Kymmentä (tavallista 6-tahkoista) noppaa heitetään. Mikä on todennäköisyys, että mitkään viisi eivät summaudu 23:een?
Testaa: https://www.desmos.com/calculator/manxm6bkny
Histogrammina tuossa kaikki mahdolliset viiden nopan summat (jos palkki on tyhjä, niin mitkään eivät summaudu siihen arvoon). Oli muuten temppuilu saada tuo Desmoksessa tehtyä :D.
Testaa: https://www.desmos.com/calculator/manxm6bkny
Histogrammina tuossa kaikki mahdolliset viiden nopan summat (jos palkki on tyhjä, niin mitkään eivät summaudu siihen arvoon). Oli muuten temppuilu saada tuo Desmoksessa tehtyä :D.
Vastaukset 32
Vanhimmat
tn = 0,286612667552
(17330372 tapausta 6^10:stä)
Oikein!
Entäpä vähän suurempi tapaus: 20 nopasta 10?
Laskin tn:t vain 12 asti.
12: 321888162
tn = 0.147873380207
Pienenee hitaasti.
Viiden nopan summalukema 23 voidaan saada 11 eri tavalla.
Jos noppien numerot 1...6 vaihdetaan alkuluvuiksi (2, 3, 5, 7, 11, 13), niin summaa 23 vastaavat viiden nopan alkulukujen tulot ovat:
[30758, 40898, 32955, 39039, 51909, 46475, 41405, 55055, 73205, 49049, 65219]
Jos kaikkien heitettyjen noppien alkulukujen tulo on jaollinen jollakin listan luvulla, niin heitetyistä nopista voidaan saada viiden valinnalla summalukema 23. Ei tarvitse käydä läpi valtavaa määrää permutaatioita.
Laskin ihan kokeilumielessä pypyllä 15 nopan tapauksen:
15: 24198404647, tn = 0.051465711243
Onko oikein? Aikaa kului 13 min.
On oikein.
Itselläni on seuraavanlainen keino: Kuvataan n:n nopan heitto vektorina
c = (c1, c2, c3, c4, c5, c6),
missä cj = kuinka monta j:tä tuli. Nämähän ovat n:n kompositioita (mutta myös 0 sallitaan) kuuteen osaan. Se kuinka monella tavalla c voi heittona tulla on sen multinomikerroin n! / (c1! * c2! * ... * c6!).
Käydään läpi kaikki mahdolliset c-vektorit ja hylätään sellaiset, joissa on "ali-kompositiona" b-vektori (eli cj >= bj kaikilla j) millekään m:n kompositiolle b, jolle summa (j*bj) = 23.
Koodi: https://www.online-python.com/TR3cusx2Fe
Tuota voisi vielä parantaa siten, että generoidaan vain hyvät kompositiot, eli jos paha b-vektori olisi tulossa ali-kompositioksi, niin generointi keskeytetään.
Tälle m=5, w=23 tapauksellehan pahikset on
(0, 0, 0, 2, 3, 0), (0, 0, 0, 3, 1, 1), (0, 0, 1, 0, 4, 0), (0, 0, 1, 1, 2, 1), (0, 0, 1, 2, 0, 2), (0, 0, 2, 0, 1, 2), (0, 1, 0, 0, 3, 1), (0, 1, 0, 1, 1, 2), (0, 1, 1, 0, 0, 3), (1, 0, 0, 0, 2, 2), (1, 0, 0, 1, 0, 3)
Jotta luvut pysyisivät pieninä, kannattaa 23 tapauksessa antaa nopan lukemille 1...6 alkuluvut 13, 11, 7, 5, 3, 2.
Laskin 10 nopan kaikki oikeat vaihtoehdot (alkulukujen tulot) ja lajittelin ne ja summasin samat yhteen ja lisäsin jokaiselle oman painokertoimen. Sitten supistin luvuista laskennan kannalta liian suuret kerrannaiset. Lajittelin uudestaan ja summasin samojen lukujen painokertoimet yhteen.
