Vastatkaa, oi gurut! Olen matikkakerhon vetäjän kanssa eri mieltä seuraavasta: osoita, että ellipsi on symmetrinen koordinaattiakselien ja ja origon suhteen.
Kuulema pitäisi päätellä näin. Kun ellipsi on x^2/a^2 y^2/b^2, ja yhtälössä x ja y esiintyvät vain nelöinä, niin (x_0,y_0) on jokin ellipsin piste. Tällöin myös pisteet (-x_0,y_0), (x_0,-y_0) ja (-x_0,-y_0) ovat ellipsillä, joten ellipsi on symmetrinen em suhteen.
Minun mielestäni tuota ei tarvitse osoittaa, vaan symmetrisyys sisältyy jo ellipsin määritelmään(polttosäteiden summa on vakio). Äh ja puh, olenko ymmärtänyt oikein?
Kuulema pitäisi päätellä näin. Kun ellipsi on x^2/a^2 y^2/b^2, ja yhtälössä x ja y esiintyvät vain nelöinä, niin (x_0,y_0) on jokin ellipsin piste. Tällöin myös pisteet (-x_0,y_0), (x_0,-y_0) ja (-x_0,-y_0) ovat ellipsillä, joten ellipsi on symmetrinen em suhteen.
Minun mielestäni tuota ei tarvitse osoittaa, vaan symmetrisyys sisältyy jo ellipsin määritelmään(polttosäteiden summa on vakio). Äh ja puh, olenko ymmärtänyt oikein?
Vastaukset 38
Vanhimmat
ellipsit ja hyperbelit ja parabelit voivat sijaita ihan missä tahansa ja missä tahansa asennossa.
Otetaan esimerkiksi yksikköympyrä, joka on oikeastaan ellipsi:
x^2 y^2 = 1.
Siirretään ympyrää lisäämällä x:ään 1 ja y:hyn 2:
(x 1)^2 (y 2)^2 = 1.
Eipä ole ellipsin keskipiste enää origossa eikä ellipsi symmetrinen akseleiden suhteen, joten polttosäteillä ei voi osoittaa asiaa suuntaan tai toiseen. Ne ovat ellipsin sisäinen ominaisuus, eivätkä ne kerro ellipsin sijainnista tai asennosta mitään.
Oikeastaan parempi kysymyksenasettelu voisi olla:
Onko kartioleikkauksen keskipiste origossa ja ovatko sen akselit koordinaattiakselien suuntaiset?
.. eihän tässä ollut kysymys ellipsin sijainnista tai asennosta, eikä muista kartioleikkauksista! Ihan vaan ellipsin perusmääritelmästä, ja tuon todistelun tarpeellisuudesta sen valossa. Kiitos kuitenkin tuosta infosta, jolle varmaan on käyttöä muussa yhteydessä [ehkäpä nokitan sillä kerhon vetäjää ;-), mutta mmutenkin].
Jos koordinaattiakselit ovat ellipsin akselit, niin sitten riittää yhden ellipsin tarkastelu.
Mistä tiedät, että ellipsi on symmetrinen? Sinä "näet" sen ellipsin määritelmästä? Sen on "pakko" olla, kun se on noin määritelty?
Minä arvelen, että tuossa etsitään hiukan syvällisempää asian olemusta. Sillä tiedolla, että ellipsi olisi piirrettävissä narulla ja kynällä, ei kovin pitkälle pötkitä matikassa. Ellipsin pinta-ala tai sen kaaren pituus jää ratkaisematta.
Tuossa tehtävässä varmaan haetaan sitä, että pystytään osoittamaan jotain ilman, että nähdään mitään kuviota tai tietoa siitä, mitä joku Aritoteles tai Pytagoras on asiasta lausunut.
Lyödään vain eteen joku otus, ja käsketään osoittaa jotain sen ominaisuuksista. Olisihan tehtävä voitu esittää aivan ilman mitään vihjettä siitä, onko kyseessä ellipsi, hyperbeli tai jotain aivan muuta.
Esimerkiksi tähän tapaan: Osoita, että kaikki käppyrät y = ax^2 bx c ovat samanmuotoiset.
"-- osoita, että ellipsi on symmetrinen koordinaattiakselien ja ja origon suhteen."
Tällaisenaan tehtävä ei oikein ole järkevä. Noin muotoiltua väittämää ei voida todistaa, sillä se ei ole totta. On ehkä ollut tarkoitus kysyä tällaista: osoita, että ellipsi x^2 / a^2 y^2 / b^2 = 1 on symmetrinen koordinaattiakselien ja origon suhteen.
Yleisesti ottaen ellipsit eivät ole symmetrisiä koordinaattiakselien tai origon suhteen. Jokainen ellipsi on kyllä symmetrinen oman pikku- ja isoakselinsa sekä keskipisteensä suhteen, ja tätä varmasti ajattelit, kun vetosit ellipsin määritelmään. Jokainen ellipsi ei kuitenkaan ole sijoittunut koordinaatistoon sillä tavalla, että pikku- ja isoakselit olisivat koordinaattiakseleilla tai keskipiste origossa.
Tätä yritti nimimerkki Gurggu selittää.
Itse en ole koskaan ymmärtänyt henkilöitä, joilla on koko ajan tarve kyseenalaistaa tehtävien "järkevyys". Törmään heihin töissä, vapaa-ajalla ja armeijassa aivan jatkuvasti ja mikään ei kyllä ole sen rasittavampaa. Mikä siinä voi olla niin vaikeaa, jos on annettu tehtävä, niin tehdään se niin kuin se on annettu, eikä aleta ensimmäisenä miettimään jotain muuta. Aivan väärä asenne koko touhuun, jos aina löytyy jotain huomautettavaa.
Minusta tuo matikkakerhon vetäjän tapa on eräs hyvä tapa osoittaa. Kunhan vaan tosiaan ymmärtää todella mitä kirjoittaa.
