Kompleksikuvauksien tutkimusalusta

Anonyymi-ap

Tein tällaisen: https://www.desmos.com/calculator/u6cmneei6c

Tuota hennompaa hämähäkin verkkoa siirtelemällä (vedä vihreästä keskipisteestä) näkee miten sen alainen osa kuvautuu kuvauksessa f, jonka voi paneelissa kirjoittaa mieleisekseen. Nyt siihen jäi f(z) = z + 1/z.

12

372

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Selvitäpäs nyt sitten kansantajuisesti, että miksi sqrt(-i) :tä laskettaessa ei voi lähteä liikkeelle -i=e^(i*3pi/2), vaan on lähdettävä siitä, että -i=e^(i*(-pi/2)) ? (Minulla on se käsitys, että tuossa eka vaihtoehdossa sqrt(-i) hyppää edelliseen neljännekseen ja eumerkit vaihtuu)

      • Anonyymi

        Siitähän se johtuu, että neliöjuurella on kaksi haaraa. Kun sen määrittelee expin avulla niinkuin tuolla tein, niin se kumpi millekin luvulle tulee, johtuu siitä mitä argumentti-funktiota käyttää. Tuolla argumentti on väliltä (-pi, pi], joten

        arg(-i) = -pi/2

        ja tätä siis laskussa käytetään, joten päädytään

        sqrt(-i) = e^(i*arg(-i)/2) = e^(-i*pi/4) = (1-i)/sqrt(2).

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Siitähän se johtuu, että neliöjuurella on kaksi haaraa. Kun sen määrittelee expin avulla niinkuin tuolla tein, niin se kumpi millekin luvulle tulee, johtuu siitä mitä argumentti-funktiota käyttää. Tuolla argumentti on väliltä (-pi, pi], joten

        arg(-i) = -pi/2

        ja tätä siis laskussa käytetään, joten päädytään

        sqrt(-i) = e^(i*arg(-i)/2) = e^(-i*pi/4) = (1-i)/sqrt(2).

        En tuosta paljon ymmärtänyt, varsinkin tuo väli (-pi, pi] on vähän mystinen, välin (-pi, 0] olisi ollut ymmärrettävämpi. Kuitenkin tuo -i kuuluu yhtä lailla välille (pi, 2pi], jolloin sqrt(-i) olisi
        (i-1)/sqrt(2). Sitä ei kuitenkaan hyväksytä koska on jotain toista haaraa. Itse ymmärtäisin tämän asian helpostikin, jos joku vahvistaisi, että : Koska -i :n imaginääriosa sijaitsee yksikköympyrän reaaliakselin alapuolella, niin myös sen neliöjuuren imaginääriosan on sijaittava reaaliakselin alapuolella. Silloin sqrt(-i) olisi ainoastaan (1-i)/sqrt(2).

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        En tuosta paljon ymmärtänyt, varsinkin tuo väli (-pi, pi] on vähän mystinen, välin (-pi, 0] olisi ollut ymmärrettävämpi. Kuitenkin tuo -i kuuluu yhtä lailla välille (pi, 2pi], jolloin sqrt(-i) olisi
        (i-1)/sqrt(2). Sitä ei kuitenkaan hyväksytä koska on jotain toista haaraa. Itse ymmärtäisin tämän asian helpostikin, jos joku vahvistaisi, että : Koska -i :n imaginääriosa sijaitsee yksikköympyrän reaaliakselin alapuolella, niin myös sen neliöjuuren imaginääriosan on sijaittava reaaliakselin alapuolella. Silloin sqrt(-i) olisi ainoastaan (1-i)/sqrt(2).

        Väli (-π, π] on siis argumentti-funktion arvojoukko. Argumentti on koko kompleksitasossa (poislukien origo) määritelty funktio, joka antaa kompleksiluvusta sen vaihekulman. Tämähän ei ole yksikäsitteinen, vaan jos θ on z:n argumentti, niin niin on myös θ+2nπ kaikille kokonaisluvuille n.

        Tässä versio, jossa voi säätää, mistä kohdin argumentti katkaistaan: https://www.desmos.com/calculator/zzr8rjgdkd Tuossa a:ta voi säätää ja argumentin arvot ovat sitten välillä (a, a+2π].

