yksi asia jotain matematiikasta

cxbccxccdas

onko 1/0.9999999..... = 1

näin se on jos 1/0.9 ei ole 1, niin ei myöskään 1/0.9999999....... = 1, koska ne ovat samaa tyyppiä.

lyhyesti tarkennan jollekin, että miksi se pätisi jälkimmäiselle, jos se ei päde ensimmäiselle.

teoreetttisesti se on näin, mutta voi olla ehkä, että koska aikaisempi on helpompi käyttää, niin käytännössä 1/0.999999.... = 1 on tosi

28

389

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Ahmon

      "näin se on jos 1/0.9 ei ole 1, niin ei myöskään 1/0.9999999....... = 1, koska ne ovat samaa tyyppiä"
      Kyseessä on non sequitur.

      Rationaali- ja irrationaaliluvun osamäärä on irrationaaliluku, joten 1/0.999... ei voi olla 1, joka on rationaaliluku.

      Ahmon

      • Ohman

        0,999... ei suinkaan ole irrationaaliluku, onhan sillä jaksollinen desimaalikehitelmä:jakson pituus on 1 ja jakso koostuu numerosta "9".

        Lisäksi tietenkin, kuten jo tässäkin ketjussa on kahdesti osoitettu, 0,999... = 1 ja siis mitä rationaalisin, pertäti kokonaisluku.

        Ohman


    • dasdasdsaf

      jaaaapa, tämä miettiminen tässä ei noudata matematiikan sääntöjä, koska mietitään sen käytönnnöilistä näkökulmaa ja teoreettista näkökulmaa.

      jos sanoo, että tämä on käytännöllinen näkökulma, jota mietin, ja toisessa kohtaa, kun miettii sitä, sanoo siitä, että tämä on teereettinen näkökulma, niin siten.

      ei sitä tarvitse sanoa, kuin vain, kun huomaa sen vaatiman sanomisen.

      kuulostaa pakottamiselta tekemisessä

    • vafsfvsafsf

      voihan tehdä matematiikkaan säännön, että mennään joko teoreettisesti tai käytännöllisesti.

      ei siinä ehkä ole järkeä

    • Ohman

      10 * 0,999... = 9,999...
      1 * 0,999... = 0,999...

      (10 - 1) * 0,999... = 9 *9,999...= 9,999... - 0,999... = 9

      9 * 0,999... = 9 joten 0,999... = 1.Ja siis 1/0.999... = 1/1 = 1.

      Voi tämän näyttää muillakin tavoilla mutta tässä nyt oli yksi.

      Kuinkahan monta kertaa tätäkin asiaa lie palstalla vatvottu? Mutta aina näkyy löytyvän uusia "viisaita".

      Ohman

      • Tällaista todistelua taidetaan kutsua nimellä "'olkinukke"

        Väite todistelussa että (10 - 1) * 0,999... = 9 *9,999...= 9,999... - 0,999... = 9, pätee myös mille tahansa muulle 0,999... : n tilalle sijoitetulle lukuarvolle vain jos sen suuruus ensin oletetaan olevan 1 (ts. väite: 10*a-a = 9, edellyttää jo että a=1)
        Em ei siis todista että 0,999... olisi 1, vaan esittää vain laskutoimitusta jossa on jo oletettu 0,999... olevan 1 .

        aqnostikko


      • Ohman

        Tuli kirjoitusvirhe tuossa laskussani. P.O.:

        (10 - 1) * 0,999... = 9 * 0,999... = 9,999... . - 0,999... = 9 joten 0,999... = 9/9 = 1.
        Viimeisellä todistusrivillä oli kyllä oikein : 9 : 0,999... = 9 joten 0,999... = 1.

        Olkinukkeja ei ole. Tämän kirjoitusvirheen olisi agnostikkokin (ehkä?) voinut huomata.

        Vielä uudestaan: Koska 10 * 0,999... = 9,999... ja 1* 0,999... = 0,999... niin
        10*0,999... - 1* 0,999... =(10 - 1) * 0,999... = 9* 0,999... = 9,999... - 0,999... = 9

        Ohman


      • Ohman
        Ohman kirjoitti:

        Tuli kirjoitusvirhe tuossa laskussani. P.O.:

        (10 - 1) * 0,999... = 9 * 0,999... = 9,999... . - 0,999... = 9 joten 0,999... = 9/9 = 1.
        Viimeisellä todistusrivillä oli kyllä oikein : 9 : 0,999... = 9 joten 0,999... = 1.

