En ole löytänyt kunnon selvitystä Frechet-derivaatan (tai gateaux-derivaatan) ja fyysikoiden suosiman funktionaalisen derivaatan välisestä yhteydestä.
Frechet-derivaatan käsite on selvä. Kun on operaattori F:V->W, voidaan pisteessä x laskea (hyvällä tuurilla :) ) derivaatta suuntaan h.
Entäs, kun haluan laskea -funktion- g funktionaalisen derivaatan funktion f suuntaan?
Miten tätä lähestytään formaalisti?
Esim. g(x,y)=x^3 y, f(x,y)=x y^2 ja tavoiteena laskea g:n funktionaalinen derivaatta
suuntaan f eli dg(x;f).
Frechet-derivaatan käsite on selvä. Kun on operaattori F:V->W, voidaan pisteessä x laskea (hyvällä tuurilla :) ) derivaatta suuntaan h.
Entäs, kun haluan laskea -funktion- g funktionaalisen derivaatan funktion f suuntaan?
Miten tätä lähestytään formaalisti?
Esim. g(x,y)=x^3 y, f(x,y)=x y^2 ja tavoiteena laskea g:n funktionaalinen derivaatta
suuntaan f eli dg(x;f).
Vastaukset 4
Vanhimmat
Jotta funktionaalisen derivaatan df/dg tai vastaavan Frechet-derivaatan laskemisessa olisi jotain mieltä, on f:n oltava funktionaali g:stä. Jos f ei riipu g:stä, tuo derivaatta on identtisesti nolla. Tuollahan tuo asia on aika hyvin:
http://en.wikipedia.org/wiki/Fréchet_derivative
Eli jos V ja W ovat jotain funktioiden muodostamia Banach-avaruuksia, niin operaattorille F:V->W voit laskea Frechet-derivaatan dF(x,h), jossa x ja h ovat funktioita Banach-avaruudessa V.
Ymmärrän kyllä hyvin, miten nuo derivaatat toimivat funktionaalien tapauksessa. Fysiikan artikkeleissa törmää kuitenkin jatkuvasti tuollaisiin df/dg -tyyppisiin derivaattoihin.
Fyysikkologiikalla tämä menee näin:
f=f(x1,...,xk)
g=g(x1,...,xk)=> x1=x1(g,x2,...,xk)
joten
df/dg = df/dx1 * dx1/dg
ja tässä derivaattaa df/dg kutsutaan frechet-derivaataksi. Onko vika sitten vain termissä? Eikö tuota todella voi muodollisesti määritellä frechet-derivaattana?
Täällä
http://en.wikipedia.org/wiki/Functional_derivative
on laskuttu jotain saman tapaista, mutta en ihan pysy perässä. Tarkoitan kohtaa matemaattisen ja fysikaalisen määritelmän eroista.
Se derivaatan määrittely näin:
d/de(F[f e h])
mille tahansa testifunktiolle h, kun e --> 0 on melkein sama asia kuin, että on olemassa operaattori A s.e.
(F[f h] - F[f] - A[h])/|h| --> 0
Tuo operaattori A on esimerkiksi johdettu tuolla "Functional derivative"-sivulla integraalityyppiselle funktionaalille. Se on siis se df/dp - div[df/d(nabla p)], joka on sama operaattori mikä esiintyy Euler-Lagrange-yhtälössä.
Olisikohan niin, että jos on funktiot f(x1,...,xk) ja g(x1,...,xk) s.e. voidaan ratkaista
x1 = x1(g1,...,gk)
...
xk = xk(g1,...,gk)
niin tällöin
f = f(g1,...,gk)
ja voidaan laskea df/dg. Tällöin f riippuu g:stä vain pisteittäin ja operaattori A redusoituu tavalliseksi derivoinniksi eli mitään funktionaalista tässä ei enää ole. Lieneekö tästä kysymys?