Korttipakan ekat kortit, vierekkäiset läheisiä arvoja

Anonyymi-ap

Korttipakkatehtävästä innoittautuneena keksin tällaisen uuden. Tarkastellaan taas hyvin sekoitetun 4×13 (yleisemmin k×n) korttipakan viittä (m=5) ensimmäistä korttia. Mikä on todennäköisyys, että tässä vierekkäisten korttien arvot ovat korkeintaan kolmen (r=3) päässä toisistaan?

Eli jos korttien arvot ovat a1, a2, a3, a4 ja a5, niin

|a2-a1| <= 3
|a3-a2| <= 3
|a4-a3| <= 3
|a5-a4| <= 3

7

289

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Anonyymi

      Sama brute force koodi kuin edellisessä tehtävässä muuten, paitsi että vertailussa käytetäänkin tätä:

      a=a+((abs(List[1]-List[2])<4)*(abs(List[2]-List[3])<4)*(abs(List[3]-List[4])<4)*(abs(List[4]-List[5])<4))

      ... eli siis viidelle ensimmäiselle kortille kahden vierekkäisen kortin numeroarvot eroavat toisistaan vähemmän kuin 4.

      Tuon kun pyöräyttää kymmenellä miljoonalla kierroksella niin tulee osuudeksi
      4.518 % (+- 0.007 %)

      • Anonyymi

        Tarkka todennäköisyys on p = 220271/4873050 = 0,045202.
        Joten ihan lähelle osui. Todnäk, että olisi tullut suurempi tai yhtäsuuri ero: 0,74.

        Tehdäänpäs pienemmällä kierrosmäärällä useampi simulaatio ja niistä histogrammi: https://www.desmos.com/calculator/gtzl9vajuo

        Muuten, yksi huomio koodista: testissä indeksi on yhden liian iso. Pitäisi olla a=a+((abs(List[0]-List[1])<4)*... Eihän se vaikuta tuossa lopputulokseen, testiin vain tulee kortit toiseksi päälimmäisestä kuudenteen. Mutta ongelma, jos m=nk eli katsotaan koko pakka.


      • Anonyymi
        Anonyymi kirjoitti:

        Tarkka todennäköisyys on p = 220271/4873050 = 0,045202.
        Joten ihan lähelle osui. Todnäk, että olisi tullut suurempi tai yhtäsuuri ero: 0,74.

        Tehdäänpäs pienemmällä kierrosmäärällä useampi simulaatio ja niistä histogrammi: https://www.desmos.com/calculator/gtzl9vajuo

        Muuten, yksi huomio koodista: testissä indeksi on yhden liian iso. Pitäisi olla a=a ((abs(List[0]-List[1])<4)*... Eihän se vaikuta tuossa lopputulokseen, testiin vain tulee kortit toiseksi päälimmäisestä kuudenteen. Mutta ongelma, jos m=nk eli katsotaan koko pakka.

        Hyvä havainto tuo indeksin virhe, kiitos.


    • Anonyymi

      Ensinnäkin lasketaan, monellako eri tavalla voidaan valita viisi korttia pakasta. Tämä on yhdistelylaskun mukaan 52 yli 5, eli 52! / (5! * (52-5)!), mikä on 2 598 960.

      Sitten lasketaan, monellako tavalla voidaan valita viisi korttia siten, että niiden arvot ovat korkeintaan kolmen päässä toisistaan. Tämä voidaan tehdä seuraavasti:

      – Mikä tahansa kortti voidaan valita ensimmäiseksi kortiksi. Seuraavaksi valitaan toinen kortti siten, että sen arvo on ensimmäisen kortin arvo ±1 tai ±2 tai ±3, eli yhtä tai kahta yksikköä suurempi tai pienempi. Tällaisia vaihtoehtoja on 7 kappaletta.
      – Sama toistetaan kolmannelle, neljännelle ja viidennelle kortille, joten jokaisen kortin valinnan vaihtoehtoja on 7 kappaletta.

      Yhteensä siis erilaisia korttikomboja, joissa korttien arvojen väliset erot ovat korkeintaan kolme, on 7^4 eli 2401.

      Lopuksi todennäköisyys saada viisi korttia, joiden arvot ovat korkeintaan kolmen päässä toisistaan, on 2401/2598960 ≈ 0,00092530 eli noin 0,093 %.