        Olkinukkeja ei ole. Tämän kirjoitusvirheen olisi agnostikkokin (ehkä?) voinut huomata.

        Vielä uudestaan: Koska 10 * 0,999... = 9,999... ja 1* 0,999... = 0,999... niin
        10*0,999... - 1* 0,999... =(10 - 1) * 0,999... = 9* 0,999... = 9,999... - 0,999... = 9

        Ohman

        Näkyy nyt noita kirjoitusvirheitä pukkaavan. P.o. "Viimeisellä todistusrivillä oli kyllä oikein:
        9 * 0,999... = 9 joten 0,999... = 1."

        Taas Ohman


    • Työlleostettu

      0,999... = 0,9 x 10^0 0,9 x 10^-1 0,9 x 10^-2 ...
      Kyseessä geometrinen sarja, jolle suhdeluku q=0,1 (sarja suppenee) ja vakio a=0,9
      Nyt summa
      a/(1-q) = 0,9/(1-0,1) = 0,9/0,9 = 1

      Vastaavasti 1/0,999... = 1/1 = 1

    • aksioomia

      Kyllähän sen nyt järkikin sanoo, ettei 0,999... ole sama kuin 1. Matematiikan aksioomat eivät vain toimi tässä tapauksessa.

      • Ohman

        Vai että järkesi ja "matematiikan aksioomat" ovat ristiriidassa.

        Jos 0,999... ei ole 1 niin kerropa mitä se sitten on. Ei se kai sinunkaan mielestäsi ole suurempi kuin 1. Ja jos se ei myöskään ole 1 niin se on pienempi kuin 1 vai sanooko järkesi jotatain muuta?
        Jos 0, 999... < 1, niin pitäisi löytyä reaaliluku d jolle pätee 0,999... < d < 1.Mikähän luku tämä mielestäsi on?

        0,9 = 9/10 = 9* 1/10. 0,99 = 9* 1/10 9 * (1/10)^2. 0,999 = 9* 1/10 9*(1/10)^2 9* (1/10)^3.

        s(n) = 0,999...9 missä on n kappaletta yhdeksikköjä on
        9*1/10 9* (1/10)^2 .... 9* (1/10)^n.

        Nyt lim (n -> inf) s(n) = 1 sillä valittiinpa mikä tahansa positiivinen luku e niin löytyy sellainen positiivinen luku n(e) että

        1 - s(n) < e kun n > n(e).

        Näin ollen mielestäsi vaikka lukujonon s(n) raja-arvo on 1, niin kuitenkin on olemassa luku d joka on < 1 mutta > s(n) jokaisella n:n arvolla.

        Mutta koska näyt epäilevän koko matematiikan järjestelmää niin eihän tämäkään todistelu sinua tietenkään vakuuta.

        Minun pitää kai ottaa opikseni tämä vanha tunnettu :"Never argue with ignorant people. There is no amount of evidence that could make them change their minds." Ja olla kinaamatta kanssasi.

        Ohman


      • Ohman
        Ohman kirjoitti:

        Vai että järkesi ja "matematiikan aksioomat" ovat ristiriidassa.

        Jos 0,999... ei ole 1 niin kerropa mitä se sitten on. Ei se kai sinunkaan mielestäsi ole suurempi kuin 1. Ja jos se ei myöskään ole 1 niin se on pienempi kuin 1 vai sanooko järkesi jotatain muuta?
        Jos 0, 999... < 1, niin pitäisi löytyä reaaliluku d jolle pätee 0,999... < d < 1.Mikähän luku tämä mielestäsi on?

        0,9 = 9/10 = 9* 1/10. 0,99 = 9* 1/10 9 * (1/10)^2. 0,999 = 9* 1/10 9*(1/10)^2 9* (1/10)^3.

        s(n) = 0,999...9 missä on n kappaletta yhdeksikköjä on
        9*1/10 9* (1/10)^2 .... 9* (1/10)^n.