Vain 326 tehtävän kannalta erilaista vaihtoehtoa seuraaville nopanheitoille. Vaihtoehtojen määrä ei kasva, vaikka noppia heittäisi ikuisesti. Painokertoimet tietysti kasvavat koko ajan uusilla lajittelu ja karsintakierroksilla.
Kuusi suurinta vaihtoehtoa 326:sta ovat 1051050, 1126125, 1576575, 1751750, 2627625 ja 7882875. Niiden jaollisuus summalukemaa 23 vastaavilla 11 eri tavalla on nopea käydä läpi ja muodostaa uusi vaihtoehtolista. Jos nopan alkuluku ei esiinny jossakin 11 tapauksessa, ei sitä tarvitse kokeilla. Helppo taulukoida. Esim. nopan lukemaa 1 varten riittää tarkistaa vain kaksi tapausta 11:sta. Lukemalle 2 riittää 3 tapasta.
Laskeeko ohjelma oikein?
20: 1516 872 326 30778626194110, tn = 0.0084182966079530 1516 872 326
...
30: 51353764104776329962, tn = 0.000232292276582
...
100: 579100298140321213805638335322468591089469983604319068381738550, tn = 8.86397964653e-16
Aikaa kuluu sadan tapauksen laskentaan alkukarsintoineen ja tulostuksineen alle 3 sekunttia. Ei mitään rinnakkaisuutta. Vain yksi ydin. Myös 1000 tapausta menee alle 3 s, vaikka luvut kasvavat usean rivin mittaisiksi ja tulostusta on kymmeniä metrejä 32" näytöllä.
Ohjelma toimii myös suoraan ilman, että laskisi ensin esim. 10 nopan tapauksen hitaalla ohjelmapätkällä.
Lähtölistaksi riittää laittaa 0 nopan tilanne [[1,1]]. Seuraavat generoituvat nopeasti suoraan siitä.
1: [[2, 1], [3, 1], [5, 1], [7, 1], [11, 1], [13, 1]]
2: [[4, 1], [6, 2], [9, 1], [10, 2], [11, 1], [13, 1], [14, 2], [15, 2], [21, 2], [22, 2], [25, 1], [26, 2], [33, 2], [35, 2], [39, 2], [49, 1], [55, 2], [65, 2], [77, 2], [91, 2], [143, 2]]
...
10 nopan heiton jälkeen muodostuva listat ovat aina samanpituisia kuin edelliselläkin kerralla ja alilistan ensimmäinen termi on aina sama kuin edelliselläkin kerralla. Kaikki lajittelut, karsinnat, summakset ja supistukset yms toimivat aina identtisesti. Painokertointen summakselle voi kehittää yksinkertaiset kiinteät kaavat.
Isoilla noppamäärillä oikeiden tulosten määrä näyttäisi aina nelinkertaistuvan noppien määrän lisääntyessä yhdellä.
Jos noppia on 99994 kpl, kerroin on 4,000080.
Jos noppia on 199994 kpl, kerroin on 4,000040
Meneekö koskaan alle neljän?
10 nopan jälkeen loput tapaukset voi ratkaista pelkillä edellisen kierroksen painokertointen mekaanisella summauksella. Ei tarvita enää mitään ehtolausekkeita, kertomista eikä jakamista.
Summalausekkeita on 326 ja niissä on jokaisessa 1...9 summattavaa. Laskentaan tarvitaan vain kaksi 326 pituista yksitasoista taulukkoa ja yksi taulukoiden ideksejä sisältävä vakiolista, joka kertoo mitkä edellisen taulukon luvut summataan uuden taulukon eri kohtiin.
Indeksitaulukko saadaan muodostettua automaattisesti 10 nopan tapauksen laskennan yhteydessä. Kopioidaan vain mitä ohjelmassa tapahtuu.
Joo, oikein menee tulokset.
