Tein tällaisen: https://www.desmos.com/calculator/u6cmneei6c
Tuota hennompaa hämähäkin verkkoa siirtelemällä (vedä vihreästä keskipisteestä) näkee miten sen alainen osa kuvautuu kuvauksessa f, jonka voi paneelissa kirjoittaa mieleisekseen. Nyt siihen jäi f(z) = z + 1/z.
Tuota hennompaa hämähäkin verkkoa siirtelemällä (vedä vihreästä keskipisteestä) näkee miten sen alainen osa kuvautuu kuvauksessa f, jonka voi paneelissa kirjoittaa mieleisekseen. Nyt siihen jäi f(z) = z + 1/z.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Selvitäpäs nyt sitten kansantajuisesti, että miksi sqrt(-i) :tä laskettaessa ei voi lähteä liikkeelle -i=e^(i*3pi/2), vaan on lähdettävä siitä, että -i=e^(i*(-pi/2)) ? (Minulla on se käsitys, että tuossa eka vaihtoehdossa sqrt(-i) hyppää edelliseen neljännekseen ja eumerkit vaihtuu)
Siitähän se johtuu, että neliöjuurella on kaksi haaraa. Kun sen määrittelee expin avulla niinkuin tuolla tein, niin se kumpi millekin luvulle tulee, johtuu siitä mitä argumentti-funktiota käyttää. Tuolla argumentti on väliltä (-pi, pi], joten
arg(-i) = -pi/2
ja tätä siis laskussa käytetään, joten päädytään
sqrt(-i) = e^(i*arg(-i)/2) = e^(-i*pi/4) = (1-i)/sqrt(2).
En tuosta paljon ymmärtänyt, varsinkin tuo väli (-pi, pi] on vähän mystinen, välin (-pi, 0] olisi ollut ymmärrettävämpi. Kuitenkin tuo -i kuuluu yhtä lailla välille (pi, 2pi], jolloin sqrt(-i) olisi
(i-1)/sqrt(2). Sitä ei kuitenkaan hyväksytä koska on jotain toista haaraa. Itse ymmärtäisin tämän asian helpostikin, jos joku vahvistaisi, että : Koska -i :n imaginääriosa sijaitsee yksikköympyrän reaaliakselin alapuolella, niin myös sen neliöjuuren imaginääriosan on sijaittava reaaliakselin alapuolella. Silloin sqrt(-i) olisi ainoastaan (1-i)/sqrt(2).
Väli (-π, π] on siis argumentti-funktion arvojoukko. Argumentti on koko kompleksitasossa (poislukien origo) määritelty funktio, joka antaa kompleksiluvusta sen vaihekulman. Tämähän ei ole yksikäsitteinen, vaan jos θ on z:n argumentti, niin niin on myös θ+2nπ kaikille kokonaisluvuille n.
Tässä versio, jossa voi säätää, mistä kohdin argumentti katkaistaan: https://www.desmos.com/calculator/zzr8rjgdkd Tuossa a:ta voi säätää ja argumentin arvot ovat sitten välillä (a, a+2π].
Sitten siihen neliöjuureen. Luvulla z on aina kaksi neliöjuurta, jotka ovat toistensa vastaluvut (huom. z=0:han ne ovat samat). Sen takia neliöjuurta ei voi yksikäsitteisenä funktiona määritellä vaan funktion arvoksi pitää valita näistä jompi kumpi. Kun neliöjuuren määrittelee kaavalla
sqrt(z) = √(|z|) * e^(i*arg(z)/2), (huom. √ on tavallinen epäneg. reaaliluvun nj.)
niin se kumman kaava antaa, riippuu arg-funktiosta. Toinen neliöjuuri on sitten tämän vastaluku.
Sqrt-funktionhan voisi muodostaa valitsemalla aina kumman tahansa neliöjuuren miten haluaa, mutta arg:n avulla määritellessä sen saa muodostettua niin, että sen on jatkuva (ja jopa holomorfinen) muualla paitsi sillä origosta lähtevällä säteellä, josta kohdin argumentti katkaistaan. Koko tasossa sitä ei saa jatkuvasti määriteltyä.
Tässä (säädettävän) argumentin avulla määritelty neliöjuuri: https://www.desmos.com/calculator/eptmb2wnbs
Jos haluttaisiin, että luvulle z, jolle Im(z)<0, on myös Im(sqrt(z))<0, voitaisiin määritellä näin: https://www.desmos.com/calculator/lyivfuotje Silloinhan se näköjään katkaistaan positiivisesta reaaliakselista.
Tuli tuohon viimeiseen pieni erhe. Tuokin tietysti on eräs neliöjuuri, mutta siinä pistettiin miinus merkki myös "turhaan". Olisiko näin: https://www.desmos.com/calculator/djglwlpoeh
Oho, huomasin muuten yhden "outouden": Kun tuolla Desmoksessa olen määritellyt i = (0, 1), niin jos kirjoittaa -i, niin sehän on (-0, -1) ja tälle arkustangentin (jonka avulla argumentti lasketaan) laskussa -0/-1 tulee +ääretön, kun taas kirjoitettassa -i = (0, -1) tulee -ääretön. Liekö tuo ollut se mikä aiheuttaa hämmennystä...
Ai niin, eikös tuo nyt määritelty neliöjuuri ole juurikin se, joka siellä aluksi oli, koska reaali-akselin alapuolisilla on negatiivinen argumentti, joten kun se jaetaan kahdella, säilytään negatiivisena. Ja vastaavasti yläpuolella positiivisena.
On näköjään sääntöjen vastaista arvostella ohjelmanikkarien esiintymistä matematiikka-palstalla. Ainakin sellainen viestini oli sensuroitu. Herkkähipiäistä porukkaa kaiken lisäksi nuo nörtit.
No, on näillä palstoilla paljon muutakin asiaankuulumatonta joten mitäpä rikka rokassa.
Voisiko kommentin poistaa: Ei liity matematiikkaan millään tavalla.
Ei liity tuo sinunkaan!
Tein vielä korjauksen argumentti-funktioon:
https://www.desmos.com/calculator/oyrqjqfdg1
Ennen se antoi eri tuloksen (-0, y):lle ja (0, y):lle :D
S e r i e m u i d i o o t t i o n h e r ä n n y t
Nyt uusi Desmos3D:llä toteuttu koko kuvauksen kuvaaja. Itseisarvo korkeutena ja argumentti värinä:
https://www.desmos.com/3d/naxhxe2owr
Piti tehdä tuo pinta noin pisteparvena kun en keksinyt miten saisi värin mukaan desmoksen funktion kuvaajaan.