Lause: Olkoon B epätyhjä joukko, jonka jokainen alkio on äärellinen joukko. Tällöin on olemassa sellainen b in B, että mikään joukon b aito osajoukko ei kuulu joukkoon B.
Miten tuo todistetaan? Miksi B={ {a,b}, {a}, {b} } ei käy vastatodistuksesta?
todistusongelma
lkjasfje
7
496
Vastaukset
- Että näin
Joukko-oppi on kummallista. Oletan kuitenkin, että seuraava päättely voisi olla valaiseva.
Tarkastelen ensin esimerkkiäsi.
"Miksi B={ {a,b}, {a}, {b} } ei käy vastatodistuksesta?"
Koska siinä on joukko {a}, jonka mikään aito osajoukko ei kuuluu joukkoon B. Joukolla {a} ei ole aitoja osajoukkoja, joten on selvää, että ei ole sellaista joukkoa x, joka kuuluu B:hen ja on {a}:n aito osajoukko.
(Huomaa, että tyhjä joukko ei ole *aito* osajoukko. {a}:n aitojen osajoukkojen joukko on tyhjä joukko, ja sen leikkaus B:n kanssa on tyhjä joukko. Ei pidä sotkeutua tässä määritelmiin.)
Nyt tämä päättely ei riipu erityisesti mitenkään joukon {a} alkion arvosta. Mikä tahansa yksialkioinen joukko joukossa B toteuttaa saman ehdon. Siis jos joukossa B on joukko, jonka koko on 1, se toteuttaa lauseen.
Oletaan nyt, että tarkasteltavana ovat sellaiset B:t, että niiden alkioiden pienin koko no positiivnen kokonaisluku n. Tehdään vastaoletus: on olemassa n, jolla lauseen väite ei pidä paikkaansa.
Silloin on jokin B, jossa on ainakin yksi alkio b, jonka koko on n. Nyt b:llä on ainakin yksi aito osajoukko, joka kuuluu B:hen. Koska se on aito osajoukko, sen koko on pienempi kuin n, mutta silloin kokoa n oleva joukko ei olekaan B:n pienin. Ristiriita osoittaa väitteen todeksi.
Toivottavasti en kirjoittanut kovin epäselvästi.- lkjasfje
Olen pitänyt tyhjää joukkoa jokaisen joukon osajoukkona ja sitä kautta jokaisen epätyhjän joukon aitona osajoukkona. Tämä valaiseekin jo mistä on kysymys. Kiitos avusta!
- vfgh
lkjasfje kirjoitti:
Olen pitänyt tyhjää joukkoa jokaisen joukon osajoukkona ja sitä kautta jokaisen epätyhjän joukon aitona osajoukkona. Tämä valaiseekin jo mistä on kysymys. Kiitos avusta!
Minäkin olen aina ymmärtänyt että aidolla osajoukolla tarkoitetaan joukon osajoukkoa, joka ei ole joukko itse, eli tyhjä joukko olisi myös aito osajoukko. Riippuu kai miten määritellään..
Tehtävässä tosin on selkeästi nähtävissä, että tyhjä joukko ei ole määritelty aidoksi. - Samuli
En ole samaa mieltä siitä, että tyhjä joukko ei olisi joukon aito osajoukko. Määritellä voi tietenkin monella tapaa, mutta mitä iloa on määritellä tyhjä joukko epäaidoksi osajoukoksi?
Eikös perinteisesti määritellä näin: joukon E osajoukko A on aito, jos on olemassa e \in E siten, että e \notin A? Tällä määritelmällä tyhjä joukko on kaikkien muiden joukkojen paitsi itsensä aito osajoukko.
Aloitusviestin väite ei siis päde. Vastaesimerkiksi ei tällöin kylläkään käy aloitusviestissä tarjottu joukko (koska siinä esimerkiksi joukon {a} ainoa aito osajoukko {} ei kuulu joukkoon B). Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole. - Enkä välitä
Samuli kirjoitti:
En ole samaa mieltä siitä, että tyhjä joukko ei olisi joukon aito osajoukko. Määritellä voi tietenkin monella tapaa, mutta mitä iloa on määritellä tyhjä joukko epäaidoksi osajoukoksi?
Eikös perinteisesti määritellä näin: joukon E osajoukko A on aito, jos on olemassa e \in E siten, että e \notin A? Tällä määritelmällä tyhjä joukko on kaikkien muiden joukkojen paitsi itsensä aito osajoukko.