Tuo nelosella kertoutuminen nähdään IE-kaavasta. Siellä esiintyy johtavana terminä (4/6)^n (eli tapausten määrässä 4^n). Tuon johtavan terminhän muuten näkee aina siitä, että mikä on maksimi määrä jotain tiettyä numeroa, mikä missään (w=23:n) summauksessa esiintyy, niinkuin tässä nyt oli
23 = 1*3 + 4*5
Tuossa tuo nelonen tekee sen.
IE-kaava: https://www.desmos.com/calculator/wj5aowx80w
Johtavan kerroin on tuossa 1. Menisiköhän se sitten niin, että jos 4 olisi esiintynyt muuallakin kuin 23 = 1*3 + 4*5:ssa niin kerroin olisi se kuinka monessa se on.
Hups, johtava termi on siis
(4/6)^n * (1/32*n(n-1) + 1/2*n + 1)
https://www.desmos.com/calculator/vbljv8nz9q
Ja tuohon testiin jäi nyt se itse p4, Pentele!
https://www.desmos.com/calculator/we4hyy2c1e
Ei kun ei se 4 tuosta tulekaan, ajattelin väärin. Tuohan olisikin mielenkiintoinen uusi tutkimuskohde että kuinka johtava termi (joka tässä oli siis 1/32*n(n-1)*(4/6)^n ) saataisiin suoraan pääteltyä laskematta koko kaavaa. Tai edes se että mikä k on suurin, jolle (k/6)^n esiintyy. Eli juuri se luku, jota suhde p(n+1)/p(n) lähenee, koska tuo etukertoimien suhdehan menee aina ykköseen.
Vaikkei tapausta 23 = 1*3 + 4*5 huomioisi lainkaan, ei sillä ole kertoimeen juuri mitään vaikutusta.
Kertoimien arvot eri noppien määrillä:
1000: 4,0079524
10000: 4,0007995
100000: 4,0000799
(500000: 4,000015)
Miksi kertoimen desimaaliosa pienenee (aina?) kymmenesosaan, jos noppien määrä kymmenkertaistuu?
Jatkossa luvut kasvavat paljon yli 100000 numeroisiksi tiedostoiksi, joten en viitsi lämmittää asuntoa ihan turhaan. En keksi mitään varmasti toimivaa lukujen jatkuvaa supistusta.
Tuo desimaaliosan käyttäytyminen johtuu asymptoottisen kaavan toisesta termistä. Jos merkitään p(n):llä n:n nopan todennäköisyyttä, niin kyseinen kerroin on 6*p(n+1)/p(n) ja p:n kaavasta saadaan että tämä on asymptoottisesti
4*(1 + 2/n)
(eli raja-arvo on 4 ja jos 4 vähennettään ja kerrotaan n:llä, niin sen raja-arvo on 8).
Desimaaliosa on juurikin tämä miinus 4 eli ~8/n, joka sitten kertoontuu 1/10:llä kun n kerrotaan 10:llä. Siinähän näkyy hyvin se kasikin noissa esimerkeissä jo.
Seuraavat termit ovat (nämä tulee siis (n^2+17n+48)/(n^2+15n+32):n sarjasta n=äärettömässä)
4*(1 + 2/n - 14/n^2 + 146/n^3 - 1742/n^4 + ...)
Kerroin 4 tulee kahden (1751750 ja 7882875) maksimaalisen kokonsa saavuttaneen alkutilan vaikutuksesta. Ne perivät joka kierroksella valtavan määrän niihin sulautuvien pienempien alkutilojen painokertoimia.
Näiden molempien painokerroin kasvaa joka kierroksella yksinäänkin (ilman pienempien alkutilojen sulautumista niihin) tasan 4-kertaisesti. Molemmissa tapauksissa nopan lukemat 1, 2, 3 ja 4 ovat aina ok.
Noppien lukemia 1...6 vastaavat alkuluvut ovat (13, 11, 7, 5, 3, 2).
