Todennäköisyystehtävät ovat sikäli hauskoja, että intuitio voi usein olla väärässä.
Alkuasetelma: On 100 laatikkoa, joissa kussakin on 100 palloa ja lisäksi varapalloja. Toistetaan kolikonheittoa 50-50 todennäköisyyksin.
Sarja: Otetaan ensimmäinen laatikko ja heitetään tasan 100:n heiton sarja. Jos sarjassa kolmella edellisellä (perättäisellä) heitolla on tullut kruuna, seuraavan heiton tulos määrittää lisätäänkö vai poistetaanko laatikosta yksi pallo. Jos tulee kruuna, laatikkoon lisätään pallo, klaavalla sieltä poistetaan pallo.
Toistetaan tämä kullekin laatikolle. Lopuksi on siis sata laatikkoa, joissa on epälukuinen määrä palloja. Lopuksi otetaan satunnainen laatikko tarkasteltavaksi.
Kysymys: Onko laatikossa todennäköisesti yli, alle vai tasan sata palloa?
Alkuasetelma: On 100 laatikkoa, joissa kussakin on 100 palloa ja lisäksi varapalloja. Toistetaan kolikonheittoa 50-50 todennäköisyyksin.
Sarja: Otetaan ensimmäinen laatikko ja heitetään tasan 100:n heiton sarja. Jos sarjassa kolmella edellisellä (perättäisellä) heitolla on tullut kruuna, seuraavan heiton tulos määrittää lisätäänkö vai poistetaanko laatikosta yksi pallo. Jos tulee kruuna, laatikkoon lisätään pallo, klaavalla sieltä poistetaan pallo.
Toistetaan tämä kullekin laatikolle. Lopuksi on siis sata laatikkoa, joissa on epälukuinen määrä palloja. Lopuksi otetaan satunnainen laatikko tarkasteltavaksi.
Kysymys: Onko laatikossa todennäköisesti yli, alle vai tasan sata palloa?
Vastaukset 15
Vanhimmat
Korjaan kysymyksen osan "vai tasan sata palloa?" muotoon "yhtä todennäköisesti yli tai alle sata palloa?"
yhtä todennäköisesti yli tai alle sata palloa.
Pistitpä pahan.
Merkitään X = "laatikossa olevien pallojen määrä heittelyn jälkeen" (tutkitaan vain yhtä laatikkoa tuo lopun laatikon valinta ei taida vaikuttaa mitään, sillä kaikissa laatikoissa kuitenkin X:llä sama jakauma).
Nämä arvot pohjautuvat simulaatioon:
P(X<100) ≈ 0.49
P(X=100) ≈ 0.12
P(X>100) ≈ 0.39
Odotusarvo E[X] = 100, mutta X:n jakauma on oikealle vino, joskin todennäköisyydet näille suuremmille arvoille ovat pienempiä (niinkuin pitää ollakin jotta odotusarvoksi saataisiin 100), joten enemmän massaa on satasen vasemmalla puolella.
Sehän on selvää, että X > 100 - 100/4 = 75, sillä jotta vähennettäisiin pallo, täytyy tulla kolme kruunaa ja sitten klaava, joten tähän tuhlautuu 4 siirtoa joka kerta. Toisaalta voi tulla myös pelkästään kruunoja (tn 0.5^100), jolloin X = 100 100-3 = 197.
Todistusta minulla ei näille väitteille ole paitsi tuolle E[X] = 100:
X = 100 summa{1..100} K_i * J_i,
missä K_i on indikaattori sille että kolme edellistä ovat kruunoja (K_1 = K_2 = K_3 = 0) ja J_i on 1 jos i. heitto on kruuna ja -1, jos se on klaava. Odotusarvon lineaarisuudesta ja siitä, että K_i ja J_i ovat riippumattomia (huomaa: K_i:t ovat keskenään vahvastikin riippuvaisia, mutta lineaarisuus toimii odotusarvolle silti):
E[X]
= 100 summa{1...100} E[K_i*J_i]
= 100 summa{1...100}E[K_i]E[J_i]
= 100,
sillä E[J_i] = 0 kaikilla i.
Saisikos tästä todistuksen: Koska E[X] = 100, ja X saa arvoja 75...197, niin täytyy olla P(X<100) > P(X>100).