    • Anonyymi

      Tutkitaan tätä n:nnän funktiona (ja pidetään k=4, m=5 ja r=3). Jos n>30, niin todennäköisyys on

      (1749568n-8647040) / (4n*(4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4))

      Tämä koodi laskee osoittajan yleisessä tapauksessa: https://www.online-python.com/aYE7cClNk8 . Todennäköisyys saadaan jakamalla ((kn)Pm):llä.

      Kaava n:lle saadaan siitä, että jos ensimmäinen kortti on väliltä mr ... n-1-mr, niin näissä tapauksissa ei ole väliä mikä kortti se on koska ollaan tarpeeksi kaukana päätyarvoista.

    • Anonyymi

      Nämähän ovat ns. hilapistepolkuja (lattice paths):

      https://www.desmos.com/calculator/fik3hkzkwd

      Tai siis jokainen polku tuottaa tietyn määrän näitä korttijärjestelmiä riippuen siitä kuinka monta kertaa se vierailee eri tasoilla (voi olla myös 0, jos jollain tasolla yli k vierailua).

      Jos lähdetään yleiselle m pohtimaan, niin aluksi kannattanee tutkia tapausta r=1. Silloinhan nämä ovat niinkuin ylhäältä rajoitettuja Motzkin polkuja https://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v22i2p8/pdf mutta lähtö- ja loppupiste saa olla mikä vain (väliltä 0...(n-1)). Ja lisäksi ne pitäisi siis enumeroida noiden tasovierailujen mukaan, jotta osataan laskea korttijuttu.

      Jos muodostetaan generoiva funktio, jossa x = (x_1, x_2 ,..., x_{n-1}) ja x_j laskee (potenssissaan) kuinka monta kertaa vieraillaan tasolla j:

      G_a(x) = sum_{p, |p[j+1]-p[j]|<=r, p[0]=a} prod_{j=0}^{m-1} x_{p[j]},

      missä a on polun lähtötaso, niin meillähän on rekursio (kun r=1)

      G_a = x_a*(1_{a>0} G_{a-1} + G_a + 1_{a<n-1}G_{a+1}).

      Tämä on periaatteessa se miten eo. koodissa laskettiinkin. Mutta onkohan tälle gen. funktiolle olemassa analyyttistä kaavaa.

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hengenvaaralliset kiihdytysajot päättyivät karmealla tavalla, kilpailija kuoli

      Onnettomuudesta on aloitettu selvitys. Tapahtuma keskeytettiin onnettomuuteen. Tapahtumaa tutkitaan paikan päällä yhtei
      Kauhava
      171
      6197
    2. Ootko rakastunut?

      Kerro pois nyt
      Ikävä
      147
      1724
    3. Onhan sulla nainen parempi mieli

      Nyt? Ainakin toivon niin.
      Ikävä
      113
      1508
    4. Ujosteletko tosissaan vai mitä oikeen

      Himmailet???? Mitä pelkäät?????
      Ikävä
      51
      1270
    5. Suureksi onneksesi on myönnettävä

      Että olen nyt sitten mennyt rakastumaan sinuun. Ei tässä mitään, olen kärsivällinen ❤️
      Ikävä
      46
      932
    6. Möykkähulluus vaati kuolonuhrin

      Nuori elämä menettiin täysin turhaan tällä järjettömyydellä! Toivottavasti näitä ei enää koskaan nähdä Kauhavalla! 😢
      Kauhava
      29
      860
    7. Älä mies pidä mua pettäjänä

      En petä ketään. Älä mies ajattele niin. Anteeksi että ihastuin suhun varattuna. Pettänyt en ole koskaan ketään vaikka hu
      Ikävä
      97
      836
    8. Reeniähororeeniä

      Helvetillisen vaikeaa työskennellä hoitajana,kun ei kestä silmissään yhtään läskiä. Saati hoitaa sellaista. Mitä tehdä?
      Kouvola
      5
      789
    9. Tarvitsemme lisää maahanmuuttoa.

      Väestö eläköityy, eli tarvitsemme lisää tekeviä käsiä ja veronmaksajia. Ainut ratkaisu löytyy maahanmuutosta. Nimenomaan
      Maailman menoa
      224
      746
    10. Kävit nainen näemmä mun

      Facessa katsomassa....
      Ikävä
      41
      739
    Aihe