Siis paha mulle. Preppaan kesäyliopiston kurssin tenttiin, tuo on luennoitsijan antamamia tyypillisiä tenttitehtäviä. Kurssi oli hiton nopeatempoinen ja luultavasti asia käsiteltiin juuri niiden 2 tunnin aikana, jolloin olin lääkärissä, koska kaikkiin muihin löysin avaimen muistiinpanoistani.
Seli-seli, mutta tällainen tehtävä:
Jatkuvien satunnaismuuttujien x ja y yhteisjakauman tiheysfuntio on f(x,y) = xy, kun 0 < x,y < 1, ja 0 muualla. Muodostetaan muuttuja z = x - y. Laske muuttujien x ja z korrelaatio.
Olen kiitollinen vinkistäkin! Sen verran tiedän kyllä, että korrelaatio = kovarianssi/keskihajontojen tulo, mutta en nyt pääse homman kanssa alkuun.
Paha tehtävä
Kesäopiskelija
14
92
Vastaukset
- ehkänäin
En ole lukenut juurikaan tilastotiedettä, mutta minusta seuraava lause voisi auttaa.
Olkoot satunnaismuuttujien X ja Y odotusarvot Ex ja Ey. Tällöin Cov(X,Y)=EXY-ExEy. - Statistician
Ajattelin ensin muodostaa x:n ja z:n yhteisjakauman tiheysfunktion ja lähteä sitten tuplaintegroimaan odotusarvoja ja variansseja, mutta tehtävä taitaa ratketa yksinkertaisemminkin.
Kun f (x,y) on symmetrinen x:n ja y:n suhteen sekä x ja y riippumattomia, seuraa, että x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret, ja z:lle E(z) = E(x) - E(y) = 0, ja V(z) = V(x) V(y) = 2V(x).
Kovarianssi on Cov(xz) = E(xz) - E(x)E(z) = E[x(x - y)] = E(x^2) - E(x)E(y) = E(x^2) - [E(x)]^2 = V(x). Kovarianssi on siis yhtä suuri kuin x:n varianssi.
Korrelaatio on ρ = Cov(xz)/SQRT[V(x)V(z)] = V(x)/{SQRT[2V(x)^2]} = 1/SQRT(2) = SQRT(2)/2 ~ 0.7.
Juju on siis tuon tiheysfunktion symmetrisyyden huomaaminen seurauksineen.- Opiskelevainen
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa? - Statistician
Opiskelevainen kirjoitti:
Voi hitsi, noin se käy, kun hoksaa ja osaa!
Mitä tuo viestissä mainittu "odotusarvon ja varianssin tuplaintegrointi" muuten tarkoittaa?Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni! - Opiskelevainen
Statistician kirjoitti:
Eipä kestä, peruskamaa, mutta kiitos !
"Tuplaintegroinilla" en tietenkään tarkoittanut E:n tai V:n integrointia (höh!), vaan niiden repimistä yhteisjakauman tiheysfunktiosta.
Jos käytetään esimerkkinä tuota aloittajan yhteisjakaumafunktiota f(x,y) = xy rajoituksineen, niin esim x:n odotusarvo E(x) = int int (x^2y)dxdy (integraalien rajat 0 ja 1), äkkiä päässälaskien 1/6 .
Tietysti voi ensin hakea marginaalijakaumat, esim. x:lle f*(x) = int f(x,y) dy, ja sitten laskea x:n odotusarvon E(x) = (int x f*(x)dx, mutta ihan sama kummalla tavalla sen merkitsee: tuplasti integroidaan.
Samalla tavalla menetellään varianssin kanssa. Siinä tarvitaan odotusarvon E(x):n lisäksi odotusarvo E(x^2) = int int (x^3y)dxdy. Kovarianssin alkuosa E(xy) samalla systeemillä, loppuhan on jo tiedossa.
Toivottavasti selveni!Viisastuin, kiitos!
- mr_google
Tuollakin on pohdintaa ja jopa graafista esitystä
http://stats.stackexchange.com/questions/51456/why-does-the-correlation-coefficient-between-x-and-x-y-random-variables-tend-to- Statistician
Ihan mielenkiintoinen sivusto, taitaa päihittää tasollaan tämän foorumin (?). Tuo vektoriesitys on avartava esimerkki, kunhan tietää, että että korrelaatio on vektoreiden kulman kosini. Ei siis ihan alkeiskamaa.
- Statistician
Minulle jäi outo tunne, ettei tehtävässä kaikki ole ihan kohdallaan. Eikä turhaan. Nimittäin jos yhteisjakauman tiheysfunktio on f(x,y) = xy, eivät x ja y voi olla riippumattomia.
Riippumatomille muuttujille marginaalijakaumien tulo = yhteisjakauma. Tässä marginaalijakaumat ovat
f*(x) = int(xy)dy = (1/2)x ja
f*(y) = int(xy)dx = (1/2)y,
joiden tulo on (1/4)xy.
Tehtävässä tai avaajan viestissä on siis virhe. Oikeastaan koko tiheysfuntiosta ei tarvitsisi puhua mitään, jos mainittaisiin vain, että muuttujien odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret. Vai mikä lienee tehtävän tarkoitus?- Kesäopiskelija
Pyydän anteeksi, minä toheloin avauksessa ja väsyneenä sotkin kaksi tehtävää. Ekassa kysyttiin x:n ja y:n korrelaatiota, kun f(x,y) = xy. Tokassa kysyttiin x:n ja z:n korrelaatiota, kun x ja y ovat riippumamattomia, x = x - y, ja x:n ja y:n odotusarvot ja varianssit ovat yhtä suuret.
Vastauksista oli kuitenkin suuri hyöty, kiitos! (Tenttkin on jo ohi läpi, vaikka kysyttiin ihan muita asioita.) - zzztop
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
- Kesäopiskelija
zzztop kirjoitti:
No osaatko sitten laskea eka tehtävän, kun sait täältä apuja?
Huomasin "haasteesi" vasta nyt. Koetetaan, kun tuli asia opiskeltua. Emmehän opiskele tenttiä vaan elämää varten :-). Integrointi tuossa käy nollasta yhteen.
E(x) = int int (x^2y) dx dy = 1/6 = E(y) [se symmetrisyys]
E(x^2) = int int (x^3y)dxdy = 1/8 = E(y)
V(x) = V(y) = (1/8) - (1/36) = 7/72
E(xy) = int int (x^2y^2)dxdy = 1/9
Cov(x,y) = (1/9) - (1/36) = 3/36 [= 6/72]
Rho = (6/72)/(7/72) = 6/7 ~ 0.86
Toivottavasti ei tullut laskuvirheitä, juoni on käsittkseni kumminkin tuo. - zzztop
Hyvin olet läksysi lukenut! Esitys on lisäksi kiitettävän selkeä vaihe vaiheelta!
- Statistician
Pilkkua viilaten löytyy lapsus toisesta yhtälöstä. Pitää olla "... 1/8 = E(y^2).
Lapsus korjaantuu jatkossa: tyylipuhdas suoritus tuosta miinuksesta huolimatta.
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Alahan tulla paikkaamaan tekojas
Ja lopeta se piilossa oleminen. Olet vastuussa mun haavoista. Vien asian eteenpäin jos ei ala kuulumaan.315326- 363701
Onko kenellekään muulle käynyt niin
Että menetti tilaisuutensa? Kaivattu oli kuin tarjottimella, osoitti kiinnostusta vahvasti, silmät ja olemus täynnä rakk1833263- 112505
- 292102
- 121987
- 1631866
- 1051352
- 141298
- 1371144