        Sitten siihen neliöjuureen. Luvulla z on aina kaksi neliöjuurta, jotka ovat toistensa vastaluvut (huom. z=0:han ne ovat samat). Sen takia neliöjuurta ei voi yksikäsitteisenä funktiona määritellä vaan funktion arvoksi pitää valita näistä jompi kumpi. Kun neliöjuuren määrittelee kaavalla

        sqrt(z) = √(|z|) * e^(i*arg(z)/2), (huom. √ on tavallinen epäneg. reaaliluvun nj.)

        niin se kumman kaava antaa, riippuu arg-funktiosta. Toinen neliöjuuri on sitten tämän vastaluku.

        Sqrt-funktionhan voisi muodostaa valitsemalla aina kumman tahansa neliöjuuren miten haluaa, mutta arg:n avulla määritellessä sen saa muodostettua niin, että sen on jatkuva (ja jopa holomorfinen) muualla paitsi sillä origosta lähtevällä säteellä, josta kohdin argumentti katkaistaan. Koko tasossa sitä ei saa jatkuvasti määriteltyä.

        Tässä (säädettävän) argumentin avulla määritelty neliöjuuri: https://www.desmos.com/calculator/eptmb2wnbs

        Jos haluttaisiin, että luvulle z, jolle Im(z)<0, on myös Im(sqrt(z))<0, voitaisiin määritellä näin: https://www.desmos.com/calculator/lyivfuotje Silloinhan se näköjään katkaistaan positiivisesta reaaliakselista.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Väli (-π, π] on siis argumentti-funktion arvojoukko. Argumentti on koko kompleksitasossa (poislukien origo) määritelty funktio, joka antaa kompleksiluvusta sen vaihekulman. Tämähän ei ole yksikäsitteinen, vaan jos θ on z:n argumentti, niin niin on myös θ 2nπ kaikille kokonaisluvuille n.

        Tässä versio, jossa voi säätää, mistä kohdin argumentti katkaistaan: https://www.desmos.com/calculator/zzr8rjgdkd Tuossa a:ta voi säätää ja argumentin arvot ovat sitten välillä (a, a 2π].

        Sitten siihen neliöjuureen. Luvulla z on aina kaksi neliöjuurta, jotka ovat toistensa vastaluvut (huom. z=0:han ne ovat samat). Sen takia neliöjuurta ei voi yksikäsitteisenä funktiona määritellä vaan funktion arvoksi pitää valita näistä jompi kumpi. Kun neliöjuuren määrittelee kaavalla

        sqrt(z) = √(|z|) * e^(i*arg(z)/2), (huom. √ on tavallinen epäneg. reaaliluvun nj.)

        niin se kumman kaava antaa, riippuu arg-funktiosta. Toinen neliöjuuri on sitten tämän vastaluku.

        Sqrt-funktionhan voisi muodostaa valitsemalla aina kumman tahansa neliöjuuren miten haluaa, mutta arg:n avulla määritellessä sen saa muodostettua niin, että sen on jatkuva (ja jopa holomorfinen) muualla paitsi sillä origosta lähtevällä säteellä, josta kohdin argumentti katkaistaan. Koko tasossa sitä ei saa jatkuvasti määriteltyä.

        Tässä (säädettävän) argumentin avulla määritelty neliöjuuri: https://www.desmos.com/calculator/eptmb2wnbs

        Jos haluttaisiin, että luvulle z, jolle Im(z)<0, on myös Im(sqrt(z))<0, voitaisiin määritellä näin: https://www.desmos.com/calculator/lyivfuotje Silloinhan se näköjään katkaistaan positiivisesta reaaliakselista.

        Tuli tuohon viimeiseen pieni erhe. Tuokin tietysti on eräs neliöjuuri, mutta siinä pistettiin miinus merkki myös "turhaan". Olisiko näin: https://www.desmos.com/calculator/djglwlpoeh
        Oho, huomasin muuten yhden "outouden": Kun tuolla Desmoksessa olen määritellyt i = (0, 1), niin jos kirjoittaa -i, niin sehän on (-0, -1) ja tälle arkustangentin (jonka avulla argumentti lasketaan) laskussa -0/-1 tulee +ääretön, kun taas kirjoitettassa -i = (0, -1) tulee -ääretön. Liekö tuo ollut se mikä aiheuttaa hämmennystä...

