Kesäloman kunniaksi olen ajatellut harrastella vähän matematiikkaa, ja olen tehnyt vanhoja topologian alkeiskurssin tehtäviä. Tästä tehtävästä en kuitenkaa saa oikein kiinni. Tiedän, että noissa haetaan halkaisijaa, sisäpisteitä, ulkopisteitä, sulkeumaa ja reunapisteitä ja joukon D alkiot kuuluvat avoimeen palloon. Voisiko joku neuvoa millä tavalla näitä määrätään?
Olkoon A = B U C U D, missä
B = {(1 , x_2) ∈ R^2 : 0 ≤ r ≤ < 1}
C = {(2, x_2) ∈ R^2 : 0 < r < 1 , x_2 ∈ Q}
D = {(x_1 , x_2) ∈ B((1, 1/2), 1/2): x_1 > 1}
Määrää:
a) diam(A)
b) Int(A)
c) Ext(A)
d) joukon A sulkeuma
e) Bd(A)
Vanhasta topologian tentistä
Anonyymi
10
130
Vastaukset
- Anonyymi
Niin ja kyseessä siis metrinen avaruus R^2 ja euklidinen metriikka.
Mihin r viittaa A:n ja B:n määritelmissä? Jos tarkoitetaan r:n paikalle x_2, niin sittenhän B on puoliavoin pystysuora tikku 1:n kohdalla, C "harva pistesumu tikku" siinä kakkosen kohdalla ja D avoin puoliympyrä.
A sisältyy neliön [1, 2] x [0, 1] sisään (jos siis oletetaan "r=x_2"). Nurkka (1, 0) kuuluu A:han ja vaikka sen vastainen nurkka (2, 1) ei kuulukaan, niin sieltä C:stähän löytyy mielivaltaisen läheltä pisteitä, joten A:n halkaisijaksi saadaan tämän neliön halkaisija eli sqrt(2).
Mistään muusta ei sisäpisteitä tule kuin tuon puoliympyrän sisältä, eli se on sisus.
Sulkeuma: puoliympyrään reunat mukaan (B:hän on jo sen yksi reuna). Q-tikku täydennetään suljetuksi janaksi {2}x[0,1].- Anonyymi
Joo, x_2 siinä pitää olla. Edellinen tehtävä minkä tein käsitteli avoimia palloympäristöjä, liekö siitä jäänyt r päälle... Kiitos vastauksesta vaikka itse tehtävä olikin ilmoitettu hajamielisesti!
- Anonyymi
Ja vielä tämäkin: 0 ≤ r ≤ < 1
Pitää olla 0 ≤ r < 1
- Anonyymi
Taas kysytään apua vaikka kysyjä ei viitsi edes tehtävää kirjoittaa oikein. Mitä tarkoittaa B:n määritelmässä r <= < 1 ? Onko se r nyt pienempi kuin 1 vai <= 1?
Ja mihin r viittaa B:n jaC:n määritelmissä? Enpä ryhdy arvailemaan. - Anonyymi
Jatketaanpa tähän tehtävien miettimistä, tällä kertaa keskittyen oikeinkirjoitukseen. Eli
Olkoon A = {x ∈ Q: 0<x<2}. Määrää ilman todistuksia
a) halkaisija diam(A)
b) sisäosa Int(A)
metrisessä avaruudessa (M,d_1), missä d_1 on euklidinen metriikka, ja lisäksi
c) ulko-osa Ext(A)
d) A:n sulkeuma
metrisessä avaruudessa (M,d_2), missä d_2 on diskreetti metriikka.
Ensimmäisessä kohdassa oletan A:n olevan aiemmassa viestissä kuvattu "sumuinen" tikku avoimella välillä (0,2). Silloinhan sen alueen halkaisija on 2. Onko tällaisella joukolla sisäosaa ollenkaan? Vai, kun ollaan Q:ssa, niin onko Int(A) = (0,2)?