1751750 = 2*5*5*5*7*7*11*13: Noppalukemat (6, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 1).
7882875 = 3*3*5*5*5*7*7*11*13: Noppalukemat (5, 5, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 1).
Tuo selvisi ihan sattumalta tulostaessani kaikkien 326 alkutilan painokertoimien arvot 600 nopan heiton jälkeen koko ison näytön leveydeltä hiukan pienennetyllä fontila. Isoimmat luvut olivat jo n. 3 tuumaa muita pitempiä. Noin 60 numeroa enemmän kuin muissa! Merkittävää eroa ei ihan helposti huomaa alle 100 nopan heitoissa, koska suuri osa muistakin 326:sta luvusta on isoja ja niitä on paljon. Ja tuhansien noppien heitoissa isot luvut jakautuvat useille riveille.
Koitin parannella algoritmia. Tuo edellinenhän on n^5 -algoritmi, sillä kompositioita on (n+5, n) ~ n^5/5! verran.
Idea: Kompositioiden generoinnissa pidetään mukana listoja niistä summista jotka k:lla nopalla saadaan (k=0,1,2,..,m) ja katkaistaan generointi jos w=23 ilmestyy m:n listaan.
Tällainen koodi: https://www.online-python.com/aVcWBf172J
Tuon pitäisi kaiken järjen mukaan olla pienempi n^jotain -algoritmi, mutta kerroin tulee suuremmaksi, joten pienillä n hitaampi. Tämähän olisikin hauska lisätehtävä, että kuinka monta epäneg. kompositiota kuuteen osaan on, jotka on hyviä (eli eivät "sisällä" mitään noista pahoista b:istä).
Jos nyt rajoitutaan tapaukseen m=5, w=23, niin käsipelissä voi tehdä tämmöisen version, joka sitten on aidosti nopeampikin:
https://www.online-python.com/dVWS6kfTMx
...
No, lopulta inkluusio-eksluusiolla sain tämän kaavan:
https://www.desmos.com/calculator/q9nnrsb0gh
Merkitään ensin tapahtumia: A = "tasan yhden nopan silmäluku summautuu 23:een" B = "tasan kahden nopan silmäluvut summautuvat 23:een" C = "tasan kolmen nopan silmäluvut summautuvat 23:een" D = "tasan neljän nopan silmäluvut summautuvat 23:een" E = "tasan viiden nopan silmäluvut summautuvat 23:een" F = "yksikään nopan silmäluku ei summaudu 23:een"
Halutaan löytää todennäköisyys tapahtumalle F eli sille, että mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een. Tämä voidaan ilmaista seuraavasti: P(F) = 1 - P(A) - P(B) - P(C) - P(D) - P(E)
Lasketaan nyt P(A), P(B), P(C), P(D) ja P(E). Voimme laskea nämä todennäköisyydet valitun silmälukujen summan 23 perusteella:
P(A) = (1/6)^1 * (5/6)^9 * 10C1 = 9.69 % P(B) = (1/6)^2 * (5/6)^8 * 10C2 = 5.04 % P(C) = (1/6)^3 * (5/6)^7 * 10C3 = 0.98 % P(D) = (1/6)^4 * (5/6)^6 * 10C4 = 0.08 % P(E) = (1/6)^5 * (5/6)^5 * 10C5 = 0.0007 %
Sijoitetaan nämä arvot kaavaan: P(F) = 1 - 0.0969 - 0.0504 - 0.0098 - 0.0008 - 0.000007 ≈ 89.84 %
Siis todennäköisyys sille, että mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een, on noin 89.84 %.
Tämähän on ihan täyttä sekoilua! Ei poäätä eikä häntää koko "laskelmassa".
Tämän tehtävän ratkaisemiseksi lasketaan ensin kaikki mahdolliset tapaukset, eli 6^10. Tämän jälkeen lasketaan kuinka monella tavalla viisi noppaa eivät summaudu 23:een. Tämä tapahtuu laskemalla eri tapaukset joissa noppien summa on 23.