        Nyt lim (n -> inf) s(n) = 1 sillä valittiinpa mikä tahansa positiivinen luku e niin löytyy sellainen positiivinen luku n(e) että

        1 - s(n) < e kun n > n(e).

        Näin ollen mielestäsi vaikka lukujonon s(n) raja-arvo on 1, niin kuitenkin on olemassa luku d joka on < 1 mutta > s(n) jokaisella n:n arvolla.

        Mutta koska näyt epäilevän koko matematiikan järjestelmää niin eihän tämäkään todistelu sinua tietenkään vakuuta.

        Minun pitää kai ottaa opikseni tämä vanha tunnettu :"Never argue with ignorant people. There is no amount of evidence that could make them change their minds." Ja olla kinaamatta kanssasi.

        Ohman

        P.S. Ja tietenkin voisit katsoa tarkemmin tuota nimimerkin "Työlleostettu" geometrista sarjaa.
        Sinun mielestäsi näyttää olevan, että vaikka sarjan summa on 1 niin se summa kuitenkin on < 1.

        Mutta tämäkin on tietenkin matematiikkaa, joka ei sinua vakuuta.

        "First they drag you down to their level and then they beat you with experience."

        Rauhaa,rauhaa huokuu keväinen sunnuntaiaamu joten pohdiskelepa ihan rauhassa ihan miten haluat.

        Ohman


      • Niinpä_niin

        Tosiasioiden ja faktan selittäminen on loogisen johdonmukaista ja helppoa, kun taas 'tuuban' todistaminen muka faktaksi, vaatii jo enemmän paneutumista ja mielikuvitusta, joskin onnistuessaan on selvästi palkitsevampaa.

        Niinpä_niin


      • 1/3 = 0,33333333...
        3/3 = 0,99999999...
        1 = 0,99999999...


      • ikuisuusaihe
        Ohman kirjoitti:

        Vai että järkesi ja "matematiikan aksioomat" ovat ristiriidassa.

        Jos 0,999... ei ole 1 niin kerropa mitä se sitten on. Ei se kai sinunkaan mielestäsi ole suurempi kuin 1. Ja jos se ei myöskään ole 1 niin se on pienempi kuin 1 vai sanooko järkesi jotatain muuta?
        Jos 0, 999... < 1, niin pitäisi löytyä reaaliluku d jolle pätee 0,999... < d < 1.Mikähän luku tämä mielestäsi on?

        0,9 = 9/10 = 9* 1/10. 0,99 = 9* 1/10 9 * (1/10)^2. 0,999 = 9* 1/10 9*(1/10)^2 9* (1/10)^3.

        s(n) = 0,999...9 missä on n kappaletta yhdeksikköjä on
        9*1/10 9* (1/10)^2 .... 9* (1/10)^n.

        Nyt lim (n -> inf) s(n) = 1 sillä valittiinpa mikä tahansa positiivinen luku e niin löytyy sellainen positiivinen luku n(e) että

        1 - s(n) < e kun n > n(e).

        Näin ollen mielestäsi vaikka lukujonon s(n) raja-arvo on 1, niin kuitenkin on olemassa luku d joka on < 1 mutta > s(n) jokaisella n:n arvolla.

        Mutta koska näyt epäilevän koko matematiikan järjestelmää niin eihän tämäkään todistelu sinua tietenkään vakuuta.

        Minun pitää kai ottaa opikseni tämä vanha tunnettu :"Never argue with ignorant people. There is no amount of evidence that could make them change their minds." Ja olla kinaamatta kanssasi.

        Ohman

        Tuo suppenevan sarjan todistus on omasta mielestäni selkein tapa todistaa että 0,999... = 1. Tuohan pätee myös yleisesti minkätahansa kantaiselle luvulle. Esim binomille 0,111...=1.

        Toki tässä täytyy tietää hieman reaalilukujen ominaisuuksia jos asian haluaa ymmärtää.


      • lisäysvielä

        Itse asiassa tietääkseni reaaliluvut määritellään juuri tuollaisten suppenevien Cauchy-jonojen avulla. eli 0,9 0,09 0,009 ... määrittelee reaaliluvun 1.


      • Ohman
        lisäysvielä kirjoitti:

        Itse asiassa tietääkseni reaaliluvut määritellään juuri tuollaisten suppenevien Cauchy-jonojen avulla. eli 0,9 0,09 0,009 ... määrittelee reaaliluvun 1.