Vaikuttaako toisessa osassa mitenkään se, ettei rationaali- ja irrationaaliluvut ole tiheässä diskreetin metriikan tapauksessa R:ssä?a) Joo tämä on selvästi 2. (Valitse rationaalijonot, jotka konvergoivat päätepisteisiin.)
b) Ensin täytyy kertoa mikä joukko avaruus M on. Tosiaan, jos M=Q, niin silloin A:n pisteet ovat kaikki sisäpisteitä. Jos taas esim. M = R, niin missä tahansa pallossa on irrationaalilukuja, eikä se näin voi sisältyä A:han, joten A:ssa ei ole ollenkaan sisäpisteitä.
c) Diskreetissä metriikassa jokainen piste on avoin joukko itsessään, joten Ext(A) = A:n komplementti.
d) Jokainen joukko on diskreetissä metriikassa avoin (yhdiste pisteistään, jotka avoimia) ja näin ollen jokainen joukko on myös suljettu (sillä sen komplementti on avoin). Siispä myös A on suljettu ja siten sen sulkeuma on se itse.- Anonyymi
Terminologiaa:
Jos avaruudessa on diskreetti metriikka niin d(x,y) = 0 sjvs kun x=y ja muulloin d(x,y) = 1.
Kun tällaisen metriikan avulla muodostetaan topologia saadaan diskreetti topologia, jossa jokainen joukko on avoin.Jos siis x on jokin piste niin joukko (x), jonka ainut alkio on x, on siis myös avoin.
- Anonyymi
onkohan olemassa joukko-johon kuuluu vähintään 2 perusjoukkoa, eli noista 2 perusjoukosta on eri osajoukot, ja voisi olla esim. toisella niistä ei yhtään aitoa osajoukkoa, mutta toisella olisi pakosti tällöin vähintään 1 aito osajoukko. tämä voisi tehdä todeksi, jos halutaan, eli miksipäs ei perusjoukkoja voisi olla enemmän kuin 1, mutta uudenlaisessa teoriassa, siis uudenlaisen joukko-opin mukaisesti. tämä olisi tällöin joukko-oppi2, kun entisessä ja normaalissa siis olisi aina sama perusjoukon määritelmä. ja vain 1 perusjoukko
tätä joukko-oppia2 voisi perustellla siten, että otetaan entisen normaalin perusjoukon sisältö1, ja otetaan siihen integroiduksi toinen perusjoukko2, sisällöltään eri kuin perusjoukossa1
jos ottaa huomioon avoimet joukot - Anonyymi
kaikkialle sinne, missä voi esiintyä luku, niin se voi olla minkälainen funkio tahansa, (ainakin numero-funktio, en tiedä onko olemasa ei-lukufunktioita)
mentiin ei-lukufunktioihin, yksi sellainen voi olla funktio indeksioituneena luvulla, tai yksi on karteesisessa tulossa oleva ulottuuvuuksien määrääjä, onkohan olemassa muita,
ota huomioon minkälaiset funktiot tahansa, ja sitten rajaa niitä miten vaatii
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Vasemmistohallitus palauttaa hintasääntelyn, esim. bensalitra vain 1e.
Tuleva vasemmistolaisista koostuva hallitus ottaa käyttöön vanhat hyvät keinot pitää hinnat kurissa. Tähän tarkoitukse854640Vasemmistolainen valehteli jälleen - Purra tai persut eivät luvanneet "euron bensaa"
Väite "euron bensasta" on ensisijaisesti poliittisten vastustajien käyttämä puhdas vale. Persut kyllä kampanjoivat näky1093837Arman Alizadin viesti puna-aktivisteille: "Pitäkää lärvinne nytkin kiinni"
Arman Alizad kritisoi vasemmiston kaksinaismoralismia. Iranissa syntynyt suosikkijuontaja Arman Alizad pakeni perheensä1773646Minja Koskela nostanut vasemmistoliiton kannatuksen ennätykseen
Koskela valittiin puolueen johtoon lokakuussa 2024, ja silloin Ylen kysely antoi puolueelle 9,3 prosentin kannatuksen.672083Antti johtaa Petteriä jo 7,1 prosenttiyksiköllä
Tällä menolla sdp menee kokoomuksesta kierroksella ohi jo tällä vaalikaudella. https://yle.fi/a/74-20213575751941Mitä on tullut
Entisen abcn rakennuksen tilalle se oli tyhjillään monta vuotta siellä oli jo nyt valot onko huoltoasema? 5:30.781268- 1301152
Palosta selvinnyt 18 vuotias munira tarvitsi tulkin kun puhui Iltalehdelle
Suomessa asuva 18 vuotias tarvii tulkin !!! Tää Suomea puhumaton on palossa kuolleen naisen veli ja asui perheen kanssa.1471084- 49989
Mikä homma?
https://share.google/NvruSS4P4EzjTWPov Poliisilla oli keskiviikkona 4. maaliskuuta yksityisasunnossa Saarijärvellä tehtä30904