En ole löytänyt kunnon selvitystä Frechet-derivaatan (tai gateaux-derivaatan) ja fyysikoiden suosiman funktionaalisen derivaatan välisestä yhteydestä.
Frechet-derivaatan käsite on selvä. Kun on operaattori F:V->W, voidaan pisteessä x laskea (hyvällä tuurilla :) ) derivaatta suuntaan h.
Entäs, kun haluan laskea -funktion- g funktionaalisen derivaatan funktion f suuntaan?
Miten tätä lähestytään formaalisti?
Esim. g(x,y)=x^3 y, f(x,y)=x y^2 ja tavoiteena laskea g:n funktionaalinen derivaatta
suuntaan f eli dg(x;f).
Frechet-derivaatta
funktioille
4
431
Vastaukset
- dx²
Jotta funktionaalisen derivaatan df/dg tai vastaavan Frechet-derivaatan laskemisessa olisi jotain mieltä, on f:n oltava funktionaali g:stä. Jos f ei riipu g:stä, tuo derivaatta on identtisesti nolla. Tuollahan tuo asia on aika hyvin:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_derivative
Eli jos V ja W ovat jotain funktioiden muodostamia Banach-avaruuksia, niin operaattorille F:V->W voit laskea Frechet-derivaatan dF(x,h), jossa x ja h ovat funktioita Banach-avaruudessa V.- mutta eikö kuitenkin?
Ymmärrän kyllä hyvin, miten nuo derivaatat toimivat funktionaalien tapauksessa. Fysiikan artikkeleissa törmää kuitenkin jatkuvasti tuollaisiin df/dg -tyyppisiin derivaattoihin.
Fyysikkologiikalla tämä menee näin:
f=f(x1,...,xk)
g=g(x1,...,xk)=> x1=x1(g,x2,...,xk)
joten
df/dg = df/dx1 * dx1/dg
ja tässä derivaattaa df/dg kutsutaan frechet-derivaataksi. Onko vika sitten vain termissä? Eikö tuota todella voi muodollisesti määritellä frechet-derivaattana? - wikipediassa
Täällä
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
on laskuttu jotain saman tapaista, mutta en ihan pysy perässä. Tarkoitan kohtaa matemaattisen ja fysikaalisen määritelmän eroista. - dx²
wikipediassa kirjoitti:
Täällä
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
on laskuttu jotain saman tapaista, mutta en ihan pysy perässä. Tarkoitan kohtaa matemaattisen ja fysikaalisen määritelmän eroista.Se derivaatan määrittely näin:
d/de(F[f e h])
mille tahansa testifunktiolle h, kun e --> 0 on melkein sama asia kuin, että on olemassa operaattori A s.e.
(F[f h] - F[f] - A[h])/|h| --> 0
Tuo operaattori A on esimerkiksi johdettu tuolla "Functional derivative"-sivulla integraalityyppiselle funktionaalille. Se on siis se df/dp - div[df/d(nabla p)], joka on sama operaattori mikä esiintyy Euler-Lagrange-yhtälössä.
Olisikohan niin, että jos on funktiot f(x1,...,xk) ja g(x1,...,xk) s.e. voidaan ratkaista
x1 = x1(g1,...,gk)
...
xk = xk(g1,...,gk)
niin tällöin
f = f(g1,...,gk)
ja voidaan laskea df/dg. Tällöin f riippuu g:stä vain pisteittäin ja operaattori A redusoituu tavalliseksi derivoinniksi eli mitään funktionaalista tässä ei enää ole. Lieneekö tästä kysymys?
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Ihana on nähdä edes ohimennen
Mitenköhän mies sua voisi lähestyä❤️? Oon lääpälläni suhun mutta en uskalla lähestyä vaikka vilkuilet ja huomaan että su1537910- 614410
Mies, mua jotenkin kiinnostaa
Että osaatko sä ollenkaan höllätä? Ootko aina kuin persiille ammuttu karhu. Pohtimassa muiden vikoja?1404033Aamu on aina iltaa viisaampi.
Hyvää huomenta rakas. Ajattelen sinua taas ja yritän keksiä keinoja luoksesi. Satuttaa, kun unohdan sinua joka päivä ene233942Juuri sinut kainaloon haluaisin nyt
Sydän sykkii vain sinulle Sinä olet se jota kaipaan Sinä olet se josta uneksin Jos sinun rinnallesi jäädä saan Tän koko353413Moi kuumis.
Just ajattelin sua. Oot mun rauha, turva ja lämpö. Olet monia muitakin asioita, mut noita tartten eniten. Pus.423340Saattaisimme olla yhdessä
Vaarallinen yhdistelmä. Käsitin, että meillä molemmilla on samanlaista historiaa... Siitä huolimatta haluaisin kokeilla383248- 482993
Milloin olisi sinun ja kaivattusi
Kaunein päivä? Kamalin hetki? Miksi? Kumpaa pyrit muistelemaan? Kumpi hallitsee mieltäsi?422771- 492514