"Mikä siinä voi olla niin vaikeaa, jos on annettu tehtävä, niin tehdään se niin kuin se on annettu, --"
Nyt esitetty tehtävä oli sellainen, jota ei voi ratkaista. Oli pyydetty todistamaan jotakin, mikä ei ole totta. Sellainen tehtävä ei ole sen järkevämpi kuin tehtävä "syö miljoona kilogrammaa lakritsia".
Tehtävän sanamuodolla on selvästi ollut merkitystä, sillä ketjun aloittaja luuli, että tehtävässä voi soveltaa ellipsin yleisiä ominaisuuksia. Näin voisikin luulla, kun tehtävän virheellisessä sanamuodossa ei ellipsiä sidota mihinkään paikkaan koordinaatistossa. Tehtävän voi kuitenkin ratkaista vain, jos käsitellään ainoastaan ellipsejä, jotka sijaitsevat tietyssä paikassa ja tietyssä asennossa koordinaatistossa.
Taas vähän viisastuin. Luulin juuri niin kuin a-s-h kertoi minun luulleen. Meillä oli esillä vain kaunis ellipsi, jonka akselit leikkasivat origossa ja juutuin siihen kuvaan, eikä älli riitänyt yleistämään pidemmälle.
Sorry nyt, mutta vieläkin asia vähän askarruttaa. Eikös jonkinlaisilla muunnoksilla pystytä tasossa siirtämään mikä tahansa ellipsi minne tahansa, vaikka origokeskeiseksi siten, että pääakselit ovat koordinaatisuorilla? En oikein ymmärrä, miten sijainti voisi vaikuttaa määritelmästä tulevaan symmetriaan?
"Itse en ole koskaan ymmärtänyt henkilöitä, joilla on koko ajan tarve kyseenalaistaa tehtävien "järkevyys". "
Niin, esimerkiksi se, että apteekkari kyseenalaistaa lääkärin kirjoittaman reseptin: " Burana 800mg otetaan tarvittaessa 1-22 kpl 3-44 kertaa vuorokaudessa" (Lääkkeen nimi ja annostus muutettu alkuperäisestä reseptistä, mutta virhe oli vastaava).
"Mikä siinä voi olla niin vaikeaa, jos on annettu tehtävä, niin tehdään se niin kuin se on annettu"
Niin otetaan se 22*44 kpl (=484kpl) buranaa kerralla, koska niin oli "tehtävänannossa". Mitä sitä suotta kyseenalaistamaan tehtävää...
"Eikös jonkinlaisilla muunnoksilla pystytä tasossa siirtämään mikä tahansa ellipsi minne tahansa, vaikka origokeskeiseksi siten, että pääakselit ovat koordinaatisuorilla? En oikein ymmärrä, miten sijainti voisi vaikuttaa määritelmästä tulevaan symmetriaan? "
Kyllä voidaan siirtää. Mutta ei koordinaattiakselien suhteen symmetrisyys silti seuraa ellipsin määritelmästä. Piirräpä paperille joku ellipsi siten, että sen keskipiste on vaikkapa (5, 5). Huomaat heti, ettei ellipsisi ole symmetrinen origon eikä koordinaattiakselien suhteen. Sijainti siis todella vaikuttaa symmetriaan.
Tämä (5, 5)-keskinen ellipsi voidaan tietenkin siirtää origokeskiseksi, mutta onko se silloin enää sama ellipsi? Ei ole, sillähän on aivan eri yhtälökin. Alkuperäinen ja siirretty ellipsi ovat siis vain yhteneviä, eivät samoja.
Hyviä kysymyksiä! Hienoa, että olet kiinnostunut matematiikasta!
"hienoa, että on kiinnostunut matematiikasta"
Täydennykseksi matematiikasta toimeentulon lähteenä sitten aikuisiällä voi lukea sattumoisin alla olevan ketjun: http://keskustelu.suomi24.fi/node/8750227
Hyvä heitto!
Menipä pohtimiseksi, kun luin ketjun. Minusta tehtävässä ei ole vikaa, jos ei harhauduta joihinkin tiettyihin a:n ja b:n arvoihin, vaan pysytään ellipsin yleisessä määritelmässä. Lukiotyttö on tehnyt hyvän oivalluksen. Varmasti ellipsi on symmetrinen suorakulmaisten koordinaatiakseliensa ja origon suhteen. Ajatellaan siis ellipsinä käsitteenä _määritelmän mukaan_.
Vaikka siirrossa yhtälö tietysti muuttuukin, niin _yhdenmuotoisuus_ säilyy. Eikä haittaa sekään, vaikka ellipsiä pullistettaisisin tai laihdutettaisiin, kunhan se täyttää ellipsin perusmääritelmän.
Eikä tarvitse ellipsiäkään siirtää, vaan voimme antaa ellipsin ikäänkuin jököttää paikallaan ja siirttää suorakulmaisen kordinaatiston ellipsin akseleiden mukaisiksi origo ellipsin keskipisteessä. Määritelmän mukaan symmetria on itsestäänselvyys.
(Tämä alias Lukiotyttö on muistaakseni pari kertaa ennekin tehnyt hyvin oivaltavia kysymyksiä ja ratkaisi vihjeiden perusteella muistaakseni jonkun parabeliin liittyvän tehtävän, joka oli todella vaikea. Selvää matematiikkoainesta, niin kuin tämäkin kysymys osoittaa. Tsemppiä matikassa!)
"Minusta tehtävässä ei ole vikaa, jos ei harhauduta joihinkin tiettyihin a:n ja b:n arvoihin, vaan pysytään ellipsin yleisessä määritelmässä. Lukiotyttö on tehnyt hyvän oivalluksen. Varmasti ellipsi on symmetrinen suorakulmaisten koordinaatiakseliensa ja origon suhteen. Ajatellaan siis ellipsinä käsitteenä _määritelmän mukaan_."
