Tehtävä kuuluu näin:
"Kolikkoa heitetään 3 kertaa ja tulokset kirjataan ylös. Tämän jälkeen saatujen tulosten joukosta valitaan palauttamatta 2. Mikä on todennäköisyys että valitaan täsmälleen 2
kruunaa?"
Eli siis saadaan täsmälleen 2 kruunaa JOS:
Kaikki 3 kolikonheittoa ovat kruunia, jolloin mitkä tahansa 2 näiden joukosta valittua kolikkoa ovat kruunia TAI
3 kolikon joukosta saadaan 2 on kruunia JA kun näistä kolmesta valitaan palauttamatta 2, osuvat molemmat valinnat heitettyihin kruuniin.
Ilmeisesti ainakin binomijakauma mahdollisille kolmen heiton kombinaatioille(vai jonoille?) määritellään, mutta miten todennäköisyys lopulliseen kysymykseen lasketaan?
"Kolikkoa heitetään 3 kertaa ja tulokset kirjataan ylös. Tämän jälkeen saatujen tulosten joukosta valitaan palauttamatta 2. Mikä on todennäköisyys että valitaan täsmälleen 2
kruunaa?"
Eli siis saadaan täsmälleen 2 kruunaa JOS:
Kaikki 3 kolikonheittoa ovat kruunia, jolloin mitkä tahansa 2 näiden joukosta valittua kolikkoa ovat kruunia TAI
3 kolikon joukosta saadaan 2 on kruunia JA kun näistä kolmesta valitaan palauttamatta 2, osuvat molemmat valinnat heitettyihin kruuniin.
Ilmeisesti ainakin binomijakauma mahdollisille kolmen heiton kombinaatioille(vai jonoille?) määritellään, mutta miten todennäköisyys lopulliseen kysymykseen lasketaan?
Vastaukset 5
Vanhimmat
tajusin :)
Olkoon p kruunan todennäköisyys. Kuten kirjoititkin keskimmäisessä kappaleessa, niin todennäköisyyden voi laskea ehdollistamalla sillä kuinka monta kruunaa saadaan. Merkitään
X = "saatujen kruunojen määrä"
ja tapahtuma
A = {valitaan täsmälleen 2 kruunaa}.
Lasku menee näin:
P(A)
= P(X=3)*P(A | X=3) + P(X=2)*P(A|X=2) + (loput on nollia)
=(3C3)*p^3 * 1 + (3C2)*p^2*(1-p) * 1/3
= p^2
Huomaa tulos p^2 joka olisi voitu myös päätellä siitä, että se miten nämä kaksi satunnaista kolikonheittotulosta saatiin (valittiin satunnaisesti kolmesta jo heitetystä) on aivan sama vaikka olisi vain heitetty kaksi kolikkoa ja käytetty niitä.
Myös nähtävissä näin: Kruunujen määrä on kahden riippumattoman Bernouilli muuttujan summa, joten binomijakautunut. Riippumattomuus on melko selvä sillä eihän ensimmäiseksi valittu vaikuta toiseen mitenkään. Samahan se olisi vaikka ensin valita kolikot ja heittää ne uudestaan.
Usein kannattaa laskea ihan vaan suoraan kaikista vaihtoehdoista. Tuloshan pitää joka tapauksessa jotenkin tarkistaa, joten säästyy aikaa eikä tule kaavavirheitä.
Kahdeksan vaihtoehtoa. Jokaisen tn on 1/8:
000
001
010
011
100
101
110
111
Noista 4 on mahdottomia. Lopuille voi laskea jokaiselle erikseen todennäköisyyden ja summata tulokset. Kolmelle (011, 101, 110) tulee tietysti sama tn, joten niistä riittää laskea vain ensimmäinen tapaus.
Tn saada kahdella valinnalla 011:sta kaksi 1:stä on 2/3x1/2 = 1/3.
Summaamalla kaikkien tapausten tn:t saadaan
3x1/8x1/3 + 1/8 = 2/8 = 1/4