Tämä johtuisi siitä, että
0 =
E[X-100]
= summa {k=75...197} (k-100)*P(X=k)
= ( summa {k=-25...-1} k*P(X=100 k) ) ( summa {k=1...97} k*P(X=100 k) )
Siten,
summa {k=1...25} k*P(X=100-k) = summa {k=1...97} k*P(X=100 k)
Onko meillä nyt olemassa lemmaa: kaikki esiintyvät luvut ei-negatiivisia ja b_>=a_i, ja joillain termeillä, joilla y_i > 0, on b_i>a_i (tai voidaan olettaa vaikka ,että y_i>0 kaikilla i)
sum{i=1...n} a_i*x_i = sum{i=1...n} b_i*y_i
=>
sum{i=1...n} x_i > sum{i=1...n m} y_i
?
Onnittelut Kanootti3. Esittämäsi "Koska E[X] = 100, ja X saa arvoja 75...197, niin täytyy olla P(X<100) > P(X>100)." on tehtävän ydin. Jos vielä päättelit tuon, ennen kuin simulaatiotulokset olivat käsillä, saat täydet pisteet ja plussan päälle. Odottelin kyllä enemmän hässäkkää, ennen kuin tehtävä ratkeaa.
No entäs jos aloitettaiskin ihan tyhjillä laatikoilla? :P
Ja jos tyhjälle laatikolle tulis klaava, niin laatikko jäis "velkaa" yhden pallon.
Ja laskettais,et onko laatikossa palloja, vain vaan "velkaa", niin:
Muuttuisko tulos?
Kiitos onnitteluista :). Kyllä simulaatiotulokset oli käsillä aivan heti alkuun ;D. Mutta mitenkäs tuo todistus vietäisiin tuosta loppuun? Ei ainakaan tuo ehdottamani yleinen lemma toimi, sille löytyi vastaesimerkki.
Jos merkitään x_i = P(X=100-i) ja y_i = P(X=100 i), niin jotenkin täytyy rajoittaa niitä alkupään y_i arvoja (ne näyttäisi kaksi ekaa olevan pienempiä kuin x_i:t mutta kolmas jo suurempi). Pitäisi siis olla jonkinlainen lemma, joka kertoo vektorien x ja y komponenttien summien suuruuksista kun vektorien sisätulot erään vektorin a=(1,2,3,4,...,n) kanssa ovat yhtäsuuret ja vektorin x loppupäässä on jokin määrä nollia ja luultavasti vielä jotain rajoituksia siellä alkupäässäkin. Onko jotain yleistä lausetta miten odotusarvo ja mediaani (todennäköisyyden puolittaja) käyttäytyvät tällaisissa "vinoissa" tilanteissa. Ja yksihuippuinenkinhan tämä tilanne on.
Jos aloitettaisiin tyhjillä laatikoilla, ei tilanne matemaattisesti muuttuisi mihinkään. Helpommaksi vain käsitellä kun E[X-100] = 0 ja saadaan kaava
summa {k=1...25} k*x_k = summa {k=1...97} k*y_k.
kylläpäs te olette päteviä! ainakaan minä en tajunnut mitään..
Ton jippo oli siinä, et palloja ei vähennetty ihan samojen säätöjen mukaan, koska "yli sata" kanta sai etua siitä, että palloja oli alunperinkin sata, eikä nolla. Joten aina kun laatikossa oli palloja YLI sata, niin todennäköisyyden mukaan puntit ei enää olleetkaan tasaset lähtöarvon mukaset sata, vaan muuttuivat hieman 100 hyväksi. Samoin, kun niitä oli alle sata, niin todennäköisyys sille et poistetaan pieneni.
(Tai ainakaan mä en osaa tota tähän hätään paljon ton paremmin selittää!? :D Sori jos ei vieläkään menny jakeluun)
Ei se pallojen määrä laatikossa vaikuta mitään siihen kolikon heittelyyn.
Juju on siinä että kolikon heittoputkessa (1="kruuna", 0="klaava") on mahdollista esiintyä osajono "1111" useammin kuin osajono "1110", sillä voi tulla pitkiä putkia "11....1", joissa jono "1111" on siis monta kertaa. Kun taas "1110":n esiintyminen m kertaa vaati aina vähintään 4m pituisen jonon "11101110...1110".
