tai ymmärretään, mitä kommutoinnin kaava tarkoittaa. Ja luetaan teksti ylipäätänsä oikein vasemmalta oikealle.
"En suoraan sanoen jaksa edes juuri kommentoida tuon linjan moskaa. Ordinaali on varmasti olemassa eri tavalla kuin kivi."
Niin?
"Kaiken tuon tyyppisen ajattelun huvittavin piirre on, että joudut vaikka käsitteen "abstraktiona mielessä" objektiivisen olemassaolon ylipäätänsä puhuessasi siitä. "
En ymmärrä, mitä tämä tarkoittaa.
"Samalla haluat kiistää, että vaikka luku 9 on olemassa."
Mistä sellaisen kiistämisen löysit? Kirjoitin: 'ei sellaisia joukkoja tai lukuja luonnossa ole'. Tarkoitin 'luonnossa olemisella' sitä, että niitä ei ole olemassa fysikaalisina objekteina.
Sanoin myös: 'Huom. En kerro tässä kuitenkaan sitä, mitä matematiikka mielestäni on; vaan kerron vain, mitä se hyvin perustein nähdäkseni ei ainakaan ole.' En ottanut lainkaan kantaa abstraktiin matemaattiseen realismiin ("platonismiin"), vaan ainoastaan matematiikan "naturalistiseen" konstruointiin kivijoukkojen ynnä muiden joukkojen pohjalta.
"Samoin ekvivalenssiluokkien kanssa; ne ovat vain mielen tuotosta."
Esimerkiksi tämä on aika helppo tulkita platonismin vastaiseksi. Ehkä sitten ymmärsinkin osin väärin. Itseäni nyt aavistuksen valaistakseni, niin tarkoitin esim. formalismin luonnetta valikoivana platonismina, jollainen sillä taatusti on. Hieman sama maku tuosta jäi.
Sitä ihmettelen, että mistä olet saanut käsityksesi matematiikan perustamiseksi kiviröykkiöille? Ja liität joukkko-opin siihen? Ei hyvää päivää. Ordinaaleista ja kardinaaleista se kumpuaa eikä kivistä! Ei sille mitään historiallista perustaa ole paitsi ehkä näiden foorumien touhussa... :)
Harvinaisen vähän tässä on kiviä pohdittu, vaikka Cantorin rajoitettua platonismia kannatankin, tai oikeastaan järki sanoo sen eniten todeksi opiksi.
Etten nyt tylyltä kuulosta, niin hyvä sinänsä että nämä kysymykset edes jollakin tavoin kiinnostavat. Aika harvinaista nykyään, lopulta.
Lähinnä fysikalismin piirissä on yritetty palauttaa matematiikkaa johonkin fysikaaliseen. Fysikalisteillakin on tässä ollut avoinna kaksi päälinjaa kuten ei-fysikalisteillakin: matematiikka on joko mielestä riippuvaa tai mielestä riippumatonta. Ensimmäinen linja johtaa fysikalisteilla käsitykseen, jonka mukaan matematiikka ja luvut ovat vain jälkiä aivoissa, ja toinen johtaa näihin matemaattisten olioiden kuten lukujen pohjustamisiin mielenulkoiselle fysikaaliselle todellisuudelle, esim. kiviröykkiöille, jotka ovat niitä lukuja. Mutta silloin täytyy postuloida kuitenkin joukkojen olemassaolo ja ajatella joukkoja jotenkin ei-abstrakteina, täysin konkreettisina ja mielestä riippumattomina fysikaalisina olioina.
No, fysikalismilla ei niin kummoista sijaa ole kyllä matematiikan filosofiassa historiassa ole ollut, eikä kyllä kaivatakaan. Lähinnä Brouwer-Russel-Hilbert-Platon akselilla se vääntö on ollut, enemmän tai vähemmän.
Ja vielä vähemmän joukko-opin taustalla mikään fysikalismi varsinaisesti on. Ei Cantor kiviä todellakaan tutkinut, Fourierin sarjoja wikin mukaan näkyvät olleen. Kyllä ihan eri suuntaan mennään.
Toisesta Cantorista puheen ollen, Cantor-Zassenhaus bites the dust! Eikä kaivattu kiviä nytkään, oli hikinen päivä bugien kanssa. Pitäkää ne kivet kaukana matematiikasta! :)
Fysikalismihan putoaa kartalta heti kun aletaan puhumaan suuremmista luvuista. Niille ei ole fysikaalista vastinetta meidän maailmankaikkeudessamme.
Fysikalistin pitäisi luultavasti olla myös ultrafinitisti, eli kieltää liian suurten lukujen olemassaolo.