Tehtävässä käskettiin osoittaa symmetrisyys koordinaattiakselien ja origon suhteen. Koordinaattiakselit ovat x- ja y-akseli, ja origo on näiden leikkauspiste. Ei ole olemassa "ellipsin koordinaattiakseleita" tai "ellipsin origoa" kuten näytät ajattelevan. Jos olisi pyydetty osoittamaan ellipsin sisäinen symmetria, olisi tehtävä kuulunut "osoita, että ellipsi on symmetrinen iso- ja pikkuakselin ja keskipisteen suhteen" tms.
Eli kyllä tehtävässä on vikaa.
"Määritelmän mukaan symmetria on itsestäänselvyys."
Ei ellipsin sisäinen symmetriakaan minusta aivan itsestäänselvää ole. Kyllä siinä parit yhtenevät kolmiot saa piirtää, ennen kuin pääsee määritelmästä kiinni symmetriaan.
"Selvää matematiikkoainesta, niin kuin tämäkin kysymys osoittaa."
Sain ihan saman mielikuvan. On tosi harvinaista, että törmää nuoriin, jotka haluavat pohtia matemaattisia ongelmia. Hieno juttu!
"On tosi harvinaista, että törmää nuoriin, jotka haluavat pohtia matemaattisia ongelmia"
Olen samaa mieltä, mutta tässä on ongelmansa. Ihmiset eivät yleensä ajattele ja ajatteleva yksilö joutuu jatkuvasti tyhmempiensä kanssa "keskusteluihin" asioista. Yliopistossa monet assarit ovat tyhmiä kuin halko, pienikin ajattelukysymys herättää lähinnä vastareaktion ("olet tyhmä"), joskin poikkeuksiakin on. Mitä pidemmälle etenee, sitä harvempaan nämä tapaukset tuntuvat jäävän, mutta on heitä proffissakin (aika harvassa tosin).
Ajattelu ei tässä yhteiskunnassa kannata ja akateemisessakin maailmassa se usein hankaloittaa asioita.
Aika karrikoiden ilmaistu. Itseäni ja luultavasti kaikkia matematiikkaa opiskelevia viehättää ainakin jossain määrin ongelmien pohdiskelu.
Taidat itsekin karrikoida, koska oletat kaikilla olevan samoja motivaatioita kuin sinulla.
Fakta tuntuu kuitenkin olevan, että ihmiset ovat nykyään enemmän opetettuja kuin oppineita. Harva jaksaa miettiä tuputettua tavaraa syvemmin vaan kaikki niellään sokeana ja jos joku erehtyy kysymään jotain taustamotivaatiosta, on helppoa nostaa tyhmä-kortti esiin.
Minulla on ollut yläasteajoista lähtien taipumusta kysellä. Lukiossa ja yliopistossa vastaukset kysymyksiin ovat esitetty seuraavalla tunnilla ja vastaavasti seuraavissa laskuharjoituksissa. Ei siinä ketään tyhmäksi leimattu, ehkä se on vaan heillekin yllättävä tilanne, jos joku kysyy yllättäviä kysymyksiä.
Mistä tämä asenteesi on peräisin?
"Fakta tuntuu kuitenkin olevan, että ihmiset ovat nykyään enemmän opetettuja kuin oppineita." Totta runsaasti toinen puoli :)
Matematiikka vain ei ole paras oppiaine ja aihepiiri aktiivin kriittisyyden harjoitteluun.
Suurin vaiva joskus on saada selville, mitähän (harj.tehtävässä esim.) oikeastaan halutaan tai on ajateltu haluttavan; matematiikka itsessään on kohtalaisen mustavalkoista. Elikkä epämääräisyys on usein kieliperäistä tai tehtävässä on unohtunut 'maalata ne puitteet', missä on tarkoitus liikkua (eli on repäisty irralleen 'juuriltaan'). Lienee tässäkin vain ajateltu, miltä ellipsi havaintokuvana näyttää ja silloinhan on luontevinta laittaa se keskipiste origoon ja akselit xy-akselien suuntiin.
Toinen kysymys on mahdollisesti filosofisempi. "Määritelmän mukaan"...riittääkö ns.silmämääräisyys vai ei. Eikö voi suoraan uskoa, että ympyrä on symmetrinen vai pitääkö alkaa tutkimaan sen analyyttistä esitystä koordinaatistossa ja vasta sitä kautta (lausekkeesta) vakuuttua, että on symmetrinen. Eikös ellipsi ole loogisesti sama juttu. Tieteissä on usein eri koulukuntia, niin saisko tästäkin aikaiseksi koulukuntakiistelyn 8| Pitäähän se symmetrisyys itsekin jotenkin määritellä, koska käsitettä käytetään monissa eri matematiikan yhteyksissä. Tässähän on nyt kyse alkeis- (taso) geometrian kuvioiden muodoista.
Tarkoitat sitä, että kartan kysymistä? Se on ihan opittu tapa, vähemmällä pääsee kun ei kysy. Tai ehkä tarkemmin sanoen, kun tietää kysyä oikeilta ihmisiltä.
Voi tietysti olla, että onnistuin aina kysymään jotenkin provosoivasti ja sain vastareaktion. Tarkoitus se ei kuitenkaan ole ollut.
Nyt kun mietin asiaa tarkemmin, niin jakto-opintotasoisilla kursseilla kysyin aktiivisemmin. Yleinen ilmapiiri oli jotenkin "pohtivampi" kuin aiemmin. Ihmiset olivat myös miettineet asiat tarkemmin läpi, kun taas aiemmin asetelma on ollut "tässä totuus, soveltakaa" (teknillisellä puolella) ja kai se meni opetuksesta ohi kun kysyin tuosta "totuudesta" enkä soveltamisesta.
perustuksella luin ketjun ja osaanko tukita, mutta vastausta alkuperäiseen kysymykseen ei tainnut tulla.
