Siis paha mulle. Preppaan kesäyliopiston kurssin tenttiin, tuo on luennoitsijan antamamia tyypillisiä tenttitehtäviä. Kurssi oli hiton nopeatempoinen ja luultavasti asia käsiteltiin juuri niiden 2 tunnin aikana, jolloin olin lääkärissä, koska kaikkiin muihin löysin avaimen muistiinpanoistani.
Seli-seli, mutta tällainen tehtävä:
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfuntio on f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja 0 muualla. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske muuttujien x ja z korrelaatio.
Olen kiitollinen vinkistäkin! Sen verran tiedän kyllä, että korrelaatio = kovarianssi/keskihajontojen tulo, mutta en nyt pääse homman kanssa alkuun.
Paha tehtävä
Kesäopiskelija
14
119
Vastaukset
- ehkänäin
En ole lukenut juurikaan tilastotiedettä, mutta minusta seuraava lause voisi auttaa.
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot Ex ja Ey. Tällöin Cov(X,Y)=EXY-ExEy. - Statistician
Ajattelin ensin muodostaa x:n ja z:n yhteisjakauman tiheysfunktion ja lähteä sitten tuplaintegroimaan odotusarvoja ja variansseja, mutta tehtävä taitaa ratketa yksinkertaisemminkin.
Kun f (x,y) on symmetrinen x:n ja y:n suhteen sekä x ja y riippumattomia, seuraa, että x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret, ja z:lle E(z) = E(x) - E(y) = 0, ja V(z) = V(x) V(y) = 2V(x).
Kovarianssi on Cov(xz) = E(xz) - E(x)E(z) = E[x(x - y)] = E(x^2) - E(x)E(y) = E(x^2) - [E(x)]^2 = V(x). Kovarianssi on siis yhtä suuri kuin x:n varianssi.
Korrelaatio on ρ = Cov(xz)/SQRT[V(x)V(z)] = V(x)/{SQRT[2V(x)^2]} = 1/SQRT(2) = SQRT(2)/2 ~ 0.7.
Juju on siis tuon tiheysfunktion symmetrisyyden huomaaminen seurauksineen.- Opiskelevainen
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa? - Statistician
Opiskelevainen kirjoitti:
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa?Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni! - Opiskelevainen
Statistician kirjoitti:
Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni!Viisastuin, kiitos!
- mr_google
Tuollakin on pohdintaa ja jopa graafista esitystä
http://stats.stackexchange.com/questions/51456/why-does-the-correlation-coefficient-between-x-and-x-y-random-variables-tend-to- Statistician
Ihan mielenkiintoinen sivusto, taitaa päihittää tasollaan tämän foorumin (?). Tuo vektoriesitys on avartava esimerkki, kunhan tietää, että että korrelaatio on vektoreiden kulman kosini. Ei siis ihan alkeiskamaa.
- Statistician
Minulle jäi outo tunne, ettei tehtävässä kaikki ole ihan kohdallaan. Eikä turhaan. Nimittäin jos yhteisjakauman tiheysfunktio on f(x,y) = xy, eivät x ja y voi olla riippumattomia.
Riippumatomille muuttujille marginaalijakaumien tulo = yhteisjakauma. Tässä marginaalijakaumat ovat
f*(x) = int(xy)dy = (1/2)x ja
f*(y) = int(xy)dx = (1/2)y,
joiden tulo on (1/4)xy.
Tehtävässä tai avaajan viestissä on siis virhe. Oikeastaan koko tiheysfuntiosta ei tarvitsisi puhua mitään, jos mainittaisiin vain, että muuttujien odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret. Vai mikä lienee tehtävän tarkoitus?- Kesäopiskelija
Pyydän anteeksi, minä toheloin avauksessa ja väsyneenä sotkin kaksi tehtävää. Ekassa kysyttiin x:n ja y:n korrelaatiota, kun f(x,y) = xy. Tokassa kysyttiin x:n ja z:n korrelaatiota, kun x ja y ovat riippumamattomia, x = x - y, ja x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret.
Vastauksista oli kuitenkin suuri hyöty, kiitos! (Tenttkin on jo ohi läpi, vaikka kysyttiin ihan muita asioita.) - zzztop
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
- Kesäopiskelija
zzztop kirjoitti:
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
Huomasin "haasteesi" vasta nyt. Koetetaan, kun tuli asia opiskeltua. Emmehän opiskele tenttiä vaan elämää varten :-). Integrointi tuossa käy nollasta yhteen.
E(x) = int int (x^2y) dx dy = 1/6 = E(y) [se symmetrisyys]
E(x^2) = int int (x^3y)dxdy = 1/8 = E(y)
V(x) = V(y) = (1/8) - (1/36) = 7/72
E(xy) = int int (x^2y^2)dxdy = 1/9
Cov(x,y) = (1/9) - (1/36) = 3/36 [= 6/72]
Rho = (6/72)/(7/72) = 6/7 ~ 0.86
Toivottavasti ei tullut laskuvirheitä, juoni on käsittkseni kumminkin tuo. - zzztop
Hyvin olet läksysi lukenut! Esitys on lisäksi kiitettävän selkeä vaihe vaiheelta!
- Statistician
Pilkkua viilaten löytyy lapsus toisesta yhtälöstä. Pitää olla "... 1/8 = E(y^2).
Lapsus korjaantuu jatkossa: tyylipuhdas suoritus tuosta miinuksesta huolimatta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 875439
Riikan kukkaronnyöri on umpisolmussa
Kulutus ei lähde liikkeelle, koska kansalaiset eivät usko, että: – työpaikka säilyy – tulot eivät romahda – talous ei h804722Jos vedetään mutkat suoraksi?
Niin kumpaan ryhmään kuulut? A) Niihin, jotka menevät edellä ja tekevät? Vai B) Niihin, jotka kulkevat perässä ja ar1113027Tanskan malli perustuu korkeaan ansioturvaan
Ja vahvoihin työllisyys- ja kotoutumispalveluihin. Suomessa Riikka on leikannut juuri näitä: palkkatukea, työttömyysturv882955Epäily: Räppäri yritti tappaa vauvansa.
https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/epaily-mies-yritti-tappaa-vauvansa/9300728 Tämä on erittäin järkyttävä teko täysin p232564Vain vasemmistolaiset ovat aitoja suomalaisia
Esimerkiksi persut ovat ulkomaalaisen pääomasijoittajan edunvalvojia, eivät auta köyhiä suomalaisia.612039Anteeksipyyntöni
Jätän tähän anteeksipyyntöni sinulle, koska en voi sanoa sitä missään muuallakaan. Pyydän anteeksi, jos purkamani tuska251976- 321523
Sydämeni valtiaalle
En täältä aio asioita kysellä. Haluan tuoda tiedoksesi, että pohjimmiltani en ihmisiä tahdo satuttaa ja ajattelen muiden1141439- 1851328