Aloitusviestin väite ei siis päde. Vastaesimerkiksi ei tällöin kylläkään käy aloitusviestissä tarjottu joukko (koska siinä esimerkiksi joukon {a} ainoa aito osajoukko {} ei kuulu joukkoon B). Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole.En tiedä miten perinteisesti määritellään. Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava. Tosin tehtävä taitaa olla huono määritteli miten tahansa, joskus jopa virheellinen.
Ohjelmoijalle asiat ovat helpompia. Tyhjiä joukkoja voi luoda useita ohjelman ajon aikana, ja jos ne sijaitsevat eri muistiosoitteissa, ne ovat keskenään erisuuria identiteettivertailun kannalta :-) - Samuli
Enkä välitä kirjoitti:
En tiedä miten perinteisesti määritellään. Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava. Tosin tehtävä taitaa olla huono määritteli miten tahansa, joskus jopa virheellinen.
Ohjelmoijalle asiat ovat helpompia. Tyhjiä joukkoja voi luoda useita ohjelman ajon aikana, ja jos ne sijaitsevat eri muistiosoitteissa, ne ovat keskenään erisuuria identiteettivertailun kannalta :-)"Yhtä hyvin voisi sopia, että joukon A triviaalit osajoukot ovat A ja tyhjä joukko, ja muut sitten aitoja. Se on määrittelykysymys, eikä kiinnostava."
On se siten kiinnostava, että mikä tahansa todistus tai muu argumentti, jossa viitataan jonkin joukon aitoihin osajoukkoihin vaatii tyhjän joukon tutkimisen erikoistapauksena, jos {} ei ole aito osajoukko. Eli pääsee vähän helpommalla, jos {} on aito osajoukko.
Mutta asiasta toiseen: Omassa viestissäni oli paha virhe, joka täytyy kyllä korjata nyt. Kirjoitin
"Vastaesimerkin saa joukosta B = { {a}, {} }: joukon {a} ainoa aito osajoukko {} on joukon B alkio ja joukolla {} taas ei aitoja osajoukkoja ole."
B ei kuitenkaan ole vastaesimerkki aloitusviestin väitteelle. Nimittäin yksikään tyhjän joukon nollasta aidosta osajoukosta ei kuulu joukkoon B. Siten B on aivan väitteen mukainen joukko: väitteessä mainituksi alkioksi b kelpaa {}.
Eli kyllä se väite saattaakin olla tosi, minä vain sekoilen tyhjän joukon kanssa.
- hjklmnop
Joukossa B on alkioina joko yksiöitä {x} tai ei.
Tapaus 1. On yksiöitä, olkoon C={a} eräs tälläinen. C:llä osajoukot ovat C ja {} eli kumpikaan ei aito osajoukko. Koska C yksikään aito osajoukko ei kuulu B on lause todistettu (yksikään ei kuulu siksi koska niitä ei edes ole).
Tapaus 2. Joukossa ei ole yksiöitä. Olkoon C joukon B mielivaltainen alkio, koska C on äärellinen joukko on siinä alkio a, koska C ei ole yksiö niin D={a} on C:n aito osajoukko. D ei kuulu B sillä D on yksiö. Vöite todistettu.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Hengenvaaralliset kiihdytysajot päättyivät karmealla tavalla, kilpailija kuoli
Onnettomuudesta on aloitettu selvitys. Tapahtuma keskeytettiin onnettomuuteen. Tapahtumaa tutkitaan paikan päällä yhtei1726253- 1471734
- 1131528
- 511280
Suureksi onneksesi on myönnettävä
Että olen nyt sitten mennyt rakastumaan sinuun. Ei tässä mitään, olen kärsivällinen ❤️46952Möykkähulluus vaati kuolonuhrin
Nuori elämä menettiin täysin turhaan tällä järjettömyydellä! Toivottavasti näitä ei enää koskaan nähdä Kauhavalla! 😢30870Älä mies pidä mua pettäjänä
En petä ketään. Älä mies ajattele niin. Anteeksi että ihastuin suhun varattuna. Pettänyt en ole koskaan ketään vaikka hu97856Reeniähororeeniä
Helvetillisen vaikeaa työskennellä hoitajana,kun ei kestä silmissään yhtään läskiä. Saati hoitaa sellaista. Mitä tehdä?5809Tarvitsemme lisää maahanmuuttoa.
Väestö eläköityy, eli tarvitsemme lisää tekeviä käsiä ja veronmaksajia. Ainut ratkaisu löytyy maahanmuutosta. Nimenomaan229767- 41759