        Reaaliluvut määritellään aksiomaattisesti siten, että ne muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.

        Reaalilukuja ei voi määritellä "suppenevien Cauchy-jonojen avulla" sillä näiden teoria jo edellyttää reaalilukujen ominaisuuksien tuntemista. Tuollainen määritelmä olisi kuin Munchausen (anteeksi saksalaisen kirjaimen puute) nostamassa itseään suosta vetämällä tukastaan ylöspäin.

        Reaalilukujen desimaaliesityksiä voi sitten kyllä tutkia Cauchy-jonojen avulla.

        Jos rationaaliluvut Q on määritelty ( nekin määritellään aksiomaattisesti) niin on olemassa tapa johtaa reaaliluvut käyttämällä ns. formaalisia desimaalikehitelmiä. Tällaisen idean on julkaissut Stolz vuonna 1886. Yksityiskohtainen selostus löytyy aika harvasta nykykirjasta. ja on sen verran hankala että en lähde sitä tässä enemmälti esittelemään.

        Ohman


      • Ohman
        Ohman kirjoitti:

        Reaaliluvut määritellään aksiomaattisesti siten, että ne muodostavat täydellisen järjestetyn kunnan.

        Reaalilukuja ei voi määritellä "suppenevien Cauchy-jonojen avulla" sillä näiden teoria jo edellyttää reaalilukujen ominaisuuksien tuntemista. Tuollainen määritelmä olisi kuin Munchausen (anteeksi saksalaisen kirjaimen puute) nostamassa itseään suosta vetämällä tukastaan ylöspäin.

        Reaalilukujen desimaaliesityksiä voi sitten kyllä tutkia Cauchy-jonojen avulla.

        Jos rationaaliluvut Q on määritelty ( nekin määritellään aksiomaattisesti) niin on olemassa tapa johtaa reaaliluvut käyttämällä ns. formaalisia desimaalikehitelmiä. Tällaisen idean on julkaissut Stolz vuonna 1886. Yksityiskohtainen selostus löytyy aika harvasta nykykirjasta. ja on sen verran hankala että en lähde sitä tässä enemmälti esittelemään.

        Ohman

        Lisäys: Voidaan kyllä sanoa, että reaaliluvut voi konstruoida rationaalisten Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkina.Mutta Q on siis jo tunnettava. Kts. Wikipedia : Construction of the real numbers.

        Ohman


      • juurikinnäin
        Ohman kirjoitti:

        Lisäys: Voidaan kyllä sanoa, että reaaliluvut voi konstruoida rationaalisten Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkina.Mutta Q on siis jo tunnettava. Kts. Wikipedia : Construction of the real numbers.

        Ohman

        Tuota tarkoitin. Cauchy-jono f(1)=0,9 f(2)=0,99 f(3)=0,999 jne. kuuluu reaaliluvun 1 Cauchy-jonojen ekvivalenssiluokkaan.


    • Trolleja

      JOkainen jaksollinen desimaalilukuhan voidaan esittää murtolukuna:

      Merkitään x = 0,999... joten 10x = 9,999...
      10x-x = 9,999... -0,999...
      9x = 9
      x = 1

      Tämänhän Ohman jo todisti, eikä tämä todistus vaadi yläasteen oppimäärää enempää. Joku epäilikin, että ohmanin todistus toimii jokaisella reaaliluvulla, mutta tässä nyt hyödynnetään yleisesti hyväksyttyä tapaa muuttaa jaksollien desimaaliluku (huom! Ei ole irrationaalinen) murtoluvuksi.

      Vielä helpoin todistus on jo esitetty: 1/3 = 3,333... <=> 1 = 0,999...

      • Ohman

        Tuli sinullekin kirjoitusvirhe. 1/3 = 0,333... <= > 1 = 0,999...

        Yhtä hyvin voidaan kirjoittaa suoraan

        1/9 = 0,111... joen 1 = 0,999...

        Mainitsin jo 1. kommentissani että asian voi näyttää monella tavalla.

        Ohman


      • Ohman

        Ja taas: p.o. joten 1 = 0,999...

