Siis paha mulle. Preppaan kesäyliopiston kurssin tenttiin, tuo on luennoitsijan antamamia tyypillisiä tenttitehtäviä. Kurssi oli hiton nopeatempoinen ja luultavasti asia käsiteltiin juuri niiden 2 tunnin aikana, jolloin olin lääkärissä, koska kaikkiin muihin löysin avaimen muistiinpanoistani.
Seli-seli, mutta tällainen tehtävä:
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfuntio on f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja 0 muualla. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske muuttujien x ja z korrelaatio.
Olen kiitollinen vinkistäkin! Sen verran tiedän kyllä, että korrelaatio = kovarianssi/keskihajontojen tulo, mutta en nyt pääse homman kanssa alkuun.
Seli-seli, mutta tällainen tehtävä:
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfuntio on f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja 0 muualla. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske muuttujien x ja z korrelaatio.
Olen kiitollinen vinkistäkin! Sen verran tiedän kyllä, että korrelaatio = kovarianssi/keskihajontojen tulo, mutta en nyt pääse homman kanssa alkuun.
Vastaukset 14
Vanhimmat
En ole lukenut juurikaan tilastotiedettä, mutta minusta seuraava lause voisi auttaa.
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot Ex ja Ey. Tällöin Cov(X,Y)=EXY-ExEy.
Ajattelin ensin muodostaa x:n ja z:n yhteisjakauman tiheysfunktion ja lähteä sitten tuplaintegroimaan odotusarvoja ja variansseja, mutta tehtävä taitaa ratketa yksinkertaisemminkin.
Kun f (x,y) on symmetrinen x:n ja y:n suhteen sekä x ja y riippumattomia, seuraa, että x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret, ja z:lle E(z) = E(x) - E(y) = 0, ja V(z) = V(x) V(y) = 2V(x).
Kovarianssi on Cov(xz) = E(xz) - E(x)E(z) = E[x(x - y)] = E(x^2) - E(x)E(y) = E(x^2) - [E(x)]^2 = V(x). Kovarianssi on siis yhtä suuri kuin x:n varianssi.
Korrelaatio on ρ = Cov(xz)/SQRT[V(x)V(z)] = V(x)/{SQRT[2V(x)^2]} = 1/SQRT(2) = SQRT(2)/2 ~ 0.7.
Juju on siis tuon tiheysfunktion symmetrisyyden huomaaminen seurauksineen.
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa?
https://math.aalto.fi/opetus/sovtodb/laskarit/k08/TNBHT06K06R.pdf
Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni!
Viisastuin, kiitos!
Tuollakin on pohdintaa ja jopa graafista esitystä
http://stats.stackexchange.com/questions/51456/why-does-the-correlation-coefficient-between-x-and-x-y-random-variables-tend-to
Ihan mielenkiintoinen sivusto, taitaa päihittää tasollaan tämän foorumin (?). Tuo vektoriesitys on avartava esimerkki, kunhan tietää, että että korrelaatio on vektoreiden kulman kosini. Ei siis ihan alkeiskamaa.
Minulle jäi outo tunne, ettei tehtävässä kaikki ole ihan kohdallaan. Eikä turhaan. Nimittäin jos yhteisjakauman tiheysfunktio on f(x,y) = xy, eivät x ja y voi olla riippumattomia.
Riippumatomille muuttujille marginaalijakaumien tulo = yhteisjakauma. Tässä marginaalijakaumat ovat
f*(x) = int(xy)dy = (1/2)x ja
f*(y) = int(xy)dx = (1/2)y,
joiden tulo on (1/4)xy.
Tehtävässä tai avaajan viestissä on siis virhe. Oikeastaan koko tiheysfuntiosta ei tarvitsisi puhua mitään, jos mainittaisiin vain, että muuttujien odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret. Vai mikä lienee tehtävän tarkoitus?
Pyydän anteeksi, minä toheloin avauksessa ja väsyneenä sotkin kaksi tehtävää. Ekassa kysyttiin x:n ja y:n korrelaatiota, kun f(x,y) = xy. Tokassa kysyttiin x:n ja z:n korrelaatiota, kun x ja y ovat riippumamattomia, x = x - y, ja x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret.
Vastauksista oli kuitenkin suuri hyöty, kiitos! (Tenttkin on jo ohi läpi, vaikka kysyttiin ihan muita asioita.)
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
Huomasin "haasteesi" vasta nyt. Koetetaan, kun tuli asia opiskeltua. Emmehän opiskele tenttiä vaan elämää varten :-). Integrointi tuossa käy nollasta yhteen.
E(x) = int int (x^2y) dx dy = 1/6 = E(y) [se symmetrisyys]
E(x^2) = int int (x^3y)dxdy = 1/8 = E(y)
V(x) = V(y) = (1/8) - (1/36) = 7/72
E(xy) = int int (x^2y^2)dxdy = 1/9
Cov(x,y) = (1/9) - (1/36) = 3/36 [= 6/72]
Rho = (6/72)/(7/72) = 6/7 ~ 0.86
Toivottavasti ei tullut laskuvirheitä, juoni on käsittkseni kumminkin tuo.
Hyvin olet läksysi lukenut! Esitys on lisäksi kiitettävän selkeä vaihe vaiheelta!
Pilkkua viilaten löytyy lapsus toisesta yhtälöstä. Pitää olla "... 1/8 = E(y^2).
Lapsus korjaantuu jatkossa: tyylipuhdas suoritus tuosta miinuksesta huolimatta.