Kesäloman kunniaksi olen ajatellut harrastella vähän matematiikkaa, ja olen tehnyt vanhoja topologian alkeiskurssin tehtäviä. Tästä tehtävästä en kuitenkaa saa oikein kiinni. Tiedän, että noissa haetaan halkaisijaa, sisäpisteitä, ulkopisteitä, sulkeumaa ja reunapisteitä ja joukon D alkiot kuuluvat avoimeen palloon. Voisiko joku neuvoa millä tavalla näitä määrätään?
Olkoon A = B U C U D, missä
B = {(1 , x_2) ∈ R^2 : 0 ≤ r ≤ < 1}
C = {(2, x_2) ∈ R^2 : 0 < r < 1 , x_2 ∈ Q}
D = {(x_1 , x_2) ∈ B((1, 1/2), 1/2): x_1 > 1}
Määrää:
a) diam(A)
b) Int(A)
c) Ext(A)
d) joukon A sulkeuma
e) Bd(A)
Vanhasta topologian tentistä
Anonyymi
10
148
Vastaukset 10
- Anonyymi
Niin ja kyseessä siis metrinen avaruus R^2 ja euklidinen metriikka.
Mihin r viittaa A:n ja B:n määritelmissä? Jos tarkoitetaan r:n paikalle x_2, niin sittenhän B on puoliavoin pystysuora tikku 1:n kohdalla, C "harva pistesumu tikku" siinä kakkosen kohdalla ja D avoin puoliympyrä.
A sisältyy neliön [1, 2] x [0, 1] sisään (jos siis oletetaan "r=x_2"). Nurkka (1, 0) kuuluu A:han ja vaikka sen vastainen nurkka (2, 1) ei kuulukaan, niin sieltä C:stähän löytyy mielivaltaisen läheltä pisteitä, joten A:n halkaisijaksi saadaan tämän neliön halkaisija eli sqrt(2).
Mistään muusta ei sisäpisteitä tule kuin tuon puoliympyrän sisältä, eli se on sisus.
Sulkeuma: puoliympyrään reunat mukaan (B:hän on jo sen yksi reuna). Q-tikku täydennetään suljetuksi janaksi {2}x[0,1].- Anonyymi
Joo, x_2 siinä pitää olla. Edellinen tehtävä minkä tein käsitteli avoimia palloympäristöjä, liekö siitä jäänyt r päälle... Kiitos vastauksesta vaikka itse tehtävä olikin ilmoitettu hajamielisesti!
- Anonyymi
Ja vielä tämäkin: 0 ≤ r ≤ < 1
Pitää olla 0 ≤ r < 1
- Anonyymi
Taas kysytään apua vaikka kysyjä ei viitsi edes tehtävää kirjoittaa oikein. Mitä tarkoittaa B:n määritelmässä r <= < 1 ? Onko se r nyt pienempi kuin 1 vai <= 1?
Ja mihin r viittaa B:n jaC:n määritelmissä? Enpä ryhdy arvailemaan. - Anonyymi
Jatketaanpa tähän tehtävien miettimistä, tällä kertaa keskittyen oikeinkirjoitukseen. Eli
Olkoon A = {x ∈ Q: 0<x<2}. Määrää ilman todistuksia
a) halkaisija diam(A)
b) sisäosa Int(A)
metrisessä avaruudessa (M,d_1), missä d_1 on euklidinen metriikka, ja lisäksi
c) ulko-osa Ext(A)
d) A:n sulkeuma
metrisessä avaruudessa (M,d_2), missä d_2 on diskreetti metriikka.
Ensimmäisessä kohdassa oletan A:n olevan aiemmassa viestissä kuvattu "sumuinen" tikku avoimella välillä (0,2). Silloinhan sen alueen halkaisija on 2. Onko tällaisella joukolla sisäosaa ollenkaan? Vai, kun ollaan Q:ssa, niin onko Int(A) = (0,2)?
