Helppiä tämän kanssa, ei vain osaa...
Erään tuotteen kysyntä q riippuu sen yksikköhinnasta p seuraavasti:
q(p) = −1/3p^2 25p − 400, kun 37 ≤ p ≤ 45.
Määritä tuotteelle myyntitulot maksimoiva hinta derivaatan avulla. Paljonko
myyntitulot ovat tällöin? Entä montako tuotetta menee kaupaksi?
Erään tuotteen kysyntä q riippuu sen yksikköhinnasta p seuraavasti:
q(p) = −1/3p^2 25p − 400, kun 37 ≤ p ≤ 45.
Määritä tuotteelle myyntitulot maksimoiva hinta derivaatan avulla. Paljonko
myyntitulot ovat tällöin? Entä montako tuotetta menee kaupaksi?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Kysyntäfunktion derivaatta on
q'(p) = -(2/3)p 25 (sikäli kuin ymmärsin merkinnät siten, että kyseessä on funktio
(-1/3) * p^2 25*p - 400).
Se on 0, kun p = 75/2 = 37,5.
Kysyntäfunktion kuvaaja on alaspäin aukeava parabeli. Sen mukaan pisteessä p = 37,5 on paikallinen maksimi. Vielä olisit tutkittava arvot välin (37,45) päätepisteissä. Ne ovat pienempiä kuin arvo pisteesä 37,5, koska kysyntäfunkion arvo vähenee molempiin suuntiin maksimipisteestä.
Kysyntäfunktio q(p) on differentioituva konkaavi funktio joten sillä on kriittisessä pisteessä p = 37,5 absoluuttinen maksimi.
Ohman
Pitää ilmeisesti maksimoida hinta*kysyntä eli p*q(p)= −1/3p^3 25p^2 − 400p.
Tämän derivatta on -p^2 50p-400. (katso tarvittaessa polynomifunktion derivoiminen)
Derivaatan nollakohdat ovat 10 ja 40. (Katso tarvittaessa toisen asteen yhtälön ratkaiseminen. Lisäksi 10 ei kuulu annetulle välille.)
Tutkittava väli oli 37 ≤ p ≤ 45. Lasketaan myyntitulon arvo (f(p)=p*q(p)=−1/3p^3 25p^2 − 400p) näissä pisteissä.
Suurin arvo on joko f(37), f(45) tai f(40). (Katso tarvittaessa Fermat'n lause.)
Laskemalla saadaan f(37) = 2540.67, f(45)=2250 ja f(40)=2666.67. Näistä f(40) on suurin.
Eli tuotteita menee 40 kaupaksi ja myyntitulot ovat 2666.67.
Oho nyt kävi kömmähdys. Siis hinta oli 40 ja tuotteita menee kaupaksi q(40)=66,7 eli noin 67 kappaletta.
Saako vielä kysyä, mihin tehtävä liittyi?