Kompleksikuvauksien tutkimusalusta

Anonyymi-ap

Tein tällaisen: https://www.desmos.com/calculator/u6cmneei6c

Tuota hennompaa hämähäkin verkkoa siirtelemällä (vedä vihreästä keskipisteestä) näkee miten sen alainen osa kuvautuu kuvauksessa f, jonka voi paneelissa kirjoittaa mieleisekseen. Nyt siihen jäi f(z) = z + 1/z.

12

291

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Selvitäpäs nyt sitten kansantajuisesti, että miksi sqrt(-i) :tä laskettaessa ei voi lähteä liikkeelle -i=e^(i*3pi/2), vaan on lähdettävä siitä, että -i=e^(i*(-pi/2)) ? (Minulla on se käsitys, että tuossa eka vaihtoehdossa sqrt(-i) hyppää edelliseen neljännekseen ja eumerkit vaihtuu)

      • Anonyymi

        Siitähän se johtuu, että neliöjuurella on kaksi haaraa. Kun sen määrittelee expin avulla niinkuin tuolla tein, niin se kumpi millekin luvulle tulee, johtuu siitä mitä argumentti-funktiota käyttää. Tuolla argumentti on väliltä (-pi, pi], joten

        arg(-i) = -pi/2

        ja tätä siis laskussa käytetään, joten päädytään

        sqrt(-i) = e^(i*arg(-i)/2) = e^(-i*pi/4) = (1-i)/sqrt(2).

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Siitähän se johtuu, että neliöjuurella on kaksi haaraa. Kun sen määrittelee expin avulla niinkuin tuolla tein, niin se kumpi millekin luvulle tulee, johtuu siitä mitä argumentti-funktiota käyttää. Tuolla argumentti on väliltä (-pi, pi], joten

        arg(-i) = -pi/2

        ja tätä siis laskussa käytetään, joten päädytään

        sqrt(-i) = e^(i*arg(-i)/2) = e^(-i*pi/4) = (1-i)/sqrt(2).

        En tuosta paljon ymmärtänyt, varsinkin tuo väli (-pi, pi] on vähän mystinen, välin (-pi, 0] olisi ollut ymmärrettävämpi. Kuitenkin tuo -i kuuluu yhtä lailla välille (pi, 2pi], jolloin sqrt(-i) olisi
        (i-1)/sqrt(2). Sitä ei kuitenkaan hyväksytä koska on jotain toista haaraa. Itse ymmärtäisin tämän asian helpostikin, jos joku vahvistaisi, että : Koska -i :n imaginääriosa sijaitsee yksikköympyrän reaaliakselin alapuolella, niin myös sen neliöjuuren imaginääriosan on sijaittava reaaliakselin alapuolella. Silloin sqrt(-i) olisi ainoastaan (1-i)/sqrt(2).

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        En tuosta paljon ymmärtänyt, varsinkin tuo väli (-pi, pi] on vähän mystinen, välin (-pi, 0] olisi ollut ymmärrettävämpi. Kuitenkin tuo -i kuuluu yhtä lailla välille (pi, 2pi], jolloin sqrt(-i) olisi
        (i-1)/sqrt(2). Sitä ei kuitenkaan hyväksytä koska on jotain toista haaraa. Itse ymmärtäisin tämän asian helpostikin, jos joku vahvistaisi, että : Koska -i :n imaginääriosa sijaitsee yksikköympyrän reaaliakselin alapuolella, niin myös sen neliöjuuren imaginääriosan on sijaittava reaaliakselin alapuolella. Silloin sqrt(-i) olisi ainoastaan (1-i)/sqrt(2).

        Väli (-π, π] on siis argumentti-funktion arvojoukko. Argumentti on koko kompleksitasossa (poislukien origo) määritelty funktio, joka antaa kompleksiluvusta sen vaihekulman. Tämähän ei ole yksikäsitteinen, vaan jos θ on z:n argumentti, niin niin on myös θ+2nπ kaikille kokonaisluvuille n.

        Tässä versio, jossa voi säätää, mistä kohdin argumentti katkaistaan: https://www.desmos.com/calculator/zzr8rjgdkd Tuossa a:ta voi säätää ja argumentin arvot ovat sitten välillä (a, a+2π].

        Sitten siihen neliöjuureen. Luvulla z on aina kaksi neliöjuurta, jotka ovat toistensa vastaluvut (huom. z=0:han ne ovat samat). Sen takia neliöjuurta ei voi yksikäsitteisenä funktiona määritellä vaan funktion arvoksi pitää valita näistä jompi kumpi. Kun neliöjuuren määrittelee kaavalla

        sqrt(z) = √(|z|) * e^(i*arg(z)/2), (huom. √ on tavallinen epäneg. reaaliluvun nj.)

        niin se kumman kaava antaa, riippuu arg-funktiosta. Toinen neliöjuuri on sitten tämän vastaluku.

        Sqrt-funktionhan voisi muodostaa valitsemalla aina kumman tahansa neliöjuuren miten haluaa, mutta arg:n avulla määritellessä sen saa muodostettua niin, että sen on jatkuva (ja jopa holomorfinen) muualla paitsi sillä origosta lähtevällä säteellä, josta kohdin argumentti katkaistaan. Koko tasossa sitä ei saa jatkuvasti määriteltyä.

        Tässä (säädettävän) argumentin avulla määritelty neliöjuuri: https://www.desmos.com/calculator/eptmb2wnbs

        Jos haluttaisiin, että luvulle z, jolle Im(z)<0, on myös Im(sqrt(z))<0, voitaisiin määritellä näin: https://www.desmos.com/calculator/lyivfuotje Silloinhan se näköjään katkaistaan positiivisesta reaaliakselista.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Väli (-π, π] on siis argumentti-funktion arvojoukko. Argumentti on koko kompleksitasossa (poislukien origo) määritelty funktio, joka antaa kompleksiluvusta sen vaihekulman. Tämähän ei ole yksikäsitteinen, vaan jos θ on z:n argumentti, niin niin on myös θ 2nπ kaikille kokonaisluvuille n.