Vaikuttaako toisessa osassa mitenkään se, ettei rationaali- ja irrationaaliluvut ole tiheässä diskreetin metriikan tapauksessa R:ssä?a) Joo tämä on selvästi 2. (Valitse rationaalijonot, jotka konvergoivat päätepisteisiin.)
b) Ensin täytyy kertoa mikä joukko avaruus M on. Tosiaan, jos M=Q, niin silloin A:n pisteet ovat kaikki sisäpisteitä. Jos taas esim. M = R, niin missä tahansa pallossa on irrationaalilukuja, eikä se näin voi sisältyä A:han, joten A:ssa ei ole ollenkaan sisäpisteitä.
c) Diskreetissä metriikassa jokainen piste on avoin joukko itsessään, joten Ext(A) = A:n komplementti.
d) Jokainen joukko on diskreetissä metriikassa avoin (yhdiste pisteistään, jotka avoimia) ja näin ollen jokainen joukko on myös suljettu (sillä sen komplementti on avoin). Siispä myös A on suljettu ja siten sen sulkeuma on se itse.- Anonyymi
Terminologiaa:
Jos avaruudessa on diskreetti metriikka niin d(x,y) = 0 sjvs kun x=y ja muulloin d(x,y) = 1.
Kun tällaisen metriikan avulla muodostetaan topologia saadaan diskreetti topologia, jossa jokainen joukko on avoin.Jos siis x on jokin piste niin joukko (x), jonka ainut alkio on x, on siis myös avoin.
- Anonyymi
onkohan olemassa joukko-johon kuuluu vähintään 2 perusjoukkoa, eli noista 2 perusjoukosta on eri osajoukot, ja voisi olla esim. toisella niistä ei yhtään aitoa osajoukkoa, mutta toisella olisi pakosti tällöin vähintään 1 aito osajoukko. tämä voisi tehdä todeksi, jos halutaan, eli miksipäs ei perusjoukkoja voisi olla enemmän kuin 1, mutta uudenlaisessa teoriassa, siis uudenlaisen joukko-opin mukaisesti. tämä olisi tällöin joukko-oppi2, kun entisessä ja normaalissa siis olisi aina sama perusjoukon määritelmä. ja vain 1 perusjoukko
tätä joukko-oppia2 voisi perustellla siten, että otetaan entisen normaalin perusjoukon sisältö1, ja otetaan siihen integroiduksi toinen perusjoukko2, sisällöltään eri kuin perusjoukossa1
jos ottaa huomioon avoimet joukot - Anonyymi
kaikkialle sinne, missä voi esiintyä luku, niin se voi olla minkälainen funkio tahansa, (ainakin numero-funktio, en tiedä onko olemasa ei-lukufunktioita)
mentiin ei-lukufunktioihin, yksi sellainen voi olla funktio indeksioituneena luvulla, tai yksi on karteesisessa tulossa oleva ulottuuvuuksien määrääjä, onkohan olemassa muita,
ota huomioon minkälaiset funktiot tahansa, ja sitten rajaa niitä miten vaatii
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Mulla on ikävä sua
Pakko se on myöntää, mulla on ikävä sua 🥺💔.. En kyllä haluaisi sitä myöntää kun tämä tilanne on niin hankala. Oon yri531358- 84919
Koska tulet minulle näkyväksi
Koska astut piilostasi esiin? Miksi pysyttelet niin kaukana? Etkö voisi tulla päättämään tämän ikävöinnin? Saisin vihdoi44747Nainen, olet ihanin maan päällä
Ei ole toista. Olet ihanteellinen, kaikkien mittapuitteni täyttymys. Sisäinen kauneutesi sinetöi ulkoisen ja juuri se sa40730Poliis. Poliisi osoitti aseella Tampereella kun mies avasi oven
Poliisi Poliisi osoitti aseella Tampereella, kun mies avasi siviilipoliisiauton oven Mies kuvasi keskiviikkoiltana bus267668- 48553
" Hae roolisi miljardien Pyhäjärveltä"?
Perjantain 14.8. viesti TV:ssä oli hätkähdyttävän todellista kuultavaa. Tähän on tultu. Pyhäjärvi- selvitykseen, tied61516Mikä on mielestäsi keskustelupalstan tarkoitus?
Tuolla toisessa ketjussa kävi ilmi jotain minkä itse koen hieman hassuksi. Nykypäivänä yllättävän moni ilmeisesti kokee,177515- 43509
Nyt aletaan terveydenhuollossa karsimaan "turhista" operaatioista
Eräitä toimia ei enää tehdä, vaan yritetään korvata halvemmilla. Nykyään esimerkiksi polven tähystysleikkaukset lähes l110497