        Ohman


    • matikkaonmivaa

      Yksinkertainen vastaus kysymykseesi on että tutustu sarjoihin.
      Päättymättömien sarjojen (suppeneva) summana voidaan pitää raja-arvoa jota se lähenee, päättyville sarjoille on omat summansa.
      Selittänee miksi 0,99 ei ole sama kuin 0,999... .

      Edellä olleet todistukset, 1/3 ... ja geometrinen sarja ym perustuvat juuri tuohon summan määritykseen, mutta rönsyilyä näyttää sitten löytyvän asian monimutkaistamiseksi.

    • Mietteiäa

      Olisiko 1/2.999... = 1/3? Nimenomaan jos puhutaan päättymättömästä desimaaliluvusta?

      • Nöinhön

        2,99...= 2 0,999... = 2 1=3 joten 1/2.99..=1/3 ktllä


      • Setä.viisastelee

        Olisiko 1/ (3 - 0,000.........1) ? Mistä tiedät, ettei siellä nollien perässä ollut tuota ykköstä?


    • 0.999...ihmistä

      Onko tästä mitään järkeä?
      1 ihminen = 0.999... ihmistä

    • hghddhhd

      tätä ei voi ratkaista mitenkään muuten, kuin jos haluttaa sopia
      käytetään teoreettista näkökulmaa tai käytännölistä

      käytännöllinen on se, että kun 1/itseisarvo x, kun x kuuluu reaalilukuihin, niin vastaus on ääretön.

      samoin l/0.99999999999999999......=1 käytännössä

      teoreettisesti 1/itseisarvo x, kun x kuuluu reaalilukuihin, niin se lähestyy rajattomasti ääretöntä siis y, kun y =1/ itseisarvo x, eli nollalla ei voi jakaa ja saada vastaus y on tuossa ääretön

      samoin, kun 1/0.99999999999999999 on erisuursi kuin 1
      teoreettissti

      nämä teoreettisest näkökulmat ovat totta joka kerta, kun ei voi absoluuttisesti todistaa vastoin faktaa.

      käytännössä faktoja ei oteta tarkkaan huomioon, siis ne jotka ovat matematiikan faktat ajateltuina

      matematiikan teoreettinen näkökulma on matematiikan käytännön näkökulman vastakohta

    Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hengenvaaralliset kiihdytysajot päättyivät karmealla tavalla, kilpailija kuoli

      Onnettomuudesta on aloitettu selvitys. Tapahtuma keskeytettiin onnettomuuteen. Tapahtumaa tutkitaan paikan päällä yhtei
      Kauhava
      172
      6303
    2. Ootko rakastunut?

      Kerro pois nyt
      Ikävä
      147
      1744
    3. Onhan sulla nainen parempi mieli

      Nyt? Ainakin toivon niin.
      Ikävä
      113
      1528
    4. Ujosteletko tosissaan vai mitä oikeen

      Himmailet???? Mitä pelkäät?????
      Ikävä
      51
      1280
    5. Suureksi onneksesi on myönnettävä

      Että olen nyt sitten mennyt rakastumaan sinuun. Ei tässä mitään, olen kärsivällinen ❤️
      Ikävä
      46
      962
    6. Möykkähulluus vaati kuolonuhrin

      Nuori elämä menettiin täysin turhaan tällä järjettömyydellä! Toivottavasti näitä ei enää koskaan nähdä Kauhavalla! 😢
      Kauhava
      32
      889
    7. Älä mies pidä mua pettäjänä

      En petä ketään. Älä mies ajattele niin. Anteeksi että ihastuin suhun varattuna. Pettänyt en ole koskaan ketään vaikka hu
      Ikävä
      98
      864
    8. Reeniähororeeniä

      Helvetillisen vaikeaa työskennellä hoitajana,kun ei kestä silmissään yhtään läskiä. Saati hoitaa sellaista. Mitä tehdä?
      Kouvola
      5
      819
    9. Tarvitsemme lisää maahanmuuttoa.

      Väestö eläköityy, eli tarvitsemme lisää tekeviä käsiä ja veronmaksajia. Ainut ratkaisu löytyy maahanmuutosta. Nimenomaan
      Maailman menoa
      231
      775
    10. Kävit nainen näemmä mun

      Facessa katsomassa....
      Ikävä
      41
      769
    Aihe