Mikä on pienin tälläinen positiivinen (desimaalinen) kokonaisluku? Ei etunollia. Esim. 1234 -> 4123.
Montako numeroa tälläisissä luvuissa voi olla?
Montako numeroa tälläisissä luvuissa voi olla?
Luku kolminkertaistuu, jos sen vähiten merkitsevä numero siirretään eniten merkitseväksi numeroksi.
Anonyymi-ap
25716
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 25
Vanhimmat
Numeroiden summa säilyy tuossa vaihdossa joten lukujen täytyy olla jaollisia luvulla 3.
Viimeisen numeron tulee olla suurempi kuin ensimmäinen, muuten luku ei vaihdossa kasva.
Hyvin päätelty. Vähiten merkitsevän numeron pitää myös olla suurempi kuin kaksi. Luku ei voi muuten kolminkertaistua.
Jos hallitsee peruskoulun ala-asteella opetetun kertotaulun, lasku onnistuu helposti kynällä ja paperilla parissa minuutissa. Pitää vain tajuta lopettaa oikeassa kohtaa.
Mikä luku vastaavasti kuusinkertaistuu? Vain alle 1% oppilaista saa oikean tuloksen ekalla yrityksellä. Kokeilkaa. Paljon yli tuplasti työläämpi.
Kuusinkertaistuminen on yksinkertainen, mutta aika pitkä lasku. Siinä helposti luovuttaa kesken kaikein. Pitää hallita kuuden kertotaulu ja muistinumeron (0, 1, tai 2) ynnääminen ja muistinumeron merkitseminen muodostuvan luvun päälle.
Helppo mekaaninen toimitus. Sain sen onnitumaan jopa tietokoneella. Tosin vasta kolmannella yrittämällä, vaikka tiesin vastauksen ja laskutavan.
Kaikki onnistuu tietysti helposti myös suoraan yhtälöllä ja sen ratkaisulla luvun pituuden mukaan. Vaatii jo hiukan lukion tietoja ja hyvää taskulaskinta tai pientä ohjelmapätkää.
Ei onnistu ikinä ihan vaan tyhmällä kaikkien lukujen läpikäymisellä kaikilla maailman supertietoneilla.
Haettu pienin kuusinkertaistuva luku ja sen laskennassa tarvittavat muistinumerot (0...5) sen päällä:
0145250313212415402335111022554103052423431401532204445330
1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966
Lasku alkaa kirjoittamalla paperille paras arvaus (6) vähiten merkitseväksi numeroksi:
0
6
Alla oleva luku kerrotaan kuudella. Lisätään siihen muistinumero 0. Saadaan 36. Sen numerot kirjoiteaan allekkain:
30
66
Jatketaan kunnes muistinumero on 0 ja eniten merkitsevä numero on 1.
Haettu luku on 58 numeroa pitkä, koska yhtälön ratkaisukaavassa on (alkuluku) 59-modulo. Seuraavat pitemmät sopivat luvut ovat 116 numeroisia. Vähiten merkitseväksi numeroksi voi laittaa myös 7, 8 tai 9. Luvut kasvavat "hiukan". Eivät voi olla pienimpiä.
https://en.wikipedia.org/wiki/Parasitic_number
https://oeis.org/A092697
Täällä esitetyt luvut ja paljon muita löytyvät myös Wikipediasta ja oeis.orgista.. Ei olisi uskonut. Olivatko tiedossa jo 1500-luvulla?
Saako noiden lukujen hakemisesta jotain matemaattisesti todella vaikeaa ja mielenkiintoista ongelmaa?
Onko joku ratkaisematon ongelma?
Kyse lienee aina ihan vaan ajanvietematematiikkasta.
https://en.wikipedia.org/wiki/Recreational_mathematics
Pienin kolminkertaistuva luku ei ole ihan pieni. Aloitetaan kokeilu vähiten merkitsevällä numerolla 3 ja laitetaan sen päälle muistinumeroksi 0.
0
3
Kerrotaan numero 3 kolmella ja lisätään siihen muistinumero 0:
00
93
Kerrotaan uudestaan kolmella ja lisätään edellinen muistinumero:
200
793
Toistetaan kunnes luvun eniten merkitsevä numero x 3 + muistinumero on sama kuin vähiten merkitsevä numero. Saadaan:
0111202121002221110201012200
1034482758620689655172413793
Jos vähiten merkitseväksi numeroksi valitaan 7, saadaan vastaavasti:
1012200011120212100222111020
2413793103448275862068965517
Loppui, koska 3*2+1 = 7.
Sopivien lukujen pituudet voivat olla n*28.
Samat tulokset saa myös yksinkertaisella yhtälöllä.
Jos a on luvun ba vähiten merkitsevä numero ja b on n-pituinen alkuosa ja m on vaadittu kerroin:
m*(b*10 + a) = a*10^n + b
b*(m*10 - 1) = a*(10^n - m)
b = a*(10^n - m)/(m*10 - 1)
Jos jako menee tasan ja saatu b on n-pituinen, niin ba on (lähes varmasti?) haettu luku.
a:n arvoksi kannattaa aina aluksi valita m. Sitten vaan käydään läpi n:n arvoja 1:stä vaikka sataan. Tulokset on näytössä alle ms:ssa. Onnistuu myös taskulaskimella muutamassa minuutissa.
Kun m = 3 pitäisi siis olla
b = a* (10^n-3) /29
Täytyy siis olla niin että 29 jakaa luvun 10^n-3
En onnistunut formuloimaanntätä WolframAlphalle niin että se olisi suostunut laskeemaan ensimmäisen luvun n joka toteuttaa tämän. Osaisiko joku muu?
Merkitse modulolauseke nollaksi:
solve 10^n-3 ≡ 0 mod 29 over the integers
Jostain syystä WA ei tässä oikein ymmärrä pelkkää matemaattista inputtia. Turha lähteä tappelemaan.
No mikä se pienin n on?
n = luvun pituus - 1.
Mikä on epäselvää? Kaikkihan esitetty täällä moneen kertaan eri tavoin.
Jostain syystä WA haluaa käyttäjän antavan potenssimerkiksi ** ja kolmen viivan (≡) tilalle = -merkin.
10**n - 3 = 0 mod 29 ; n∈N
(10**n - 3) = 0 mod 29 ; n∈N
tai pelkkä
10**n - 3 = 0 mod 29
Jos käyttää tässä WA:n omaa potenssiesitystä, WA ei suostu laskemaan mitään modulon kanssa. Ja jos laittaa sulut (mod 29), niin taas tulkitaan jotain väärin. Ei voi olla vahinko, vaan jostain syystä käyttäjää halutaan kusettaa oikein urakalla.
W-A antaa yhtälön 10^n = 3 mod(29) ratkaisuksi
n= 27 mod(28) eli n = 28 c + 27 missä c >= 0 ja c on kokonaisluku.
On siinä lukua kerrakseen!
Nyt pitäisi vielä kokeilla a: arvoilla 2,3,...,9 toteutuuko yhtälö.
Siitä vaan laskemaan!
Lisäys. Luku 9999...97 /29 alkaa 344827...
Et näköjään käsittänyt kysymystäni. Se tarkoitti pienintä arvoa joka luvulla n voi olla. Siihen on jo nyt vastattu.
Älä selitä ja syytä muita laiskuudestasi. Ymmärsin hyvin typerän kysymyksesi.
Nyt kyse oli ainoastaan ja vain ainoastaan WA:n epämääräisestä toiminnasta. Ei sinun laiskuudestasi.
Jokainen peruskoululainenkin saa laskettua pienimmän n:n arvon kaikilla mahdollisilla kertoimilla ja viimeisen numeron arvoilla.
Käytännössä ainoa aidosti kiinnostava tapaus on kerroin 6. Se sekin on selitetty tääälläkin moneen kertaan. Tee yksinkertainen viiden rivin "ohjelma", joka tulostaa kaikkii eri tapaukset näytölle. Montako näppäinpainallusta tarvitset minimissään toimivan "ohjelman" tekemiseen? Paljonko menee aikaa?
Ei tarvitse kokeilla kerrointa (3) pienemmillä a:n (2) arvoilla.
Eihän tuossa ole mitään varsinaista "laskemista". Et tarvitse WA:ta.
Tulosta kaikki suoraan vaan näytölle. Mitä yhtäläisyyttä kaikissa seitsemässä luvussa on?
KatsohanWikipediasta tuo "parasitic numbers". Kun m = 3 niin pienimmässä luvussa on 28 numeroa:10344...3793.
Vai ei sen määräämisessä ole "laskemista" ?
Et nyt kyllä ymmärrä laskemisesta yhtikäs mitään. Eihän luvun suuruudella ole tässä mitään merkitystä. Laskutoimituksia tarvitaan vain n kpl lukua kohti.
Laiskan matemaatikon yksinkertainen kertakäyttöinen tulostusmakro tulostaa kaikki pienimmät luvut ja karsii etunollaiset pois:
for m in range(2,10):
__for a in range(m,10):
____for n in range(1,10*m):
______if a*(10**n-m)%(10*m-1)==0:
________b = a*(10**n-m)//(10*m-1)
________if n==len(str(b)): print( m,10*b+a,n+1); break
Korvatkaa jokainen alaviiva yhdellä tai kahdella välilyönnillä.
Samalla kertoimella tulostettujen lukujen numerot ovat aina samassa järjestyksessä, jos lukua ajattelee yhteenkytkettynä helminauhana. Miettikääpä miksi?
2 105263157894736842 18
2 157894736842105263 18
2 210526315789473684 18
2 263157894736842105 18
2 315789473684210526 18
2 368421052631578947 18
2 421052631578947368 18
2 473684210526315789 18
3 1034482758620689655172413793 28
3 1379310344827586206896551724 28
3 1724137931034482758620689655 28
3 2068965517241379310344827586 28
3 2413793103448275862068965517 28
3 2758620689655172413793103448 28
3 3103448275862068965517241379 28
4 102564 6
4 128205 6
4 153846 6
4 179487 6
4 205128 6
4 230769 6
5 102040816326530612244897959183673469387755 42
5 122448979591836734693877551020408163265306 42
5 142857 6
5 163265306122448979591836734693877551020408 42
5 183673469387755102040816326530612244897959 42
6 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966 58
6 1186440677966101694915254237288135593220338983050847457627 58
6 1355932203389830508474576271186440677966101694915254237288 58
6 1525423728813559322033898305084745762711864406779661016949 58
7 1014492753623188405797 22
7 1159420289855072463768 22
7 1304347826086956521739 22
8 1012658227848 13
8 1139240506329 13
9 10112359550561797752808988764044943820224719 44
Samanlaiset "helminauhat" tulee vain, jos jakajana on alkuluku. Eli kertoimilla 2, 3 ja 6. (19, 29, 59).
Kertoimella 5 näyttäisi tulevan 4 samanlaista pitkää "helminauhaa" ja yksi lyhyt, jos viimeinen numero on 7. (5*10 - 1 = 49 on jaollinen 7:lla.)
Saman tuloksen saa myös kynä- ja paperimenetelmällä. Tarvitaan vain yksinumeroisten lukujen kerrontaa ja ynnäämistä. Eikä niitä valtavan isoja lukuja edes tervitse muodostaa. Pelkkä merkkijono riittää tulostukseen.
for m in range(2,10):
__for a in range(m,10):
____b = a
____s = str(a)
____for t in range(0,100):
______b = m*(b) + b//10
______s = str(b) + s
______if m*(b) + b//10==a: break
____if t<99: print m,s,len(s)