Joissain todistuksissa sinin summakaava osoitetaan käyttämällä Eulerin identiteettiä. Eikö silloin kuitenkin tehdä kehäpäätelmä, sillä Eulerin lause tulee sinin ja kosinin Taylorin sarjoista? Taylorin sarjoissa tarvitaan sinin ja kosinin derivaattaa, jotka johdetaan erotusosamäärän raja-arvosta. Raja-arvon laskemisessa käytetään sinin ja kosinin summakaavoja.
sinin summakaavan todistus
Anonyymi
111213
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Sini voidaan määritellä eri tavoin ja summakaava todistaa eri tavoin.
Mutta nyt kiinnostaa nimenomaan tämä todistus, jossa käytetään Eulerin identiteettiä. Voisitko/voisiko joku esittää jonkin tavan todistaa sinin ja kosinin derivaatat käyttämättä summakaavaa?
Riippuu aivan siitä, mitä tarkoitat summakaavalla.
Sinin derivaatan todistuksessa tarvitaan tulosta
sin(x h)=sin(x)cos(h) cos(x)sin(h).
Vastaavasti kosinin derivaatta tulee helposti sinin ja yhdistetyn funktion derivaatasta, kun tiedetään yhteys
cos(x)=sin(pi/2-x), joka saadaan samasta summakaavasta sin(x y)=sin(x)cos(y) cos(x)sin(y).
Täällä on geometrinen todistus: https://math.stackexchange.com/questions/3307345/geometric-proof-for-the-derivative-of-sine
Tai todistus on linkitetty ja kysytään vielä perusteluja eräälle kohdalle.
Tulos cos(x)=sin(pi/2-x) nähdään suoraan yksikköympyrästä: kun kierretään pi/2 radiaania, niin sini ja kosini muuttuvat toisikseen.
"sini ja kosini muuttuvat toisikseen"
Siis miinus merkillä! Ja sinihän on pariton funktio eli sin(pi/2-x) = -sin(x-pi/2).
Summakaavathan saadaan johdettua vektoreilla yksikköympyrässä, eli piste-ja ristituloilla. Jos vetelee niitä, eikä vahingossakaan puhu mitään summakaavoista, vaikka ne summakaavoja ovatkin, niin siitä ne saa.
Yksikköympyään kannattaa x-kulma(r2) piirtää x-akselilta kello kahteen ja h-kulma(r1) x-akselilta kello viiteen.
Vektorit ovat silloin r1=cosh, -sinh ja r2= cosx, sinx
Tosta ristitulo r1xr2=sin(x h) ja pistetulo r1·r2 =cos(x h)
(on siinä kyllä sitten vielä hoksattavaa))
Kehäpäätelmien äiti on kun laskee sinx/x raja-arvon nollassa hospitalin menetelmällä.
Jos asia todistetaan aloittajan kertomalla tavalla jossain niin kyllähän siinä kehäpäätelmä on. Mutta saadaan se todistettua oikeinkin.
Ensin pitää todistaa kosinilaki: Kolmiossa olkoon sivut a ja b ja u niiden välinen kulma. On helppo todistaa Pythagoraan teoreeman avulla että kolmanteen sivuun c pätee:
c^2 = a^2 b^2 - 2 a b cos(u)..
Nyt piirretöön yksikköympyrä, keskipiste O(piirrä kuva, en saa tähän sitä syntymään.)Merkitään kehältä pisteet P ja Q siten että säteen OQ ja x-akselin välinen kulma on v ja säteen OP ja x-akselin välinen kulma on u, v > u. Pythagoras kertoo, että
l PQ l ^2 = (cos( v) - cos(u) )^2 (sin(v) - sin(u))^2 = 2 - 2 cos(v) cos(u) - 2 sin(v) sin(u)
Toisaalta kun kosinilausetta käytetään kolmioon OPQ saadaan
l PQ l^2 = 1^2 1^2 - 2 cos(v-u).
Näistä seuraa että cos(v-u) = cos(v) cos(u) sin(v) sin(u)
Tämä pätee kaikilla arvoilla v ja u. Kun korvataan u kulmalla - u ja otetaan huomioon että cos(- u) = cos(u) ja sin(- u) = - sin(u) saadaan
cos(u v) = cos(u) cos(v) - sin(u) sin(v)
Sijoitetaan v -> pii/2 - v saadaan tuosta 1. kaavasta
cos(pii/2 - v - u)) = cos(pii/2 - u) cos(v) sin(pii/2 -u) sin(v)
eli
sin(u v) = sin(u) cos(v) cos(u) sin(v)
Siinäpä ne yhteenlaskukaavat ilman kummempia venkuiluja.
https://themathpage.com/aTrig/sum-proof.htm
Voidaan todistaa myös alkeistrigonometrialla.
Onko noissa joissakin todistuksissa Eulerin identiteetti todellakin johdettu Taylorin sarjoilla ? Se voidaan johtaa muillakin tavoin.
Jos sitä ei ole johdettu Taylorin sarjoilla, niin kuin ei ilmeisesti ole, niin mitään kehäpäätelmää ei synny.