Siksi pallojen lisäyksiä on mahdollista tulla enemmän kuin poistoja. Odotusarvo kuitenkin on tasan 100 kuten tuolla aiemmin on laskettu.
Se että miten P(yli 100 palloa) < P(alle 100palloa) voidaan loppujen lopuksi todistaa ei ainakaan itselleni ole vielä selvää.
(Pelkkä arvojen vaihteluväli 75...197 ja odotusarvo 100 eivät taida suoraan tuota todennäköisyyksien järjestystä antaa, sillä esim P(X=101) voisi olla hyvin suuri ja P(X=99) melko pieni ja niin edelleen, jotta odotusarvo on sata mutta todennäköisyysmassaa kuitenkin satasen oikealla puolella enemmän.)
Meinaaks?
Koska joku tos mjlla vaan mättää!
Ajatellaas näin?
Sulla on täys tikkuaski.
Sä lisäilet tai vähentelet sinne tikkuja samalla lantinheittomenetelmällä, sovitaan vaikka paritkyt kertaa, lopussa sä kysyt en onko siellä enemmän tikkuja ku alotettaessa.
Tehdään sama tyhjällä tikkuaskilla.
Merkitään miinustikut ylös, jos laatikko on tyhjä.
Kysytään, onko tikkulaatikko tyhjä.
Eikös oikea kysymys olis, onko laatikossa todennäkösemmin tikkuja, kuin että se olisi tyhjä. (eli se sisältää miinustikkuja)
En ymmärrä pointtiasi. Ei se vaikuta, jos pallot vaihdetaan tikkuihin niinkuin ei sekään kuinka monta niitä aluksi on. Tikkujen määrä lopussa on
X = X_0 summa_{j=1...20} K_j * I_j,
missä
K_j on indikaattori sille onko kolme viimesintä heittoa (heitot j-1, j-2 ja j-3) kruunoja (K_j=1, jos on, 0 jos ei),
I_j = -1, jos j. heitto on klaava ja 1, jos j.heitto on kruuna
ja
X_0 on tikkujen määrä alussa.
Kysymys kuuluu minkä tapahtuman tn on suurin
X < X_0,
X=X_0
vai
X>X_0
eli yhtäpitävästi
(summa_{j=1...20} K_j * I_j ) < 0
(summa_{j=1...20} K_j * I_j ) = 0
vai
(summa_{j=1...20} K_j * I_j ) > 0
Kysytyt todennäköisyydet eivät siis riipu alkuarvosta X_0.
Tälläisiä tehtäviä voinee lähes aina yksinkertaistaa ilman tuloksen muuttumista. Eli vain yksi laatikko ja vain 5...10 palloa ja heittokertaa. Kolme peräkäkkkäistä kertaa voinee olla kaksi. Kruuna voi olla binääriluvun 0 ja klaava ykkönen. Sitten käydään läpi kaikki 5-bittiset luvut (32 eri jonoa) ja varmistetaan tulos 6...10-bittisillä luvuilla. Tehtävän koko juju paljastuu.
Oletetaan palloja ja heittokertoja olevan kolme. Edellisiä kertoja 1 kpl. Laatikoita 1 kpl. Kruuna on 0, klaava on 1. Taulukossa L = lisäys ja V = vähennys.
000 LL 5 palloa
001 LV 3 palloa
010 V 2 palloa
011 V 2 palloa
100 L 4 palloa
101 V 2 palloa
110
111
Enemmän 2 kertaa ja vähemmän 3 kertaa.
Mitäköhän sääntöä tuo viime viestini rikkoi? Luin säännöt ja en kyllä löydä mitään kohtaa, jota se olisi rikkonut. Ihmetyttää!
Viestissä oli ratkaisu Markovin ketjun avulla. Kuva ketjusta:
http://aijaa.com/xtFa6O
(ja on ihan oma piirtämäni, ei tekijänoikeusrikkomuksia ;D)
Ketju ääretön, mutta koska 100 heitolla pääsee vain tiettyyn asti, tarvitsee tutkia vain äärellistä osaa (k välillä [75, 197]).
Todennäköisyydet eri pallomäärille 100 heiton jälkeen saadaan siirtymämatriisin sadannen potenssin aloitustilaa (100, "") vastaavasta sarakkeesta kun yhdistetään jokaisen pallomäärän k tilat "", "1", "11" ja "111" (eli summataan neljä peräkkäistä tilaa).