Ympyräääää

Ympyrän keskipiste on annettujen pisteiden välisen janan keskinormaalilla, ja sen etäisyys annetusta suorasta on sama kuin pisteistä. Määrittämisen voit tehdä useallakin tavalla laskemalla, tai geometrisesti perustelemalla. Jälkimmäinen tapa on helpompi, piirrä kuvio ruutupaperille niin näet keskipisteen suoraan - sinun pitää vain osata perustella, miksi se on k.o. ympyrän keskipiste. Keskipisteen ja säteen avulla voit lausua kysytyn ympyrän yhtälön.

Seuraavalla tavalla voisi yrittää:
Olkoon ympyrän keskipiste (x,y). Se on yhtä kaukana pisteistä (4,3) ja (5,2). Määrätään nämä etäisyydet ja asetetaan ne yhtä suuriksi. Siitä saadaan ensimmänen yhtälö x:lle ja y:lle (voidaan käyttää myös etäisyyden neliöitä).

Sitten muodostetaan pisteen (x,y) etäisyys suorasta y = 2x tunnetun kaavan mukaisesti ja asetetaan se yhtä suureksi kuin pisteen etäisyys esim pisteestä (4,3)
(taaskin kannattaa ottaa kummankin puolen neliö). Näin saadaan toinen yhtälö.
Yhtälöryhmällä saattaa olla kaksi ratkaisua.

Kannattaa hakea ympyrän yhtälöä perusmuodossa, eli: x^2 y^2 Ax By C=0
Tuohon kun sijoittaa annetut pisteen saa kirjoitettua vakiot esim: A=-4 B ja C=-9-7B

Sitten kun nuo sijoittaa perusmuotoon ja ottaa kaveriksi yhtälön y=2x, niin tämän yhtälöparin x-ratkaisun Diskriminantti on oltava nolla, syystä että y=2x oli ympyrän tangentti.
Siitä tulee B:lle kaksi ratkaisua : B=-1 ja B=-49/9. Siitä sitten A ja C.

Sitten pitää tarkistaa käyvätkö ne perusmutoon , eli tarkistaa toteutuuko yhtälö , mutta en viitsi tarkistaa, B=-1 ainakin käy.
Jos sitten halutaan se ympyrän kp., niin neliöksi täydentamälla siitä kai tulee (5/2, 1/2)
R^2=17/2

Geometrinen konstruktio:
On suora L ja pisteet A ja B. Määrättävä ympyrä, joka kulkee pisteiden A ja B kautta ja sivuaa suoraa L.
Jos A ja B ovat eri puolilla suoraa, niin tehtävä on mahdoton, koska silloin kaikki pisteiden A ja B kulkevat ympyrät leikkaavat suoran eivätkä siis voi sivuta sitä.

Piirretään suora pisteiden A ja B kauttaa. Se leikkaa suoran L pisteessä P. Ympyrän potenssilauseen mukaan pisteestä P vaaditulle ympyrälle piirretyn tangentin pituus on janojen PA ja PB pituuksien keskiverto. Olkoon keskiverron arvo k. Määrätään suoralla L pisteet S1 ja S2, joiden etäisyys pisteestä P on k. Nämä ovat vaadittujen ympyröiden sivuamispisteet.
Sivuamispisteisiin S1 ja S2 piirretään kohtisuorat. Niiden leikkauspisteet janan AB keskinormaalin kanssa ovat vaadittujen ympyröiden keskipisteet.

Tunnetusti suorakulmaisessa kulmiossa kateetti on hypotenuusan ja ja kateetin hypotenuusalla olevan projektion keskiverto. Niinpä janojen PA ja PB keskivertoa vastaava jana saadaan piirtämällä puoliympyrä jonka halkaisija on PB (B on etäämpänä suorasta L). Pisteestä A piirretyn janan PB kohtisuora leikkaa puoliympyrän pisteessä C. Jana PC on vaadittu keskiverto, koska kolmio PBC on suorakulmainen.

