Vanhoissa pääsykokeissa tuli vastaan seuraava tehtävä:
"Neljä joukkuetta pelaa turnauksen siten, että kaikki joukkueet pelaavat
toisiaan vastaan kahdesti eli jokaiselle joukkueelle tulee näin ollen kuusi ottelua.
Ottelu voi päättyä kumman tahansa joukkueen voittoon tai tasapeliin. Jokaisen
ottelun voitosta voittaja saa 3 pistettä ja häviäjä 0 pistettä. Ottelun päättyessä
tasan molemmat joukkueet saavat 1 pisteen. Näistä neljästä joukkueesta kaksi
eniten pisteitä saanutta joukkuetta pääsee turnauksesta jatkoon. Jos kahdella tai
useammalla joukkueella on turnauksen jälkeen yhtä paljon pisteitä, keskinäinen
järjestys arvotaan."
Kysymys kuuluu: Mikä on minimi pistemäärä, jolla voi päästä jatkoon?
Kannattaako tästä lähteä muodostamaan yhtälöä, ja jos kannattaa, niin mikä on silloin tuntematon tekijä? Koitin luonnostella paperille erilaisia otteluiden tuloksia, mutta niitä on niin monta, että tuskin se on helpoin tapa ratkaista? Vinkkejä kaipailisin, jotta pääsisi alkuun..
"Neljä joukkuetta pelaa turnauksen siten, että kaikki joukkueet pelaavat
toisiaan vastaan kahdesti eli jokaiselle joukkueelle tulee näin ollen kuusi ottelua.
Ottelu voi päättyä kumman tahansa joukkueen voittoon tai tasapeliin. Jokaisen
ottelun voitosta voittaja saa 3 pistettä ja häviäjä 0 pistettä. Ottelun päättyessä
tasan molemmat joukkueet saavat 1 pisteen. Näistä neljästä joukkueesta kaksi
eniten pisteitä saanutta joukkuetta pääsee turnauksesta jatkoon. Jos kahdella tai
useammalla joukkueella on turnauksen jälkeen yhtä paljon pisteitä, keskinäinen
järjestys arvotaan."
Kysymys kuuluu: Mikä on minimi pistemäärä, jolla voi päästä jatkoon?
Kannattaako tästä lähteä muodostamaan yhtälöä, ja jos kannattaa, niin mikä on silloin tuntematon tekijä? Koitin luonnostella paperille erilaisia otteluiden tuloksia, mutta niitä on niin monta, että tuskin se on helpoin tapa ratkaista? Vinkkejä kaipailisin, jotta pääsisi alkuun..
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tuo on helppo päissään päätellä. Pienin jatkoonmenepistemäärä saadaan siten, että oletetaan yhden joukkueen olevan ylivoimaisen ja voittavan kaikki ottelunsa. Kolmen muun oletetaan pelaavan tasan keskinäiset ottelunsa. Silloin voi päästä jatkoon 4 pisteellä.
Entä jos kysyttäisiin, mikä on suurin pistemäärä, jolla voi pudota jatkosta. Silloin oletetaan yhden olevan heittopussi eli häviävän kaikki ottelunsa. Kolmen muun oletetaan pelaavan ristiin niin, että voittavat kaksi peliä ja häviävät kaksi. Silloin saadaan, että edes 12 pistettä ei riitä varmuudella jatkoon.
Joo, tuo 4 on minimi. Pitäisihän sitä kyllä jotenkin myös perustella.
Voittajan ottelut muita kohtaan voidaan unohtaa, ne ainoastaan voivat lisätä muiden pistemääriä (joten niiden täytyy siis olla optimissa kaikkien tämän kyseisen voittajan voittoja).
Nythän ongelmaa redusoituu jälkikolmikon voittajan pienimmäksi mahdolliseksi pistemääräksi.
Tästä nähdään sitten suoraan, että se on "kaikki tasapelejä" optimissa, sillä jos jolla kulla olisi voitto, niin ei sillä voi olla kuin korkeintaan se yksi ja sitten vielä maksimissaan yksi tasapeli (jotta ei mennä yli neljän pisteen). Siis sillä täytyy olla ainakin neljä häviötä (jälkikolmikon kuudessa keskenäisessä pelissä). Ja näin täytyy olla jokaiselle kolmelle joukkueelle. Mutta tämä on ristiriita, sillä yhteensä voittoja ja häviöitä täytyy olla yhtä paljon (voitto on aina toisen joukkueen häviö).
Tässä vielä brute-force laskenta, joka vielä näin 3^12:lle eri mahdollisuudelle onnistuu:
https://jsfiddle.net/xjy83qwp/
:D
Ihan mielenkiintoinen tehtävä!
Yleisiä ongelmanratkaisu keinoja:
- Mieti pienempää ongelmaa (tässä 3 joukueelle tai kahdelle, mikä onkin sitten jo triviaali).
- Keksi joku ratkaisu ja katso voiko sitä miten lähteä parantamaan.
- Symmetria
Aloittaja kysyi, voiko ratkaista yhtälöiden kautta. Luulen että se on vaikea tie, helpompaa on päättelemällä.
Edellä ja osoitettiin, että neljällä pisteellä voi päästä jatkoon. Pitää vielä osoittaa, että kolmella pisteellä ei voi päästä jatkoon.
Kolme pistettä voidaan saada kolmella eri tavalla:
* Voittamalla yhden ottelun ja häviämällä muut viisi. Silloin kaksi muuta joukkuetta saa ainakin 6 pistettä
* Pelaamalla yhden joukkueen kanssa tasan molemmissa otteluissa ja lisäksi tasan yhden muun joukkueen kanssa toisessa ottelussa. Silloin yksi joukkue saa ainakin 6 pistettä ja toinen ainakin 4 pistettä
* Pelaamalla muiden kolmen joukkueen kanssa tasan yhdessä ottelussa ja häviämällä toisen. Silloin nuo muut joukkueet saavat vähintään 4 pistettä.
Kolmella pisteellä ei siis voi päästä jatkoon.