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuli tuohon viimeiseen pieni erhe. Tuokin tietysti on eräs neliöjuuri, mutta siinä pistettiin miinus merkki myös "turhaan". Olisiko näin: https://www.desmos.com/calculator/djglwlpoeh
        Oho, huomasin muuten yhden "outouden": Kun tuolla Desmoksessa olen määritellyt i = (0, 1), niin jos kirjoittaa -i, niin sehän on (-0, -1) ja tälle arkustangentin (jonka avulla argumentti lasketaan) laskussa -0/-1 tulee ääretön, kun taas kirjoitettassa -i = (0, -1) tulee -ääretön. Liekö tuo ollut se mikä aiheuttaa hämmennystä...

        Ai niin, eikös tuo nyt määritelty neliöjuuri ole juurikin se, joka siellä aluksi oli, koska reaali-akselin alapuolisilla on negatiivinen argumentti, joten kun se jaetaan kahdella, säilytään negatiivisena. Ja vastaavasti yläpuolella positiivisena.

    • Anonyymi

      On näköjään sääntöjen vastaista arvostella ohjelmanikkarien esiintymistä matematiikka-palstalla. Ainakin sellainen viestini oli sensuroitu. Herkkähipiäistä porukkaa kaiken lisäksi nuo nörtit.

      No, on näillä palstoilla paljon muutakin asiaankuulumatonta joten mitäpä rikka rokassa.

      • Anonyymi

        Voisiko kommentin poistaa: Ei liity matematiikkaan millään tavalla.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voisiko kommentin poistaa: Ei liity matematiikkaan millään tavalla.

        Ei liity tuo sinunkaan!

    • Anonyymi
      • Anonyymi

        S e r i e m u i d i o o t t i o n h e r ä n n y t

    • Anonyymi

      Nyt uusi Desmos3D:llä toteuttu koko kuvauksen kuvaaja. Itseisarvo korkeutena ja argumentti värinä:

      https://www.desmos.com/3d/naxhxe2owr

      Piti tehdä tuo pinta noin pisteparvena kun en keksinyt miten saisi värin mukaan desmoksen funktion kuvaajaan.

    Ketjusta on poistettu 4 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Monenko kanssa olet harrastanut seksiä

      tänä aikana kun olet kaivattuasi kaipaillut?
      Ikävä
      117
      2625

    2. Timo Soini tyrmää Tynkkysen selitykset Venäjän putinistileiristä

      "Soini toimi ulkoministerinä ja puolueen puheenjohtajana vuonna 2016, jolloin silloinen perussuomalaisten varapuheenjoht
      Maailman menoa
      255
      1148

    3. Melkein lähetin viestin.

      Onneksi tulin järkiini. Mukavaa kesää
      Ikävä
      86
      1094

    4. Taas kuoli kuortaneella

      Mitä tapahtui kuhinoilla kun auton alle jäi ja kuoli 66.
      Kuortane
      8
      1054

    5. Nainen voi rakastaa

      Ujoakin miestä, mutta jos miestä pelottaa näkeminenkin, niin aika vaikeaa on. Semmoista ei varmaan voi rakastaa. Miehelt
      Ikävä
      79
      1011

    6. Kalateltta fiasko

      Onko Tamperelaisyrittäjälle iskenyt ahneus vai mistä johtuu että tänä vuonna ruuat on surkeita aikaisempiin vuosiin verr
      Kuhmo
      12
      930

    7. Sulla on nainen muuten näkyvät viiksikarvat naamassa jotka pitää poistaa

      Kannattaa katsoa peilistä lasien kanssa, ettet saa ihmisiltä ikäviä kommentteja.
      Ikävä
      63
      923

    8. Rakastan sinua

      Olen tiennyt sen pitkään mutta nyt ymmärsin että se ei menekään ohi
      Ikävä
      30
      896

    9. IS Viikonloppu 20.-21.7.2024

      Tällä kertaa Toni Pitkälä esittelee piirrostaitojansa nuorten pimujen, musiikkibändien ja Raamatun Edenin kertomusten ku
      Sanaristikot
      41
      832

    10. Ikävöimäsi henkilön ikä

      Minkä ikäinen kaipauksen kohteenne on? Onko tämä vain plus 50 palsta vai kaivataanko kolme-neljäkymppisiä? Oma kohde mie
      Ikävä
      37
      799
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt