Neljä taloa sijaitsee "neliön kärjissä" niin, että etäisyys lähimpiin taloihin ("neliön sivu) on 100 m. Talojen välille päätetään rakentaa yhdystiestö niin, että siitä tulee mahdollisimman lyhyt. Kuinka monta metriä tiestön pituudeksi tulee?
Yhdystiestö
MitenLie
15252
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 15
Vanhimmat
piirrä kuva
Pystyt kai hahmottamaan neljä taloa niin, että ne näyttävät muodostavan neliön. Mitään teitä ei ole alunperin olemassa vaan tiestö itse suunniteltava niin, että jokaisesta talosta pääsee jokaiseen muuhun, ja että tiestö on mahdollisimman lyhyt.
Kaikista tie neliön keskipisteeseen, yhteensä 200√2 ≈ 280 metriä tietä.
Näin äkkiseltään ajateltuna ei pysty lyhyemmällä, sillä tiet nurkasta nurkkaan on oltava ja lyhyin tie on suora viiva. Vähän epäilyttää, että voisiko sitä nurkasta A nurkkaan C menevää tietä, sitten käyttää B:n ja D:n yhdistämisessä, mutta en kyllä keksi miten.
Ei kun, hetkinen, taisin miettiä liian hätäisesti. Otetaan takaisin :D.
Kysyjä haluaa matemaattisen todistuksen. "Hyväsyttävää" maallikon ymmärtämää todistustapaa ei ole aina ihan helppoa keksiä, jos tehtävä on liian helppo!
Kannattaa ajatella solmupisteiden määrää, solmupisteellä tarkoitan pistettä, johon liittyy vähintään kolme tietä. Niitä voi olla esim 0, jolloin yhdistetään talot toisiinsa kolmella "neliön sivulla", jolloin matka on 300 m. Sitten voi olla yksi solmupiste neliön sisällä, johon liittyy neljä tietä. On kai suhteellisen helppoa osoittaa, että lyhin tiestö saadaan, kun se on keskipisteessä, jolloin saadaan tuo kanootin 200√2 m (mikä ei ole oikea ratkaisu). Sitten on vielä useamman solmupisteen ratkaisuja.
Sijoitetaan teiden leikkauspiste (x,y) neliön sisään. Lasketaan eri pisteiden välisten reittien etäisyyksien summa. Osoitetaan, että se saa miniminsä, kun x=50 ja y=50.
Menee alalyyttisesti aika kiharaksi, mutta koneella tuo on helppo todentaa. Myös intuitio sanoo, että teiden leikkauspiste kannattaa panna keskelle.
Jos 2 solmua:
>-<
vaakasuora 42,265 m, niin yht. 273,205 m
Joo, eli yhteensä 100*(1 sqrt3). Solmukohdissa kolme tietä ovat 120 asteen kulmissa toisiinsa nähden. Tuon pituinen yhdystie, joka on neliön kahden sivun suuntainen, voidaan osoittaa antavan minimin. Vähän monimutkaisempaa osoittaa, että minimaalinen kaikkiin mahdollsiin kahden solmupisteen ratkaisuhin verrattuna. Kolmen ja neljän solmupisteen ratkaisut redusoituvat minimoitaessa yhden ja kahden solmupisteen ratkaisuiksi.
Rasti jonka nurkissa on talot ja risteys keskellä. Muistaa väistää sitten oikealta tulevaa siinä risteyksessä.
Jos neliön sivu on 1 ja täällä esitety yhdystie (tai vaakasuora) on x, niin tiestön pituus on:
2*sqrt(x^2-2x 2) x
Tuon kun minimoi, saa täällä esitetyn oikean ratkaisun. Käyrää voi katsoa jaa zoomata Googlella kopsaamalla ko yhtälön hakuriville. (Ehkä löytyy kuvakin tiestöstä?)
Täydelliseen ratkaisuun kuuluisi osoittaa, että tuo mainittu tapaus antaa minimin, sijaitsevat kaksi solupistettä miten tahansa. Se ei näytä kovin vaikealta: osittain laskennallisesti ja osittain geometrisin tarkasteluin voidaan tuo todistelu tehdä.
Tuon siitä saa, kun rakentaa talot keskelle tietöntä korpea ja kauas toisistaan. Ennen pitkää tulee yksinäinen olo ja joutuu kysymään neuvoa tiedepalstalta.
Olisi kannattanut rakentaa kerralla kerrostalo, jossa on neljä kerrosta/asuntoa ja niille pystysuora yhdystie eli hissi.
Tuon tyyppisiä ongelmia voi ratkoa myös saippuakuplilla
https://www.youtube.com/watch?v=jDPvTRCVhUA
https://brilliant.org/wiki/math-of-soap-bubbles-and-honeycombs/
Talot sijaitsevat vierekkäisillä hehtaarin tonteilla. Mitään erillisiä teitä ei tarvitse rakentaa eikä edes voi. Kaikki liikkuminen tapahtuu pihoja pitkin.