Kärjistäen: piirretään ympyrä, niin eikö se ole pyöreä (symmetrinenkin samalla) jo määritelmänsä perusteella. Vai tuleeko pyöreys (nykymatemaatikolle) uskottavaksi vasta analyyttisen lausekkeensa (keksitty mat.historiassa myöhemmin kuin ympyrä sinänsä) tarkastelun kautta. Voi toki sitäkin tehdä lisänä, jos haluaa, mutta pitääkö, jos pelkästään muodon symmetrisyydestä kysymys?
Tämähän lienee aloittajan kysymyksen idea. Ja myös nimim.maallikko ketjussa kysyy tätä. Ei ellipsi muuttane tilannetta, sehän on vain yleisempi, 'kahden keskipisteen' ympyrä, säteiden summa vakio.
Toisaalta ja asian vierestä: lyhyissä koulukursseissa tyydytään joskus vain ns.oikealta näyttäviin todistuksiin; yksi esimerkki lienee ympyrän pinta-ala. Onko täysin vedenpitävä todistus asialle vasta integraalikäsitteen avulla, korjatkaa jos käsitys väärä. Eli joidenkin 'arkisten' asiain pitävä todistus onnistuisi toisinaan vasta 'ylempien sfäärien' kautta. Ympyrän ympäriltä: esim. piin kaltaisten irrationaalilukujen ja rationaalilukujen suhtautuminen toisiinsa; sanotaan että piin kaltaisia on ns.enemmän kuin rat.lukuja, vaikka molempia erikseenkin on rajaton määrä. Tuollaiset jutut eivät ole välittömästi järkeenkäypiä ja ilmeisiä (kuten alkukysymys), joten vasta pitäviin mat.teorioihin perustuvan todistuksen kautta niihin voi uskoa. Minkähän sfäärin avulla tuokin näytetään :)
(ps. itse asiassa todistuksen kulku lienee hyvinkin ymmärrettävissä, perus joukko-oppia..)
"-- vastausta alkuperäiseen kysymykseen ei tainnut tulla."
Vastaus tuli nimimerkin Gurggu aivan ensimmäisessä viestissä: "-- polttosäteillä ei voi osoittaa asiaa suuntaan tai toiseen." Lisäksi kannattaa lukea, mitä olen tehtävänannon epäselvyydestä kirjoittanut.
Niin, tarkoitus on, ettei pitäydy tai suojaudu mekaanisesti puutteellisuuden takana, vaan pitää yrittää ajatella ns.positiivisesti. Luulen, että aloittajakin tästä suhtautumistavasta eniten pitäis :)
Kai itse kirjoittamasi lausekin ilmentää sitä: "Tehtävän voi kuitenkin ratkaista vain, jos käsitellään ainoastaan ellipsejä, jotka sijaitsevat tietyssä paikassa ja tietyssä asennossa koordinaatistossa."
Tästä vois lähteä. Ja ellipsihän ei lakkaa olemasta ellipsi, vaikka unohtaisit koko koordinaatiston!
Kuten yllä muutenkin on huomattu, muotovajavaisuudet tehtävissä ovat yleisimmin kielimokia tai kommunikaation puutetta, ja koulutilanteissa ne on helppo täsmentää. Tärkeintä on, että itse asia selkenisi johonkin suuntaan eri muotovenkoiluista huolimatta.
Positiivinen ajattelu on hyvä idea. Toivon, ettei viesteistäni sentään saa käsitystä täysin pessimistisestä tyypistä =)
"Tärkeintä on, että itse asia selkenisi johonkin suuntaan eri muotovenkoiluista huolimatta."
Me emme täällä voi tietää, mitä opettaja oikeasti tarkoitti kysyä, joten itse asiaa on tosi vaikea luotettavasti selventää. Keksin seuraavat kaksi vaihtoehtoa sille, mikä kysymyksen ehkä piti olla. Muita vaihtoehtoja en keksi, ehkä niitä ei olekaan.
(1) "Osoita, että ellipsi x^2/a^2 y^2/b^2 = 1 on symmetrinen koordinaattiakselien suhteen".
(2) "Osoita, että ellipsi on symmetrinen iso- ja pikkuakselinsa suhteen."
Vaihtoehdossa (1) helpoin ratkaisu on varmaankin opettajan esittämä. Ellipsin määritelmän käyttäminen on nähdäkseni tarpeettoman pitkä konsti.
Vaihtoehdossa (2) opettajan metodi ei toimi, ja ellipsin määritelmän käyttäminen on ainoa kelvollinen vaihtoehto.
"Ja ellipsihän ei lakkaa olemasta ellipsi, vaikka unohtaisit koko koordinaatiston!"
Totta, mutta silloin se lakkaa olemasta symmetrinen koordinaattiakselien ja origon suhteen.
Lähdetään siitä ellipsin määritelmästä, että sen kehän pisteen X etäisyyksien summa polttopisteistä F1 ja F2 on vakio s.
Ellipsin toinen akseli on suoralla, joka kulkee polttopisteiden kautta. Keikautetaan kolmio (F1, F2, X) suoran
(F1, F2) ympäri samaan tasoon, niin että piste X joutuu pisteeseen X'. Silloin tietysti etäisyyksien summa pisteestä X' polttopisteisiin on myös s, joten piste X' on ellipsin kehällä. Näin ellipsi on symmetrinen polttopisteiden kautta kulkevan suoran suhteen.
Olkoon O piste joka on janan (F1, F2) keskipiste. Valitaan piste X" suoralta (X,O) siten, että etäisyys (X",O) = etäisyys (O, X). Syntyy suunnikas (F2, X, F1, X"), koska lävistäjät puolittavat toisensa. Silloin tietysti taas todetaan, että etäisyyksien summa pisteestä X" polttopisteisiin on s. Siis piste X" on ellipsin kehän piste, joka on symmetrinen O:n suhteen pisteen X kanssa.