        Tässä versio, jossa voi säätää, mistä kohdin argumentti katkaistaan: https://www.desmos.com/calculator/zzr8rjgdkd Tuossa a:ta voi säätää ja argumentin arvot ovat sitten välillä (a, a 2π].

        Sitten siihen neliöjuureen. Luvulla z on aina kaksi neliöjuurta, jotka ovat toistensa vastaluvut (huom. z=0:han ne ovat samat). Sen takia neliöjuurta ei voi yksikäsitteisenä funktiona määritellä vaan funktion arvoksi pitää valita näistä jompi kumpi. Kun neliöjuuren määrittelee kaavalla

        sqrt(z) = √(|z|) * e^(i*arg(z)/2), (huom. √ on tavallinen epäneg. reaaliluvun nj.)

        niin se kumman kaava antaa, riippuu arg-funktiosta. Toinen neliöjuuri on sitten tämän vastaluku.

        Sqrt-funktionhan voisi muodostaa valitsemalla aina kumman tahansa neliöjuuren miten haluaa, mutta arg:n avulla määritellessä sen saa muodostettua niin, että sen on jatkuva (ja jopa holomorfinen) muualla paitsi sillä origosta lähtevällä säteellä, josta kohdin argumentti katkaistaan. Koko tasossa sitä ei saa jatkuvasti määriteltyä.

        Tässä (säädettävän) argumentin avulla määritelty neliöjuuri: https://www.desmos.com/calculator/eptmb2wnbs

        Jos haluttaisiin, että luvulle z, jolle Im(z)<0, on myös Im(sqrt(z))<0, voitaisiin määritellä näin: https://www.desmos.com/calculator/lyivfuotje Silloinhan se näköjään katkaistaan positiivisesta reaaliakselista.

        Tuli tuohon viimeiseen pieni erhe. Tuokin tietysti on eräs neliöjuuri, mutta siinä pistettiin miinus merkki myös "turhaan". Olisiko näin: https://www.desmos.com/calculator/djglwlpoeh
        Oho, huomasin muuten yhden "outouden": Kun tuolla Desmoksessa olen määritellyt i = (0, 1), niin jos kirjoittaa -i, niin sehän on (-0, -1) ja tälle arkustangentin (jonka avulla argumentti lasketaan) laskussa -0/-1 tulee +ääretön, kun taas kirjoitettassa -i = (0, -1) tulee -ääretön. Liekö tuo ollut se mikä aiheuttaa hämmennystä...

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tuli tuohon viimeiseen pieni erhe. Tuokin tietysti on eräs neliöjuuri, mutta siinä pistettiin miinus merkki myös "turhaan". Olisiko näin: https://www.desmos.com/calculator/djglwlpoeh
        Oho, huomasin muuten yhden "outouden": Kun tuolla Desmoksessa olen määritellyt i = (0, 1), niin jos kirjoittaa -i, niin sehän on (-0, -1) ja tälle arkustangentin (jonka avulla argumentti lasketaan) laskussa -0/-1 tulee ääretön, kun taas kirjoitettassa -i = (0, -1) tulee -ääretön. Liekö tuo ollut se mikä aiheuttaa hämmennystä...

        Ai niin, eikös tuo nyt määritelty neliöjuuri ole juurikin se, joka siellä aluksi oli, koska reaali-akselin alapuolisilla on negatiivinen argumentti, joten kun se jaetaan kahdella, säilytään negatiivisena. Ja vastaavasti yläpuolella positiivisena.

    • Anonyymi

      On näköjään sääntöjen vastaista arvostella ohjelmanikkarien esiintymistä matematiikka-palstalla. Ainakin sellainen viestini oli sensuroitu. Herkkähipiäistä porukkaa kaiken lisäksi nuo nörtit.

      No, on näillä palstoilla paljon muutakin asiaankuulumatonta joten mitäpä rikka rokassa.

      • Anonyymi

        Voisiko kommentin poistaa: Ei liity matematiikkaan millään tavalla.

      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Voisiko kommentin poistaa: Ei liity matematiikkaan millään tavalla.

        Ei liity tuo sinunkaan!

    • Anonyymi
      • Anonyymi

        S e r i e m u i d i o o t t i o n h e r ä n n y t

    Ketjusta on poistettu 3 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Millä voin

      Hyvittää kaiken?
      Ikävä
      96
      2675

    2. Jotain puuttuu

      Kun en sinua näe. Et ehkä arvaisi, mutta olen arka kuin alaston koivu lehtiä vailla, talven jäljiltä, kun ajattelen sinu
      Ikävä
      103
      2252

    3. Haluan sut

      Haluatko sinä vielä mut?
      Ikävä
      91
      2010

    4. Ampuminen Iisalmessa

      Älytöntä on tämä maailman meno.
      Iisalmi
      13
      1729

    5. Hei A, osaatko

      sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en
      Ikävä
      44
      1691

    6. Haluaisin aidosti jo luovuttaa ja unohtaa

      Ei tästä mitään tule koskaan.
      Ikävä
      78
      1656

    7. Pohjola kadulla paukuteltu

      Iltasanomissa juttua.
      Iisalmi
      36
      1646

    8. Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.

      Onko kenellekään yllätys?
      Perussuomalaiset
      91
      1583

    9. Synnittömänä syntyminen

      Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.
      Helluntailaisuus
      128
      1447

    10. Mitä tämä tarkoittaa,

      että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?
      Ikävä
      41
      1284
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt