todistusongelma

lkjasfje

Lause: Olkoon B epätyhjä joukko, jonka jokainen alkio on äärellinen joukko. Tällöin on olemassa sellainen b in B, että mikään joukon b aito osajoukko ei kuulu joukkoon B.

Miten tuo todistetaan? Miksi B={ {a,b}, {a}, {b} } ei käy vastatodistuksesta?

7

496

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Että näin

      Joukko-oppi on kummallista. Oletan kuitenkin, että seuraava päättely voisi olla valaiseva.

      Tarkastelen ensin esimerkkiäsi.

      "Miksi B={ {a,b}, {a}, {b} } ei käy vastatodistuksesta?"

      Koska siinä on joukko {a}, jonka mikään aito osajoukko ei kuuluu joukkoon B. Joukolla {a} ei ole aitoja osajoukkoja, joten on selvää, että ei ole sellaista joukkoa x, joka kuuluu B:hen ja on {a}:n aito osajoukko.

      (Huomaa, että tyhjä joukko ei ole *aito* osajoukko. {a}:n aitojen osajoukkojen joukko on tyhjä joukko, ja sen leikkaus B:n kanssa on tyhjä joukko. Ei pidä sotkeutua tässä määritelmiin.)

      Nyt tämä päättely ei riipu erityisesti mitenkään joukon {a} alkion arvosta. Mikä tahansa yksialkioinen joukko joukossa B toteuttaa saman ehdon. Siis jos joukossa B on joukko, jonka koko on 1, se toteuttaa lauseen.

      Oletaan nyt, että tarkasteltavana ovat sellaiset B:t, että niiden alkioiden pienin koko no positiivnen kokonaisluku n. Tehdään vastaoletus: on olemassa n, jolla lauseen väite ei pidä paikkaansa.

      Silloin on jokin B, jossa on ainakin yksi alkio b, jonka koko on n. Nyt b:llä on ainakin yksi aito osajoukko, joka kuuluu B:hen. Koska se on aito osajoukko, sen koko on pienempi kuin n, mutta silloin kokoa n oleva joukko ei olekaan B:n pienin. Ristiriita osoittaa väitteen todeksi.

      Toivottavasti en kirjoittanut kovin epäselvästi.

      • lkjasfje

        Olen pitänyt tyhjää joukkoa jokaisen joukon osajoukkona ja sitä kautta jokaisen epätyhjän joukon aitona osajoukkona. Tämä valaiseekin jo mistä on kysymys. Kiitos avusta!


      • vfgh
        lkjasfje kirjoitti:

        Olen pitänyt tyhjää joukkoa jokaisen joukon osajoukkona ja sitä kautta jokaisen epätyhjän joukon aitona osajoukkona. Tämä valaiseekin jo mistä on kysymys. Kiitos avusta!

        Minäkin olen aina ymmärtänyt että aidolla osajoukolla tarkoitetaan joukon osajoukkoa, joka ei ole joukko itse, eli tyhjä joukko olisi myös aito osajoukko. Riippuu kai miten määritellään..

        Tehtävässä tosin on selkeästi nähtävissä, että tyhjä joukko ei ole määritelty aidoksi.


      • Samuli

        En ole samaa mieltä siitä, että tyhjä joukko ei olisi joukon aito osajoukko. Määritellä voi tietenkin monella tapaa, mutta mitä iloa on määritellä tyhjä joukko epäaidoksi osajoukoksi?

        Eikös perinteisesti määritellä näin: joukon E osajoukko A on aito, jos on olemassa e \in E siten, että e \notin A? Tällä määritelmällä tyhjä joukko on kaikkien muiden joukkojen paitsi itsensä aito osajoukko.

        Aloitusviestin väite ei siis päde. Vastaesimerkiksi ei tällöin kylläkään käy aloitusviestissä tarjottu joukko (koska siinä esimerkiksi joukon {a} ainoa aito osajoukko {} ei kuulu joukkoon B). Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole.


      • Enkä välitä
        Samuli kirjoitti:

        En ole samaa mieltä siitä, että tyhjä joukko ei olisi joukon aito osajoukko. Määritellä voi tietenkin monella tapaa, mutta mitä iloa on määritellä tyhjä joukko epäaidoksi osajoukoksi?

        Eikös perinteisesti määritellä näin: joukon E osajoukko A on aito, jos on olemassa e \in E siten, että e \notin A? Tällä määritelmällä tyhjä joukko on kaikkien muiden joukkojen paitsi itsensä aito osajoukko.

        Aloitusviestin väite ei siis päde. Vastaesimerkiksi ei tällöin kylläkään käy aloitusviestissä tarjottu joukko (koska siinä esimerkiksi joukon {a} ainoa aito osajoukko {} ei kuulu joukkoon B). Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole.

        En tiedä miten perinteisesti määritellään. Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava. Tosin tehtävä taitaa olla huono määritteli miten tahansa, joskus jopa virheellinen.

        Ohjelmoijalle asiat ovat helpompia. Tyhjiä joukkoja voi luoda useita ohjelman ajon aikana, ja jos ne sijaitsevat eri muistiosoitteissa, ne ovat keskenään erisuuria identiteettivertailun kannalta :-)


      • Samuli
        Enkä välitä kirjoitti:

        En tiedä miten perinteisesti määritellään. Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava. Tosin tehtävä taitaa olla huono määritteli miten tahansa, joskus jopa virheellinen.

        Ohjelmoijalle asiat ovat helpompia. Tyhjiä joukkoja voi luoda useita ohjelman ajon aikana, ja jos ne sijaitsevat eri muistiosoitteissa, ne ovat keskenään erisuuria identiteettivertailun kannalta :-)

        "Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava."

        On se siten kiinnostava, että mikä tahansa todistus tai muu argumentti, jossa viitataan jonkin joukon aitoihin osajoukkoihin vaatii tyhjän joukon tutkimisen erikoistapauksena, jos {} ei ole aito osajoukko. Eli pääsee vähän helpommalla, jos {} on aito osajoukko.

        Mutta asiasta toiseen: Omassa viestissäni oli paha virhe, joka täytyy kyllä korjata nyt. Kirjoitin

        "Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole."

        B ei kuitenkaan ole vastaesimerkki aloitusviestin väitteelle. Nimittäin yksikään tyhjän joukon nollasta aidosta osajoukosta ei kuulu joukkoon B. Siten B on aivan väitteen mukainen joukko: väitteessä mainituksi alkioksi b kelpaa {}.

        Eli kyllä se väite saattaakin olla tosi, minä vain sekoilen tyhjän joukon kanssa.


    • hjklmnop

      Joukossa B on alkioina joko yksiöitä {x} tai ei.
      Tapaus 1. On yksiöitä, olkoon C={a} eräs tälläinen. C:llä osajoukot ovat C ja {} eli kumpikaan ei aito osajoukko. Koska C yksikään aito osajoukko ei kuulu B on lause todistettu (yksikään ei kuulu siksi koska niitä ei edes ole).
      Tapaus 2. Joukossa ei ole yksiöitä. Olkoon C joukon B mielivaltainen alkio, koska C on äärellinen joukko on siinä alkio a, koska C ei ole yksiö niin D={a} on C:n aito osajoukko. D ei kuulu B sillä D on yksiö. Vöite todistettu.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hengenvaaralliset kiihdytysajot päättyivät karmealla tavalla, kilpailija kuoli

      Onnettomuudesta on aloitettu selvitys. Tapahtuma keskeytettiin onnettomuuteen. Tapahtumaa tutkitaan paikan päällä yhtei
      Kauhava
      172
      6253
    2. Ootko rakastunut?

      Kerro pois nyt
      Ikävä
      147
      1734
    3. Onhan sulla nainen parempi mieli

      Nyt? Ainakin toivon niin.
      Ikävä
      113
      1528
    4. Ujosteletko tosissaan vai mitä oikeen

      Himmailet???? Mitä pelkäät?????
      Ikävä
      51
      1280
    5. Suureksi onneksesi on myönnettävä

      Että olen nyt sitten mennyt rakastumaan sinuun. Ei tässä mitään, olen kärsivällinen ❤️
      Ikävä
      46
      952
    6. Möykkähulluus vaati kuolonuhrin

      Nuori elämä menettiin täysin turhaan tällä järjettömyydellä! Toivottavasti näitä ei enää koskaan nähdä Kauhavalla! 😢
      Kauhava
      30
      870
    7. Älä mies pidä mua pettäjänä

      En petä ketään. Älä mies ajattele niin. Anteeksi että ihastuin suhun varattuna. Pettänyt en ole koskaan ketään vaikka hu
      Ikävä
      97
      856
    8. Reeniähororeeniä

      Helvetillisen vaikeaa työskennellä hoitajana,kun ei kestä silmissään yhtään läskiä. Saati hoitaa sellaista. Mitä tehdä?
      Kouvola
      5
      809
    9. Tarvitsemme lisää maahanmuuttoa.

      Väestö eläköityy, eli tarvitsemme lisää tekeviä käsiä ja veronmaksajia. Ainut ratkaisu löytyy maahanmuutosta. Nimenomaan
      Maailman menoa
      229
      767
    10. Kävit nainen näemmä mun

      Facessa katsomassa....
      Ikävä
      41
      759
    Aihe