Vielä on osoitettava, että ellipsi on symmetrinen pikkuakselin suhteen, joka on janan (F1, F2) keskinormaalilla. Pyöräytetään kolmio (F2, X, F1) e.m. keskinormaalin ympäri sen toiselle puolelle, jolloin piste X tulee pisteeseen Z. Konstruktion perusteella Z on symmetrinen pisteen X kanssa e.m. keskinormaalin suhteen. Edelleen kolmio (F2, Z, F1) on yhteneväinen alkuperäisen kolmion kanssa. Siis pisteen Z etäisyyksien summa polttopisteisiin on taaskin s, joten Z on ellipsin kehän piste.
sqrt2-nimimerkki ymmärsi yskän :)
Eli lukiessani tehtävää kiinnitin huomion, miksi geometrisen muodon symmetrisyys (tässä ellipsi) "pitäisi" osoittaa erityisesti analyyttisen esityksensä perusteella. Tietenkin opettajalla voi olla pistämätön ässä hihassaan: "no kun analyyttinen geometria oli oppitunnin aiheena..."
Palataan ongelman alkupisteeseen takaisin: jos ajatellaan ympyrää, tarvitseeko sen symmetrisyyttä erityisemmin todistella. Voisiko ajatella, että ellipsi myös (määritelmänsä perusteella) olisi yhtälailla intuitiivisesti niin selvä, että se vertautuisi ympyrään. Asian yksinkertaisuuden voi todeta myös tuosta yo.geometrian tarkastelusta.
Elikkä aloittajan varsinaisen kysymyksen henkihän oli: "tarvitseeko tämänluonteista asiaa ylipäätään erityisesti todistaa...?"
Sanotaan tähän nyt jatkoon, että mikä sitten on intuitiivisesti selvä. Miksi ellipsin 'profiili' ei voisi olla hivenen kananmunan muotoinen.. :)
Miten se todistetaan ellei analyyttisen esityksen perusteella? Algebrallisestihan se on määritelty.
Toisaalta, onko origokeskeinen yksikköympyrä symmetrinen pisteen (0,0.1) suhteen?
ellipsin lähtökohtainen määritelmä näkyy olevan alussakin: "polttosäteiden summa vakio" ja geometrinen todistelu löytyy yllä. Ympyrä: (tasossa) niiden pisteiden ura, jotka ovat yhtä etäällä kiinteästä pisteestä (keskipiste). Tottahan eri geometrisille kuvioille koordinaatistossa on johdettu lausekkeensa, mutta suoria, kolmioita, neliöitä jne on olemassa geometrisina kuvioina ihan muutenkin. Koordinaatistoon piirrettynä ei niiden alkuperäiset geometriset ominaisuudet mihkään katoa, ne algebralliset lausekkeet ovat vain ekstraa, kun halutaan laskeskella niillä "digitaalisesti". Esim. "luomuympyrä" voisi olla vaikka harpilla paperille piirretty, minkä säde on 1 jotain mittaa. Sitten kun tarvitset siitä digitaalisen esityksen niin käytät kaavaa x^2 y^2=1.
Geometrisen kuvion symmetrisyydellä tarkoitetaan yleensä sitä, että kuvion jotkut osat, "puoliskot" ovat yhteneväisiä joltain suoralta katsottuna. Asettamalla peilin suoralle, alkuperäinen ja peilikuva yhtyvät. Onko symmetrisyyttä jonkun kuvion keskeltä syrjässä olevan pisteen suhteen, niin saat itse määritellä, mitä sellaisella symmetrisyydellä haluat oikeastaan tarkoittaa.
"-- jos ajatellaan ympyrää, tarvitseeko sen symmetrisyyttä erityisemmin todistella."
Ei kukaan ole väittänyt, että tarvitsee. Ei opettaja ellipsin symmetrisyydelle todistusta pyytäessään varmasti hetkeäkään epäillyt, etteikö se symmetria olisi oppilaillekin aivan ilmeistä. Hän vain tiesi, että symmetrian perusteleminen on hauska ja opettavainen harjoitustehtävä, ja kysyi asian oppilaita sivistääkseen.
Itsestäänselvyyksiä ei tarvitse perustella. Sehän toki tuppaa vaihtelemaan, mitä kukakin itsestään selvänä pitää.
"Eli lukiessani tehtävää kiinnitin huomion, miksi geometrisen muodon symmetrisyys (tässä ellipsi) "pitäisi" osoittaa erityisesti analyyttisen esityksensä perusteella."
Toistan itseäni: Siksi se pitäisi osoittaa analyyttisen esityksen perusteella, että alkuperäinen kysymys oli "osoita ellipsi symmetriseksi koordinaattiakselien ja origon suhteen" eikä "osoita ellipsi symmetriseksi omien akseleittensa ja keskipisteensä suhteen". Jos unohdat koordinaatiston, ei ole koordinaattiakseleita ja origoa, joiden suhteen symmetrisyyttä tutkia.
"Onko symmetrisyyttä jonkun kuvion keskeltä syrjässä olevan pisteen suhteen, niin saat itse määritellä, mitä sellaisella symmetrisyydellä haluat oikeastaan tarkoittaa."
No, ei sitä tarvitse nimimerkin Kunhan mietin mitenkään itse määritellä. Käyrän symmetrisyys pisteen P suhteen tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että jos piste A on käyrällä, niin käyrällä on myös A:sta eroava suoran AP piste B, jolla |BP| = |AP|.
Symmetria "ulkopuolisen" pisteen suhteen (pistesymmetria) tuottaisi ns.heijastekuvan viereensä ja sitähän ei tuossa esimerkissä tietenkään ollut. Siitä epämääräisyys :)
"Itsestäänselvyyksiä ei tarvitse perustella. Sehän toki tuppaa vaihtelemaan, mitä kukakin itsestään selvänä pitää. "
Aloittajan kysymyksestä poimittu:
Minun mielestäni tuota ei tarvitse osoittaa, vaan symmetrisyys sisältyy jo ellipsin määritelmään(polttosäteiden summa on vakio). Äh ja puh, olenko ymmärtänyt oikein?
