Eli tämmöset tehtävät:
1. Matti kulkee metrolla ja bussilla kouluun. Metro tulee pysäkille 8 minuutin välein ja bussi lähtee 10 minuutin välein. Matti ei seuraa aikatauluja, vaan saapuu pysäkeille sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä
Matti joutuu odottamaan metroa yli 5 minuuttia
Sekä metro, että bussi lähtee alle 2 minuutin odottamisen jälkeen?
2. Neliön kärjet ovat pisteissä (-3,0), (3,0), (0,-3) ja (0,3). Valitaan satunnaiseti piste(x,y) neliön sisältä. Millä todennäköisyydellä pistee
y-koordinaatti on suurempi kuin 0,9
x-koordinaatti on pienempi kuin 1,2
sekä x- että y-koordinaatit ovat pienemmät kuin 0,5?
Miten nämä ratkaistaan?
1. Matti kulkee metrolla ja bussilla kouluun. Metro tulee pysäkille 8 minuutin välein ja bussi lähtee 10 minuutin välein. Matti ei seuraa aikatauluja, vaan saapuu pysäkeille sattumanvaraisesti. Millä todennäköisyydellä
Matti joutuu odottamaan metroa yli 5 minuuttia
Sekä metro, että bussi lähtee alle 2 minuutin odottamisen jälkeen?
2. Neliön kärjet ovat pisteissä (-3,0), (3,0), (0,-3) ja (0,3). Valitaan satunnaiseti piste(x,y) neliön sisältä. Millä todennäköisyydellä pistee
y-koordinaatti on suurempi kuin 0,9
x-koordinaatti on pienempi kuin 1,2
sekä x- että y-koordinaatit ovat pienemmät kuin 0,5?
Miten nämä ratkaistaan?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Metron tulo- ja bussin lähtöajat noudattavat tiettyä toistuvaa rytmiä, mutta sistä ei tunneta. Tiedetään vain, että näiden ajankohtien erotus on lyhimmillään 0:n ja 60:n sekunnin välillä. Ei myöskään tiedetä metron pysähdysaikaa.
Ensimmäinen : "Suotuista" aikaa todennäköisyyden kannalta ovat ensimmäiset kolme minuuttia siitä kun metro on juuri lähtenyt, eli 3 min. Todennäköisyys on silloin 3/8.
Vastaavasti toiseen tulee (2/8)*(2/10)=1/20.
Jälkimmäisessä tehtävässä pitää vaan piirtää kyseinen neliö koordinaatistoon ja laskea ensinnäkin sen pinta-ala.
Sitten erottaa siitä neliöstä kyseiset "suotuisat" pinta-alat, ja laskea sitten niiden pinta-alat.
Kysytyt todennäköisyydet ovat sitten aina kunkin "suotuisan " pinta-alan suhde koko neliön pinta-alaan.
Se laskeminen on kuitenkin hiukan hankalaa, joten en viitsi edes yrittää...
1. Olkoon se poika kuitenkin Pekka ja hänen tuloaikansa metropysäkille P. Metron tuloaika on M.
Muuttujapari (M,P) jakautuu tasaisesti neliössä ((0,8) x (0,8)).
Piirrä P-,M- koordinaatistoon suora M = P 5. Tämän yläpuolella oleva osa tuota neliötä on se tapahtuma, että M > P 5 eli metro tulee yli 5 min P:n jälkeen. Tämän osuus koko neliöstä on
(1/2 * 3*3) /(8*8) = 9/128.
Pekan ja bussin tulja kuvaava muuttuja (P,B) jakautuu tasaisesti neliössä ((0,10) x (0,10)) . Piirrä suora B - P = 2. Tämän suoran alapuolisen pinta-alan (neliön osan) suhde koko neliön pinta-alaan 10*10 on kysytty tn sille että B - P < 2 ,
Nyt on vielä laskettava P(M - P < 2). Se tapahtuu samoin kuin aiemminkin. Piirrä P,M- koordinaatistoon suora M = P 2. Tämän suoran alla oleva osa neliöstä 8*8 kertoo tn:n että M-P < 2.
Koska tapahtumat ovat riippumattomia on P(B - P < 2 & M - P < 2) = P(B-P < 2) * P(M-P < 2)
Toisessa tehtävässä piirrä tuo neliö. Sitten suora y = 0,9. Tämän yläpuolella oleva osa koko neliöstä on kysytty tn.
Sitten piirrät suoran x = 1,2. Tämän vasemmalla puolella oleva neliön osa mittaa k.o. tn:tä.
Sitten piirrät suorat x = 0,5 ja y=0,5. Yritäpä nyt jo järkeillä itse, mikä on kysytty tn.