Pitäis tälläinen integroida:
∫ ((lnx)^2 1)/x dx
Sana itse tähän asti:
∫(lnx)^2 /x dx ∫1/x dx = ∫(lnx)^2 /x dx lnx C
Voisko joku integroida ton etuosan tosta välivaiheineen mulle? Vastaukseks pitäis saada ((lnx)^3) / 3 lnx C
∫ ((lnx)^2 1)/x dx
Sana itse tähän asti:
∫(lnx)^2 /x dx ∫1/x dx = ∫(lnx)^2 /x dx lnx C
Voisko joku integroida ton etuosan tosta välivaiheineen mulle? Vastaukseks pitäis saada ((lnx)^3) / 3 lnx C
Vastaukset 8
Vanhimmat
∫ [ (ln x)² / x ] dx
u = ln x
du = (1 / x) dx
∫ u² dx = u³ / 3 C = (ln x)³ / 3 C
Korjaus:
∫ u² du = u³ / 3 C = (ln x)³ / 3 C
Onko tästä mitään helpompaa tapaa? Mä en nimittäin tajunnu tosta yhtään mitään... Tää tehtävä on vielä 2/6 pisteen arvonen MAA10 tehtäväpankista :D
Ok
Yritän sitten selittää asian toisella tavalla.
∫ [ (ln x)² / x ] dx
Tällainen kaava pitäisi olla tuttu:
∫ f´(x)*g´(f(x)) dx = g(f(x)) C
Nyt siis f(x) = ln x, f´(x) = 1 / x ja g´(f(x)) = (ln x)²
Tässä tapauksessa tuossa on jo valmiina sisäfunktion derivaatta, joka "häviää" integroitaessa. Ulkofunktion integrointi on helposti pääteltävissä (vrt. polynomifunktioiden integrointi).
∫ [ (ln x)² / x ] dx = (ln x)³ / 3 C
Toivottavasti tämä auttoi.
Niin, että ymmärrän ton vikan rivin ja tän idean.... Mutta miten
u = ln x
du = (1 / x) dx
näillä tehdään yhteys tohon alkuperäiseen lausekkeeseen?
∫u^2/x dx
derivoidaanko tässä toi u ulos ?
Tuossa tehtiin sijoitus, jotta ongelma saataisiin helpommin ratkaistavaan muotoon. Todella usein sulkujen sisällä oleva tavara kannattaa merkitä yhtä suureksi kuin u.
"näillä tehdään yhteys tohon alkuperäiseen lausekkeeseen?"
Kyllä.
u = ln x, joten siis u² = (ln x)²
du = (1 / x) dx
Tämän jälkeen (ln x)² = u² ja (1 / x) dx = du sijoitetaan alkuperäiseen integraaliin.
Tällöin se saa muodon
∫ u² du,
joka on todella helppo integroida.
Integroinnin jälkeen sijoitetaan takaisin u = ln x.
(Alussa oli x, joten lopullisessa vastauksessakin tulee olla.)
Kiitos! Tää olikin MAA13 sijoitusmenetelmä eikä kuulunu kymppiin ollenkaan. Mutta jäin miettii tätä:
u = ln x
du/dx = (1/x)
du = (1 / x) dx
Miten tossa du/dx = (1/x) määräytyy, että kumpi du vai dx menee nimittäjäks ja kumpi osoittajaks? Vai ajatellaanko että ikään kuin kerrotaan molemmat puolet u = ln x d:llä yhtälömaisesti eli derivoidaan molemmat puolet?
Sijoitettaessa
u = "jotain"
tulee myöhemmässä vaiheessa AINA du osoittajaan.
Mieleeni tulee tosin joitain poikkeuksia, mutta niissäkin siis tietenkin ratkaistaisiin yhtälö ensin sen toisen muuttujan suhteen.
Esim.
u = e^x ln u = x
ja tästä sitten
1 / u = dx / du eli (1 / u) du = dx
Toivottavasti selvisi.