Viiden nopan summa voi olla 23 seuraavasti:
6 + 6 + 6 + 5 = 23
6 + 6 + 5 + 6 = 23
6 + 5 + 6 + 6 = 23
5 + 6 + 6 + 6 = 23
6 + 6 + 6 + 4 + 1 = 23
6 + 6 + 6 + 3 + 2 = 23
6 + 6 + 4 + 6 + 1 = 23
6 + 6 + 4 + 5 + 2 = 23
6 + 6 + 3 + 6 + 2 = 23
6 + 5 + 6 + 4 + 2 = 23
5 + 6 + 6 + 4 + 2 = 23
Näitä tapauksia on yhteensä 11 kappaletta.
Lasketaan siis lopullinen todennäköisyys:
P = (Kaikki tapaukset - Jotka summautuvat 23:een) / Kaikki tapaukset P = (6^10 - 11) / 6^10
Alla Python-koodi laskemaan todennäköisyys:
total_cases = 6**10
cases_summing_to_23 = 11
probability = (total_cases - cases_summing_to_23) / total_cases
print("Todennäköisyys:", probability)
Eihän sinulla neljässä ensimmäisessä ole kuin 4 noppaa!
Todennäköisyyden laskemiseksi on helpompi tarkastella tilannetta päinvastoin eli mitkä viiden nopan yhdistelmät summautuvat 23:een.
Kymmenellä nopalla on yhteensä 6^10 erilaista tapaa heittää nopat. Tarkastelemalla eri kombinaatioita, havaitsemme että ainoa tapa saada viiden nopan summa yhtäsuuri kuin 23 on, jos yhdellä nopalla on luku 5 ja muilla neljällä nopalla on luku 6. Tämä tapahtuu 10 eri tavalla, kun valitaan mikä nopista näyttää viitosta.
Todennäköisyys, että viiden nopan summa on 23, on siis 10/6^10. Todennäköisyys sille, että mitkään viisi eivät summaudu 23:een, on 1 - 10/6^10.
Laskemalla tämän lausekkeen arvon saadaan todennäköisyys, että mitkään viisi nopista eivät summaudu 23:een.
Mitä sinä oikein höpötät? Puuta heinää!
4*6+5=29
Oletetaan, että X on satunnaismuuttuja, joka kuvaa noppaheittojen summaa. Haluamme laskea todennäköisyyden, että X ei ole 23.
Yhteensä erilaisia tapoja saada summa 23:een kymmenellä nopalla on C(9, 10), eli 1 tapa.
Yhteensä erilaisia tapoja heittää kymmenen noppaa on 6^10.
Todennäköisyys, että viidellä nopalla ei tule summaa 23, on siis:
1 - C(9, 10) / 6^10
1 - 1 / 6^10
1 - 1 / 60466176
1 - 0.00000001652
≈ 0.99999998348
Todennäköisyys, että viisi noppaa eivät summaudu 23:een, on noin 0.99999998348 eli noin 99,999998348 %.
Tämä on hieman monimutkaisempi tehtävä, joten jaetaan se osiin.
Jotta mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een, lasketaan ensin kuinka monta tapaa summat voidaan saada 23:een 10 nopalla.
Aloitetaan laskemalla kaikki tavat, joilla voidaan saada summa 23:
– Käytetään 1 noppaa: 23
– Käytetään 2 noppaa: 11, 12
– Käytetään 3 noppaa: 6, 7, 8
– Käytetään 4 noppaa: 1, 2, 3, 4, 5, 6
– Käytetään 5 noppaa: 1, 2, 3, 4, 5
Yhteensä 1 + 2 + 3 + 6 + 5 = 17 erilaista tapaa saada summa 23 käyttämällä 10 noppaa.