OIkeastaan nämä kaksi lausumaahan tässä on vastakkain-- ja onko ne edes kovin vastakkain :)
Eli ajattelen tässä jutustelussa Sinunkin esittämääsi toista vaihtoehtoa
"osoita ellipsi symmetriseksi omien akseleittensa suhteen",
koska kuvion symmetrisyys on erillinen ominaisuutensa (ei riipu koordinaatistosta), joten koordinaateista puhumisen voisi (erityisesti, jos huomio on vain symmetriassa) tulkita vaikka 'infosaasteeksi'... 8| (mitä lie yllä puhuttu luonnollisen kielen olemuksesta :)
Sanot: symmetrian perusteleminen on hauska ja opettavainen harjoitustehtävä"
Miksi hauskaa tehtävää pitäisi häiritä symmetriaan sinänsä liittymättömillä koordinaateilla; siitä näkökulmastahan, tietty, symmetria on mahdollista toteutua vain jos kuvio 'läimästään' origoon..
Sitten kun näin tehdään, tottahan opettaja on perin juurin oikeassakin; monet asiat (isommat kuin tällaiset 'leikkijutut') ovat itse asiassa helpommin osoitettavissa matemaattisen analyysin kautta kuin jollain ns.luomusysteemillä. Taisin itsekin höpistä ylempänä jotain ympyrän pinta-alan todistamisesta esimerkiksi...
"Eli ajattelen tässä jutustelussa Sinunkin esittämääsi toista vaihtoehtoa
"osoita ellipsi symmetriseksi omien akseleittensa suhteen",
koska kuvion symmetrisyys on erillinen ominaisuutensa (ei riipu koordinaatistosta), joten koordinaateista puhumisen voisi (erityisesti, jos huomio on vain symmetriassa) tulkita vaikka 'infosaasteeksi'..."
Näinhän se on: jos pohditaan tehtävää "osoita ellipsi symmetriseksi akselelittensa (ja keskipisteensä) suhteen", niin koordinaateista puhuminen on tosiaan turhaa.
Näistä kahdesta tehtävävaihtoehdosta (siis koordinaatistoton versio ja sitten ellipsin x^2 / a^2 y^2 / b^2 = 1 käsittely) edellinen on kyllä lukiolaiselle huomattavasti vaikeampi. Geometria on niin niukassa roolissa nykylukiossa, että ellipsejä ja hyperbelejä ei välttämättä käsitellä edes määritelmän vertaa. Analyyttisen geometrian puolella saattaa tulla vastaan ellipsejä ja hyperbelejä mutta ei välttämättä sielläkään. Myös symmetrian käsite on jotain, mikä on pitänyt oppia peruskoulun puolella tai sitten kuvataiteen tunneilla. Matematiikassa siitä ei liiemmin puhuta.
Täällä on oltu ketjun aloittajasta alkaen sitä mieltä, että ellipsin sisäinen symmetria on ilmeinen seuraus ellipsin määritelmästä. Kalle Väisäläkin kuulemma oli sitä mieltä. Sitä en epäile, etteikö asia sinänsä olisi kaikkien luonnollisesti hyväksymä, mutta kyllä sen todistaminen olisi monelle lukiolaiselle mahdottoman vaikea urakka. Nimimerkillä 1.4142136:kin meni asiaan kolme keskipitkää kappaletta, varmaan toistakymmentä virkettä siis.
Jos aikoisin itse käsitellä lukiolaisten kanssa ellipsin mahdollisia symmetrioita (ja ajankäyttötilanne olisi se, mikä se nykyään on), pitäytyisin varmaankin koordinaatistoversiossa.
"..symmetrinen origon suhteen"?
Symmetrisyys pisteen suhteen on hieman omanlaisensa juttu. Asian voi havainnollistaa vaikkapa valokuvauksen (ja kameran) avulla: on 'irl-kuva', kameran aukko ja tulos filmillä, eli lähtökuva, piste ja peilauskuva. Pistesymmetria taidetaan (koulu)geometriassa määritellä niin (kuten ylempänä teitkin), että skaalautumista (mittakaavan muutosta) ei tapahdu, vaan lähtökuva ja peilauskuva samankokoiset. Puhutaan, että kuviot (monikossa!) ovat symmetriset pisteen suhteen.
Jos pistettä aletaan siirtää lähtökuvan 'keskelle', peilauskuva siirtyy myös ja voi lopulta käydä niin, että kuviot menevät päällekkäin, yhtyvät; silloin sanotaan, että kuvio on "itsensä kanssa symmetrinen pisteen suhteen". Tätä tilannetta tarkoittaen voidaan sopia (on kai sovittukin) puhetavasta, että "kuvio on symmetrinen pisteen suhteen".
Kun yleisesti yksittäinen kuvio ja piste sijaitsevat mielivaltaisesti jossakin, niin tuntuu hassuhkolta tavalta kysyä: "onko kuvio symmetrinen pisteen suhteen", koska yleisesti pistesymmetrian elementit ovat kuvio, piste ja toinen kuvio (peilauskuva). Tällä muotoa yllä kysyttiinkin :) Intuitio sanoo, että tällöin jotain lisäselvitystä mahdollisesti tarvitaan. Voidaanko ilmaisun omituisen sivuvivahteen poistamiseksi olettaa, että piste (symmetriakeskus) ajatellaan ('automaattisesti' ellei erityisesti muuta mainita) sijoitetuksi kuvion ns.keskustaan ja origoon myös, jos koordinaatisto on mukana. Silloin (sovittuun tapaan viitaten) voidaan sanoa "kuvio on/ei ole symmetrinen pisteen/origon suhteen". Ellei tällaista olettamusta tehtäisi, vastaus kysymykseen "onko kuvio symmetrinen origon suhteen" olisi aina triviaalisti ei. Mitä virkaa tuollaisilla tehtävillä olisi.
Esimerkkinä ympyrä, neliö ja vaikkapa kuusisakarainen tähti ovat symmetrisiä origon/keskuspisteensä suhteen. Voit miettiä, olisiko esim. viisikanta (viisisakarainen tähti) symmetrinen samalla tavoin vai...
