Tässä nyt on takuttu aiheen parissa jo jonkun aikaa.
Tarkoitus olisi muuttaa summamuotoinen kompleksiluku eksponenttimuotoon.
Esim: z = 5, menee vielä yksinkertaisesti muotoon 5e^pii i
Tässä tapauksessa hämmentää se, että miksi fii on pii? Käydään läpi seuraavassa esimerkissä.
Esim2: 2 = 5i > 5e^pii/2 i
Miksi tässä tapauksessa fii on pii jaettuna 2, kun edellisessä se oli pelkkä pii?
Esim3: 4,5-5,6i
Tässä tökkää nyt ihan totaalisesti kuinka tämä pitäisi paperilla vaihe vaihteelta muutta eksponenttimuotoon.
Olispa hienoo jos joku osaisi kertoa niin että meikäläinenkin ymmärtää. :)
Tarkoitus olisi muuttaa summamuotoinen kompleksiluku eksponenttimuotoon.
Esim: z = 5, menee vielä yksinkertaisesti muotoon 5e^pii i
Tässä tapauksessa hämmentää se, että miksi fii on pii? Käydään läpi seuraavassa esimerkissä.
Esim2: 2 = 5i > 5e^pii/2 i
Miksi tässä tapauksessa fii on pii jaettuna 2, kun edellisessä se oli pelkkä pii?
Esim3: 4,5-5,6i
Tässä tökkää nyt ihan totaalisesti kuinka tämä pitäisi paperilla vaihe vaihteelta muutta eksponenttimuotoon.
Olispa hienoo jos joku osaisi kertoa niin että meikäläinenkin ymmärtää. :)
Vastaukset 6
Vanhimmat
e ^ a * i on vektori, joka lähtee koordinaatiston origosta ja päätyy etäisyydelle 1 origosta. Se piirtää ympyrän origon ympärille, jonka säde on tasan 1. Tuo on toiselta nimeltää vektori. Sillä on siis alkupiste, loppupiste ja pituus.
Muuttuja a on tässä se tärkeä. Se kertoo mikä on kulma tuon vektorin ja x-akselin välillä (vastapäivään kierrettynä). Tuo kannattaa pirtää paperille. Vektori kiertää koordinaatiston keskipistettä kuin kellon osoitin, mutta vastapäivään.
Koordinaatistossa x-akseli kertoo realilukuosan kompleksiluvusta ja y-akseli kompleksiosan. Voit ottaa minkä tahansa kompleksiluvun ja piirtää sen paperille vektorina. Vektorit on tässä pakko ymmärtää mitä ne ovat ja miten niillä lasketaan.
Muuttuja a on kulma x-akseliin ja kiertää ympyrää loputtomiin origon ympäri. Sen mielekkäät arvot ovat välillä 0 ja 2*pii. Tarkalleen ottaen 2*pii on sama kuin nolla astetta, koska tässä pii on 180 astetta. Voit korvata milloin tahansa piin 180 asteella ja se on sama kulma. Tosin laskutoimituksissa pitää olla pii mukana.
Pii on 180 astetta, joten pii / 2 on 90 astetta ja pii/3 60 astetta. Tuo auttaa sinua, muuten sillä ei ole merkitystä.
Tuo esimerkki 5e^pii*i = -5. Miksi -5? Koska vektori on nollakulmassa x-akselin suuntainen ja pisteessä 1 realilukua, 0 imaginäärilukua eli 1 yksikkö x-akselia ja 0 yksikköä y-akselia. Kun pyöräytetään vektoria 180 astetta vastapäivään päädytään pisteeseen -1 x-akselia ja 0 y-akselia. e^pii*i on siis luku -1 0*i eli -1.
90 asteen eli pii/2 välein toistuu puhdas imaginääriluku ja puhdas realiluku. 0 astetta on luku 1, 90 astetta on luku j, 180 astetta on luku -1 ja 270 astetta on -j. Tuon pystyt testaamaan piirtämällä 1-säteisen ympyrän ja katsomalla mihin pisteisiin sen kehä osuu milläkin kulmalla.
4,6-5,6i:n tapauksessa sinulla on vektori, joka on x-akselilla 4,6 ja y-akselilla -5,6. Origon kanssa saat siitä suorakulmaisen kolmion aikaan ja laskettua paljonko sitä vektoria on käännetty x-akselista vastapäivään. Noin ihan hatusta vedettynä heittäisin, että kulma on jotain 300-310 asteen luokkaa.
Siitä saat itsellesi yksikkövektorin e^~300 astetta * i ( asteet pitää muuntaa radiaaneiksi eli niin että siellä on se pii mukana).
Sitten lasket tuon vektorin pituuden. Sanotaan vaikka että se on noin 7. Lopputulos on ~7 * e^~300 astetta * i. Luonnollisesti oikeilla luvuilla ja radiaaneilla höystettynä. Tätä en ala oikeasti laskemaan.
Eulerin formula: e^(it)=cost i*sint
c) 4.5-5.6i= r*(cost-sint*i)=r*(4.5/r-5.6/r*i)=r*e^(i*arcsin(-5.6/r))
(suuntaviisari kaakkoon)
pituus =r=sqrt(4.5^2 5.6^2), t=arcsin(-5.6/r)
b) 5i=5*(0 5i/5)=5(cos(pi/2) sin(pi/2))=5e^(i*pi/2)
a) 5=5(5/5 0i)=5(cos(0) isin(0))=e^(i*0)=5
korjattuna pikkuvirheet:
b) 5i=5*(0 5i/5)=5(cos(pi/2) i*sin(pi/2))=5e^(i*pi/2)
a) 5=5(5/5 0i)=5(cos(0) i*sin(0))=5e^(i*0)=5
Tuskin
näitä kukaan lukee/ymmärtää, mutta tuo c-rivi pitää korjata tällaiseksi, jotta sen ymmärtäisi:
c) 4.5-5.6i= r*(cost sint*i)=r*(4.5/r (-5.6/r*i))=r*e^(i*arcsin(-5.6/r))
Puhtaita kaavoja ilman selityksiä on vähän hankala seurata eikä niistä opi paljon mitään.
Tuossahan on ainoastaan muutettu vektori 4.5-5.6i napakoordinaattimuotoon. Ihan tavallista vektorijumppaa, eli pituus r eteen, ja molemmat komponentit jaetaan suluissa sillä pituudella r. Saatua tulosta sitten verrataan Eulerin formulaan ja yritetään päätellä sen vektorin suunnasta, että mikä se e^(it): n kulma t on.
Tässä se nyt noin -51 astetta, koska noin kaakkoon se menee, joka on tuolla jätetty muotoon arcsin(-5.6/r). Radiaaneissa toi sitten pitää tietty laskea.
(Tämä kohta c on mielestäni helpompi laskettava kuin a ja b.)