Nyt lasketaan kaikki mahdolliset tapaukset, joissa mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een. Tämä voidaan laskea seuraavasti:
– Ensimmäiset viisi noppaa voivat olla mitä tahansa paitsi 1, 2, 3, 4 tai 5 tapaa, joilla saadaan summa 23: 17
– Loput viisi noppaa eivät saa summautua 23:een, joten niiden täytyy olla jotain muuta kuin 23.
– Jäljelle jää 6, 7, 8, 11, 12 ja 23 tapaa, joilla ne eivät ole 17
Yhteensä tapoja saada 10 noppaa, joista mikään viidestä ei summaudu 23:een, on siis 17 * 6 = 102.
Todennäköisyys, että mitkään viisi noppaa eivät summaudu 23:een, on laskettavissa jakamalla kaikkien mahdollisten tapausten määrä, joka on 6^10, tapausten määrällä, joissa mikään viidestä ei summaudu 23:een:
P = 102 / 6^10 ≈ 0,0000237
Siis todennäköisyys, että mitkään viisi noppaa eivät summaudu 23:een, on noin 0,00237 tai 0,237%.
Todennäköisyys sille, että yksikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een, on sama kuin todennäköisyys sille, että jokin viidestä nopasta summautuu 23:een.
Lasketaan siis ensin todennäköisyys sille, että yksi noppa summautuu 23:een. Tähän on kaksi tapaa: 1) yksi noppa näyttää 23 ja muut eivät, tai 2) yksi noppa ei näytä 23 ja muut näyttävät. Todennäköisyys kummallekin tapaukselle on (1/6) * (5/6)^9, koska yksi noppa voi näyttää 23 ja muut eivät, tai yksi noppa ei näytä 23 ja muut näyttävät mitä tahansa muuta. Näitä tapoja on yhteensä 10 kappaletta (10 tapaa valita se noppa, joka näyttää 23).
Siis todennäköisyys sille, että mikään viidestä nopasta ei summaa 23:een, on 1 - 10 * (1/6) * (5/6)^9 ≈ 0.9837 eli noin 98,37 %.
Jo on juttua! Liekö trollausta? Typerää sellaista,jos on. Jos ei, viestittäjä lienee unohtanut jo pitemmän aikaa ottaa pillerinsä.
Ja jos joku arvostelee tuota sairasta kusipäätä, ylläpito poistaa arvostelun.
Miksi?
Palkkisi ovat roskaa!
Esim.
5+5+5+3+3 = 21
6+6+6+5+3 = 26
Kyllä nuo pitäisi tulla: https://aijaa.com/6yKLEC
Ehkä säädit lukuja, jonka jälkeen se ei päivittynyt. Paina roll-nappia (tai i_nit actionia valikossa).
Koska jokainen noppa voi antaa tuloksen 1-6, on yhteensä 6^10 erilaista mahdollista yhdistelmää heitoista.
Lasketaan sitten, mikä on tapausten määrä, joissa mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een. Tässä tapauksessa meidän on laskettava ensin, montako tapausta on, joissa yksi noppa summautuu 23:een ja sitten vähennettävä tämä lukumäärä kaikista tapauksista, joissa mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een.
Kun yksi noppa summautuu 23:een, sen täytyy antaa tulos 1. Tämä tapahtuu yhdellä tavalla. Loput neljä noppaa voivat antaa minkä tahansa tuloksen 1-6, joten niillä on yhteensä 6^4 erilaista mahdollista yhdistelmää.
Lasketaan nyt kaikki tapaukset, joissa mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een. Tässä tapauksessa jokaisen nopan täytyy antaa tulos 2-6. Tämä tapahtuu 5^4 tavalla, koska jokainen noppa voi antaa tuloksen 2-6.
Näin ollen kaikki tapaukset, joissa mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een, on yhteensä 5^4 erilaista mahdollista yhdistelmää.
Todennäköisyys sille, että mikään viidestä nopasta ei summaudu 23:een, on siis: 5^4 / 6^10 ≈ 0.0159 eli noin 1.59%