Havaitaan, että symmetrisyydellä suoran ja toisaalta pisteen suhteen on hieman eri ominaisuuksia. Osa yo.geometrisesta todistuksesta on pistesymmetrian tarkastelua. Näin kuuluu tehdä, jos sitä kysytään. Joskus kuvion algebrallinen lauseke on niin 'osuva' (kuten ellipsin tapauksessa), että molempien symmetrioiden osoitus käy lausekeesta samalla kertaa. Monen muunkin asian osoitus lauseke-esitysten kautta käy kätevästi, sitä ei voi kieltää.
"Asian voi havainnollistaa vaikkapa valokuvauksen (ja kameran) avulla: on 'irl-kuva', kameran aukko ja tulos filmillä, eli lähtökuva, piste ja peilauskuva."
Tässä menee nyt kaksi erilaista käsitettä sekaisin. Tämä siis ei ole esimerkki symmetriasta pisteen suhteen vaan homotetiasta.
"Pistesymmetria taidetaan (koulu)geometriassa määritellä niin (kuten ylempänä teitkin), että skaalautumista (mittakaavan muutosta) ei tapahdu, vaan lähtökuva ja peilauskuva samankokoiset."
Niin, mitään skaalautumista ei saa tapahtua, tai kyse ei ole symmetriasta (vaan homotetiasta). Tästä seurauksena on tietty se, että kuvioiden vastinpisteet ovat tismalleen yhtä etäällä symmetriakeskipisteestä.
"-- sanotaan, että kuvio on "itsensä kanssa symmetrinen pisteen suhteen". Tätä tilannetta tarkoittaen voidaan sopia (on kai sovittukin) puhetavasta, että "kuvio on symmetrinen pisteen suhteen"."
Kyllä, juuri näin on: kun sanotaan "kuvio on symmetrinen" tarkoitetaan "kuvio on itsensä kanssa symmetrinen"
"-- tuntuu hassuhkolta tavalta kysyä: "onko kuvio symmetrinen pisteen suhteen", koska yleisesti pistesymmetrian elementit ovat kuvio, piste ja toinen kuvio (peilauskuva)."
Tällöin tarkoitetaan kysymystä "onko kuvio itsensä kanssa symmetrinen pisteen suhteen". Näin oletit itsekin tuossa edempänä.
"Voidaanko ilmaisun omituisen sivuvivahteen poistamiseksi olettaa, että piste (symmetriakeskus) ajatellaan ('automaattisesti' ellei erityisesti muuta mainita) sijoitetuksi kuvion ns.keskustaan ja origoon myös, jos koordinaatisto on mukana."
Ei voida. Kaikilla kuvioilla ei ole yksikäsitteistä keskipistettä. Jos taas koordinaatisto olisi mukana, olisi tällainen sopiminen tietty mahdollista (onhan koordinaatistolla aina origo), mutta sitten emme enää voisi tutkia symmetriaa minkään muun pisteen kuin origon suhteen.Tämä ei tunnu järkevältä.
"Ellei tällaista olettamusta tehtäisi, vastaus kysymykseen "onko kuvio symmetrinen origon suhteen" olisi aina triviaalisti ei."
Ei sentään. Miksi olisi? Vastaus on kyllä, jos kuvion symmetriakeskipiste sattuu sijaitsemaan origossa. Esimerkiksi ympyrä x^2 y^2 2x = 0 ei ole symmetrinen origon suhteen mutta ympyrä x^2 y^2 = 1 on.
"Esimerkkinä ympyrä, neliö ja vaikkapa kuusisakarainen tähti ovat symmetrisiä origon/keskuspisteensä suhteen. Voit miettiä, olisiko esim. viisikanta (viisisakarainen tähti) symmetrinen samalla tavoin vai..."
Nyt pitää olla tosia tarkkana, milloin puhuu symmetriasta origon suhteen ja milloin symmetriasta keskipisteen suhteen. Ympyrä, neliö ja se Daavidin tähti todella ovat symmetrisiä keskipisteensä suhteen mutta *eivät* ole symmetrisiä origon suhteen, jos niitä ei ole satuttu piirtämään koordinaatistoon niin, että keskipiste osuu origoon. Ei ole mitään kummallista siinä, että kuvio on symmetrinen jonkun pisteen suhteen mutta on epäsymmetrinen jonkun toisen pisteen suhteen. Esimerkiksi jokainen neliö on symmetrinen keskipisteensä suhteen mutta mikään neliö ei ole symmetrinen kärkipisteensä suhteen.
Kaivoinpa kätköistäni K. Väisälän teoksen Algebran oppi- ja esimerkkikirja II, pidempi kurssi, WSOY 1966.
Sivulla 56 on esitetty täsmälleen sama todistus, jonka matikkakerhon vetäjäkin on esittänyt. Sitten todetaan sanatarkasti "Ellipsi on siis symmetrinen koordinaattiakselien ja origon suhteen, mikä muuten on selvää jo itse ellipsin määritelmän perusteella". Sivulla 55 kyllä sanotaan, että esitetty ellipsin yhtälön johtaminen koskee tapausta, jossa polttopisteet ovat x-akselilla ja y-akseli on polttopisteiden rajoittaman janan keskinormaali. Olisiko Kalle Väisälälle sattunut lapsus, sillä tuohan ei edellytä, että ellipsi olisi origokeskeinen?
Kun Lukiotyttö kertoi toisessa viestissään, että tehtävään liittyi kuva, jossa ellipsi on origokeskeinen ja sen akselit yhtyvät x- ja y-akseleihin, hän on täysin oikeassa siinä, että symmetrisyys tässä tapauksessa on ellipsin määritelmän mukainen itsestäänselvyys. Kuten joku totesikin, yleinen symmetriaominaisuus ei riipu koordinaatistosta: ellipsi on symmetrinen, lätkäisipä sen mihin päin koordinaatistoa tahansa, kunhan polttosäteiden summa polttopisteestä on vakio (eli kuvio on määritelmän mukaan ellipsi).
