Olkoon A neliömatriisi. Jos ||A|| < 1, niin onko A I ei-singulaarinen?
Siis jos nxn-matriisin normi (suurin singulaariarvo), on pienempää kuin yksi, niin mitä voidaan sanoa A identiteettimatriisin singulaarisuudesta?!?
Siinä on kysymys, motivaatioksi!!! Kysymys tuli vastaan matriisilaskennan peruskurssin vanhoista tenteistä. Siis pitäisi onnistua aikalailla perustiedoilla, ja kun täällä kerran jotkut tituleeraavat itseään jos minkä sortin matemaatikoiksi, niin luulisi tähänkin vastauksen löytyvän.
Siis jos nxn-matriisin normi (suurin singulaariarvo), on pienempää kuin yksi, niin mitä voidaan sanoa A identiteettimatriisin singulaarisuudesta?!?
Siinä on kysymys, motivaatioksi!!! Kysymys tuli vastaan matriisilaskennan peruskurssin vanhoista tenteistä. Siis pitäisi onnistua aikalailla perustiedoilla, ja kun täällä kerran jotkut tituleeraavat itseään jos minkä sortin matemaatikoiksi, niin luulisi tähänkin vastauksen löytyvän.
Vastaukset 11
Vanhimmat
http://keskustelu.suomi24.fi/show.fcgi?category=2000000000000020&conference=4000000000000027&posting=22000000021756623
Tarkoitatko matriisin normilla tätä:
||A|| = max ||Ax|| / ||x||, missä x on vektori ja normit ||Ax|| ja ||x|| vektoreiden normeja ?
Olin saavinani tulokseksi, että voi olla singulaarinen (ei-singulaarisuus kai helppo keksiä esimerkki?):
Esim. 2x2-matriisi A = [[-1/2 1/2] [1/2 -1/2]]. Tuohon kun lisätään I, niin kyseisen summamatriisin determinantti on 0, mikä merkitsee, että matriisi on singulaarinen.
Suurin työ tässä kai on näyttää, että A:n normi on pienempi, kuin 1.
Olkoon vektori (x,y) mielivaltainen. Tehtävänä on siis näyttää, että seuraava on pienempää kuin 1:
sqrt[ (-x/2 y/2)^2 (x/2 - y/2)^2 ]/sqrt[x^2 y^2]
= ... = 1/2 * |x-y|/sqrt[x^2 y^2].
Napakoordinaattien x = r*cos(a) ja y = r*sin(a) avulla saadaan ärrät supistettua, jolloin jää:
1/2 * |cos(a) - sin(a)|,
eli tehtävänä on etsiä itseisarvon maksimi välillä [0,2pii[, mikä on sqrt(2) (onnistuu helpoiten korottamalla itseisarvolauseke toiseen, jolloin tehtäväksi jää maksimoida |1-sin(2a)|), joten
||A||
"Tarkoitatko matriisin normilla tätä:
||A|| = max ||Ax|| / ||x||, missä x on vektori ja normit ||Ax|| ja ||x|| vektoreiden normeja ?
"
Tehtävässä selitettiin normi: Suurin singulaariarvo. Tehtävä on ratkaistu antamassani linkissä.
"Tehtävässä selitettiin normi: Suurin singulaariarvo. Tehtävä on ratkaistu antamassani linkissä."
Itseasiassa tuo ns. maksiminormi on aina yhtäsuuri, kuin ensimmäinen (eli suurin) singulaariarvo.
Jos sarjateoreettinen ratkaisu ei mielyttä, niin
A I on kääntyvä, mikäli det(A I)=/=0
Vasta-oletus det(A I)=0
eli det(A-(-1)I)=0
Siis -1 olisi A:n singulaariarvo. Mutta |-1|=1>norm(A) eli ristriita.
Mikäli ymmärsin normin oikein, voisit laittaa tänne normin täsmällisen määritelmän.
Mikä onkaan singulaariarvo?!
Minun ymmärtääkseni -1 on myt kyllä vain A:n ominaisarvo, vai?!?
matriisinormi annetaan yleensä aluksi
||A||= max(x =/= 0) ||Ax|| / ||x||.
Tästä saa vielä ekvivalentteja muotoja jos on tarvis. Teorian edetessä saadaan matriiseille SVD-hajotelma siis singulaariarvo-h.. Jolloin todetaan, että nyt A:n normi on suurin saaduista singulaariarvoista.
Koska vektori normi on tuttu euklidinen ja unitaariset matriisit
eivät vaikuta siihen (jos U on unitaarinen niin ||Ux||=||x||, x vektori), niin saadaan johdettua, että suurin singulaariarvoista on myös alussa annetun normin arvo.
Siis näin olen ymmärtänyt, nyt mikä menee siis jukepukella pieleen?
Siitä tuleekin 1/sqrt(2)*|cos(a)-sin(a)|, joten normiksi tuleekin ||A|| = 1. Pahoittelut tästä sähellyksestä!
Oletetaan, että I A on singulaarinen
eli on olemassa x=/=0 s.e. (I A)x=0,
eli x=-Ax
ts.
||x||=||-Ax||=||Ax||
Tällöin ||Ax||/||x||=1, ristiriita sillä
max ||Ax||/||x||
Tällaisia muutaman rivin todistuksia ei voi kuin ihailla!. MIkä tuossa oli niin vaikeaa viestin aloittajalle, peruskamaa kun käsitteet on selvillä, ei tarvita SVD-hajotelmaa.
Eihän siinä todistukessa mitään erikoista olekkaan, se on hieno ja yksinkertainen. Mutta eipä sitä vaan joka poika saa omasta kynästä paperille, jostain syystä minusta tuntuu ettet tainnut itsekkään ratkaisua miettiä vaan luit ratkaisun!