Joissakin erikoistapaukssissa (AB || L tai jompi kumpi piste on suoralla) riittää yksinkertaisempi menettely.

Periaatteessa konstruktiota voitaisiin käyttä myös analyyttiseen ratkaisuun. silloin pitäisi suorat esittää parametrimuodossa
x = x0 c1 * s
y = y0 c2 * s
missä (x0,y0) on jokin suoran piste ja c1 ja c2 ovat sen suuntakosinit. silloin s antaa suoraan etäisyyden pisteestä (x0,y0). Tuskin tämä kuitenkaan on juuri sen helpompaa kuin yhtälöryhmän ratkaiseminen.

Piirrä 3 janaa yksi molemmista pisteistä ja yksi suoralta kohtisuorasti. Kaikkien janojen pituus on ympyrän säde ja janojen päätepiste ympyrän keskipiste.

Pisteet (4,3) ja (5,2) ovat ympyrällä jonka keskipiste olkoon (x,y).
(4-x)^2 (3-y)^2 = (5-x)^2 (2-y)^2 ( = säde^2).
Tästä saadaan y = x - 2 eli ympyrän keskipiste on tällä suoralla.
Sivuamispiste on suoralla y = 2x.

Jos nyt keskipisteen paikkavektori on R1 ja sivuamispisteen paikkavektori on R2,on R2 - R1 kohtisuorassa vektoria R2 vastaan eli (R2 - R1 , R1) = 0 (sisätulo).

R1 = x1 i (x1 - 2) j , R2 = x2 i 2 x2 j joten tuosta sisätulosta saadaan uhtälö

5 x2^2 - 3 x1 x2 4 x2 = 0 josta

(1) x2 = (3 x1 - 4) / 5.

Sivuamiste (x2, 2 x2) on ympyrällä joten

(x2 - x1)^2 (2 x2 - x1 2)^2 = (4 - x1)^2 (3 - x1 2)^2 josta

(2) 5 x2^2 - 6 x1 x2 8 x2 14 x1 - 37 = 0.


Kun yhtälöön (2) sijoitetaan (1) saadaan

(3) 9 x1^2 - 94 x1 201 = 0 jonka juuret ovat

x1 = 134/18 = 7,44 ja x1 = 54/18 = 3.
Keskipisteen y-koordinaatit ovat siis y1 = 98/18 = 5,44 ja y1 = 1.
Ympyröitä on kaksi, keskipisteinä (7,44 , 5,44) ja (3,1).

1. ympyrän säteen neliö on

(4 - 7,44)^2 (3 - 5,44)^2 = 17,79 ja nähdään että myös piste (5,2) on tällä ympyrällä.

2. ympyrän säteen neliö = (4 - 3)^2 (3 - 1) ^2 = 5 ja nähdään että myös piste (5,2) on tällä ympyrällä.

Sivuamispiste 1. ympyrälle saadaan yhtälöstä

(x2 - 7,44)^2 (2 x2 - 5,44)^2 = 17,79 josta x2 = 3,66 ja y2 siis 7,32.

(3,66 - 7,44)^2 (7,32 - 5,44)^2 = 17,8 kuten pitääkin.

Sivuamispiste 2. ympyrälle saadaan yhtälöstä

(x2 - 3)^2 (2 x2 - 1)^2 = 5 joten x2 = 1 ja siten y2 = 2.

(1 - 3)^2 (2 - 1)^2 = 5 kuten pitääkin.

Enpä tiedä pitääkö koululaisten käyttää tuota murtolukuarvoa (67/9 , 49/9) mutta laskin nyt tuon 1. ympyrän ihan desimaaliluvuilla.Oikeasti sen yhtälö on

(x - 67/9)^2 (y - 49/9)^2 = 1445/81.

2. ympyrän yhtälö on (x - 3)^2 (y - 1)^2 = 5.

Johan tuo aeija näitä laski mutta laskin nyt näin.

Ohman