Ei nuoriso matematiikan suhteen suinkaan toivotonta ole, kun joku lukiotyttökin saa aikaa tällaisen keskustelun perusasioista! Saanen muuten suosittelella tuota vanhaa K. Väisälän oppikirjaa yo-kirjoituksiin preppaajille: siitä löytyy todella "inhottavia" tehtäviä.
Laitan jutun tänne perään, vaikka on osin vastausta a-s-h:lle.
- valokuvaus -> homotetia: toki, havainnollistaa silti hyvin, mistä on kysymys.
- "Kaikilla kuvioilla ei ole yksikäsitteistä keskipistettä"
- "Esimerkiksi ympyrä x^2 y^2 2x = 0 ei ole symmetrinen origon suhteen mutta ympyrä x^2 y^2 = 1 on"
- "Nyt pitää olla tosia tarkkana, milloin puhuu symmetriasta origon suhteen ja milloin symmetriasta
keskipisteen suhteen. "
Pistetäänpä väliin löysempääkin tarinaa, niin hahmottuu koululaislukijoille, mitä tässä pähkäillään :)
Kyse ei ole niinkään oikeasta taikka väärästä, vaan miten asioita halutaan eri kanteilta nähdä.
Olkoon esimerkkinä taidetalossa taulu nimeltään "Symmetria" ja kuva-aiheena yllä mainittu Daavidin tähti.
Voidaan selvästi (itsestäänselvyytenä?) nähdä yhteys (symmetriakäsite) taulun nimen ja sisällön välillä.
Harvemmin taulun esitetekstiin liitetään 'tarkkoja' vieraita varten huomautus "Itse asiassa teos ei ole useankin, mm.raaminsa nurkkapisteiden suhteen symmetrinen...", vaikka tottahan se on jos mikä
(matemaatikon mielestä ainakin)! Useimmat taidenauttijat tulkitsevat ilmeiset säännöllisyydet totuttuun tapaan 'järjellisesti' (jonkin keskuspisteensä tai -suoransa suhteen kaiketi, jos sellaisia siellä ylipäätään ajattelee löytyvän).
Vastaavalla tavalla (vapaasti ajatellen) on symmetriatarkasteluissakin järkevää laittaa koordinaatistokin (jos
tarpeen) mahdollisimman edullisesti kuvion 'päälle'.
Tulee tässä mieleen olio-ohjelmoinnin filosofia ja sen mukainen näkökulma. Jos ohjelmoisin ellipsin olioksi oliokirjastoon, niin laittaisin kai ellipsin keskuspisteen suurempia ajattelematta origoon (arvoisa klassikko Väisäläkin on edellisen mukaan tämä periaate mielessä kirjoitellut; lienee tuttu useimmille nyt eläkeiässä oleville lukiomatikkaa lukeneille :) Sitten kun tuota oliota ylemmältä tasolta kutsutaan (viedään 'ulkoavaruuteen') , kytkennät ulkomaailmaan luodaan vasta sitten, (tarvitaan ehkä transformaatioita (skaalaus, kierto ym)), sen sijoittamiseksi ulkomaailmassa tarvittavalle paikalleen.
Aloittajan lause jostain alkupuolelta:
"En oikein ymmärrä, miten sijainti voisi vaikuttaa määritelmästä tulevaan symmetriaan?"
Ellipsin määritelmästä pääsee vain siihen itseensä (nyk.olio-ohjelmoinnin näkökulma). Ja ellipsin määritelmähän on tunnettu matikan historiassa jo ennen kuin analyyttisiä lausekkeita on edes keksittykään. Ei lie ollut 'analyyttisiä vaikeuksia' suuremmalti. Ajattelemasi vaikeus tulee mukaan sitten, kun olio laitetaan johonkin ulkoiseen koordinaatistoon (muualle kuin origoon). Silloin tulee mukaan tuo edellä kuvattu tauluefekti: maalaisjärjellä katsellen kuvio on monien mielestä edelleen jollain tapaa symmetrinen, mutta matemaattisia pykäliä tulkiten symmetrisyydestä (ulkoiseen koordinaatistoon nähden siis) välttämättä ei ole haisuakaan... Ps. ottakaa höpinänä, oikesti matematiikka on faktaa :))
Väännetäänpä ketjun alun osalta rautakauppa-analogia (huviksi ja hyödyksi :) henkilöt: asiakas, kauppias
- päivää
-..no ?
- oisko viiden millin nupinauloja, puolen tusinan satsi..
- tuota...
- ?
- ei oo
- onkos niitä nupinauloja sitten.. muuten..
- ?
- niinku ylipäätään..
- hmm..
- ?
- tusinan pusseja vois olla jossain..
- jos löytyis niitä..
- öö..tuota.... mutta ettehän te niitä kysyneet
- ??
- kysyitte puolen tusinan satsia
- jospa niissä tusinankin pusseissa sattuis..
- puolen tusinan satsia kysyitte... mitä tässä penkomaan mitä ette kysyneet
- ..tä?
- niin?
- eh...öö... onko tää jotain vitsiä vai...ootteko jotenkin.. pölvästi??
- !.. vai pölvästi... satutteko muuten tietämään kenen tavaroita nämä on?
- mutta tehän myytte niitä?!
- myyn... niin... myyn jos myyn,. ne on MINUN jos tahdotte tietää... tulla nyt kadulta mellastamaan..
- ???
- NII-I...
- .voi AUTUAAT PÄSSIT !!
- !!..pässit??##.. jos jokin on jämpti niin yhtäkään nupia teille en myy..se on varma... ULOS siitä!!
- .... aha...joo, joo.... selväksi tuli ... puoli tusinaa nupia teiltä EI löydy.... kiitoksia... kiitoksia tiedosta... oikein paljon kaikille!!
- grrrrr....