Siis paha mulle. Preppaan kesäyliopiston kurssin tenttiin, tuo on luennoitsijan antamamia tyypillisiä tenttitehtäviä. Kurssi oli hiton nopeatempoinen ja luultavasti asia käsiteltiin juuri niiden 2 tunnin aikana, jolloin olin lääkärissä, koska kaikkiin muihin löysin avaimen muistiinpanoistani.
Seli-seli, mutta tällainen tehtävä:
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfuntio on f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja 0 muualla. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske muuttujien x ja z korrelaatio.
Olen kiitollinen vinkistäkin! Sen verran tiedän kyllä, että korrelaatio = kovarianssi/keskihajontojen tulo, mutta en nyt pääse homman kanssa alkuun.
Paha tehtävä
Kesäopiskelija
14
65
Vastaukset
- ehkänäin
En ole lukenut juurikaan tilastotiedettä, mutta minusta seuraava lause voisi auttaa.
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot Ex ja Ey. Tällöin Cov(X,Y)=EXY-ExEy. - Statistician
Ajattelin ensin muodostaa x:n ja z:n yhteisjakauman tiheysfunktion ja lähteä sitten tuplaintegroimaan odotusarvoja ja variansseja, mutta tehtävä taitaa ratketa yksinkertaisemminkin.
Kun f (x,y) on symmetrinen x:n ja y:n suhteen sekä x ja y riippumattomia, seuraa, että x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret, ja z:lle E(z) = E(x) - E(y) = 0, ja V(z) = V(x) V(y) = 2V(x).
Kovarianssi on Cov(xz) = E(xz) - E(x)E(z) = E[x(x - y)] = E(x^2) - E(x)E(y) = E(x^2) - [E(x)]^2 = V(x). Kovarianssi on siis yhtä suuri kuin x:n varianssi.
Korrelaatio on ρ = Cov(xz)/SQRT[V(x)V(z)] = V(x)/{SQRT[2V(x)^2]} = 1/SQRT(2) = SQRT(2)/2 ~ 0.7.
Juju on siis tuon tiheysfunktion symmetrisyyden huomaaminen seurauksineen.- Opiskelevainen
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa? - Statistician
Opiskelevainen kirjoitti:
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa?Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni! - Opiskelevainen
Statistician kirjoitti:
Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni!Viisastuin, kiitos!
- mr_google
Tuollakin on pohdintaa ja jopa graafista esitystä
http://stats.stackexchange.com/questions/51456/why-does-the-correlation-coefficient-between-x-and-x-y-random-variables-tend-to- Statistician
Ihan mielenkiintoinen sivusto, taitaa päihittää tasollaan tämän foorumin (?). Tuo vektoriesitys on avartava esimerkki, kunhan tietää, että että korrelaatio on vektoreiden kulman kosini. Ei siis ihan alkeiskamaa.
- Statistician
Minulle jäi outo tunne, ettei tehtävässä kaikki ole ihan kohdallaan. Eikä turhaan. Nimittäin jos yhteisjakauman tiheysfunktio on f(x,y) = xy, eivät x ja y voi olla riippumattomia.
Riippumatomille muuttujille marginaalijakaumien tulo = yhteisjakauma. Tässä marginaalijakaumat ovat
f*(x) = int(xy)dy = (1/2)x ja
f*(y) = int(xy)dx = (1/2)y,
joiden tulo on (1/4)xy.
Tehtävässä tai avaajan viestissä on siis virhe. Oikeastaan koko tiheysfuntiosta ei tarvitsisi puhua mitään, jos mainittaisiin vain, että muuttujien odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret. Vai mikä lienee tehtävän tarkoitus?- Kesäopiskelija
Pyydän anteeksi, minä toheloin avauksessa ja väsyneenä sotkin kaksi tehtävää. Ekassa kysyttiin x:n ja y:n korrelaatiota, kun f(x,y) = xy. Tokassa kysyttiin x:n ja z:n korrelaatiota, kun x ja y ovat riippumamattomia, x = x - y, ja x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret.
Vastauksista oli kuitenkin suuri hyöty, kiitos! (Tenttkin on jo ohi läpi, vaikka kysyttiin ihan muita asioita.) - zzztop
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
- Kesäopiskelija
zzztop kirjoitti:
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
Huomasin "haasteesi" vasta nyt. Koetetaan, kun tuli asia opiskeltua. Emmehän opiskele tenttiä vaan elämää varten :-). Integrointi tuossa käy nollasta yhteen.
E(x) = int int (x^2y) dx dy = 1/6 = E(y) [se symmetrisyys]
E(x^2) = int int (x^3y)dxdy = 1/8 = E(y)
V(x) = V(y) = (1/8) - (1/36) = 7/72
E(xy) = int int (x^2y^2)dxdy = 1/9
Cov(x,y) = (1/9) - (1/36) = 3/36 [= 6/72]
Rho = (6/72)/(7/72) = 6/7 ~ 0.86
Toivottavasti ei tullut laskuvirheitä, juoni on käsittkseni kumminkin tuo. - zzztop
Hyvin olet läksysi lukenut! Esitys on lisäksi kiitettävän selkeä vaihe vaiheelta!
- Statistician
Pilkkua viilaten löytyy lapsus toisesta yhtälöstä. Pitää olla "... 1/8 = E(y^2).
Lapsus korjaantuu jatkossa: tyylipuhdas suoritus tuosta miinuksesta huolimatta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.
Onko kenellekään yllätys?1801925Hei A, osaatko
sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en511853Synnittömänä syntyminen
Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.1351568Euroviisut fiasko, Suomen kautta aikain typerin esitys, jumbosija odottaa. Olisi pitänyt boikotoida!
Tämän vuoden euroviisut on monella tapaa täydellinen fiasko. Ensinnäkin kaikkien itseään kunnioittavien eurooppalaisten1371383Mitä tämä tarkoittaa,
että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?411324Nukkumisiin sitten
Käsittelen asiaa tavallani ja toiveissa on vielä että tästä pääsee hyppäämään ylitse. Kaikenlaisia tunteita on läpikäyny41174Muistatko komeroinnin?
Taannoin joskus kirjoitin aloituksen tänne komeroinnista eli hikikomoreista; syrjäytyneistä nuorista ihmisistä. Ehkä asu481152Naisten tyypilliset...
Naiset ei varmaan ymmärrä itse miten karmealle heidän tavara haisee. Miehet säälistä nuolevat joskus, yleensä humalassa101121Syö kohtuudella niin et liho.
Syömällä aina kohtuudella voi jopa laihtua.On paljon laihoja jotka ei harrasta yhtään liikuntaa. Laihuuden salaisuus on101109Tuollainen kommentti sitten purjehduspalstalla
"Naisen pillu se vasta Bermudan kolmio on. Sinne kun lähdet soutelemaan niin kohta katoaa sekä elämänilo että rahat"31108