Lyhyen matematiikan kurssi 6, Matemaattisia malleja II työn alla, ja seuraavaan tehtävään pysähtyi kaikki:
"Paraabeli y = ax^2 bx c kulkee origon kautta, ja sen huippu on pisteessä (3, -6). Määritä kertoimet a, b ja c."
Osaisiko joku mahdollisesti kertoa, kuinka saisin tämän ratkaistua? Omat aivoni eivät nyt toimi laisinkaan.
"Paraabeli y = ax^2 bx c kulkee origon kautta, ja sen huippu on pisteessä (3, -6). Määritä kertoimet a, b ja c."
Osaisiko joku mahdollisesti kertoa, kuinka saisin tämän ratkaistua? Omat aivoni eivät nyt toimi laisinkaan.
Vastaukset 13
Vanhimmat
Paraabeli koostuu kaikista niistä pisteistä, joiden koordinaatit toteuttavat paraabelin yhtälön y = ax^2 bx c, ja vain niistä. Kokeile, mitä saat aikaan sijoittamalla tunnettujen pisteiden koordinaatit paraabelin yhtälöön. Tarvitset lisäksi kolmannen paraabelin pisteen, jonka joudut päättelemään jotenkin.
Kysy lisäapua, jos tehtävä ei vielä aukea.
Kokeilin tuota, mutta lopputuloksena oli vain erilaisia -6 = -6 -tyyppisiä ratkaisuja. Osaisitko neuvoa yhtään pidemmälle ilman, että paljastat liikaa?
Tarvitset kolme pistettä. Kaksi niistä on sinulle tehtävässä annettu ja kolmannen voit päätellä siitä, että paraabeli on symmetrinen. Jos huippu on kohdassa x = 3 ja parabeli kulkee origon kautta, pitää sen myös kulkea pisteen (6, 0) kautta.
Kun tunnet nämä, on tapoja pari erilaista:
Sijoitat tuntemasi pisteet (0, 0), (3, -6) ja (6, 0) paraabelin yhtäloon niin saat yhtälöryhmän:
0 = a*0^2 b*0 c
-6 = a*3^2 b*3 c
0 = a*6^2 b*6 c
Ensimmäisestä saat kätevästi c = 0. Sijoitat tämän kahteen muuhun ja ratkaiset yhtälöparin niin saat a:n ja b:n.
Toinen vaihtoehto ratkaista tehtävä on seuraavan kaltainen päättely, joka näillä pisteillä (origo on toinen nollakohta) on suhteellisen vaivatonta:
Paraabelin nollakohdat ovat 0 ja 6. Tästä johtuen sen täytyy olla muotoa:
y = p*x*(x-6), missä p erisuuri kuin nolla.
Jos et näe mistä tämä johtuu, kokeile itse sijoittaa nuo nollakohdat tuohon yhtälöön.
Enää sinun täytyy ratkaista p, jonka saat sijoittamalla yhtälöön paraabelin huipun:
-6 = p * 3 * (3-6)
Tuosta seuraa että p = -6 / (3 * (3-6)) = - 2/3 ja paraabeli siten:
y = -2/3 * x * (x-6)
Tuon kun kertoo auki tulee:
y = -(2/3)x^2 4x
Näin se homma etenee! Kiitos paljon!
Tuosta jälkimmäisestä tavasta vielä pari sanaa, kun en ole varma huomasitko mihin se perustuu.
Kyse on siis siitä, että toisen asteen polynomin ax^2 bx c voi aina esittää myös muodossa p(x-q)(x-r), missä q ja r ovat tosin reaalisia vain kun yhtälöllä ax^2 bx c=0 on reaaliset ratkaisut. Tällöin q ja r ovat nuo ratkaisut.
Tästä on iloa tuollaisissa tehtävissä kuin sinulla oli (vaikka mallivastaus varmaan noudattelikin sitä yhtälöryhmiin perustuvaa, minusta vähän työläämpää, ratkaisua) ja erityisesti toisen asteen yhtälön nollakohtia etsittäessä. Usein ratkaisun löytää paljon helpommin kuin sillä koulussa opeteltavalla ratkaisukaavalla hankaline neliöjuurineen. Etenkin kun ne haettavat nollakohdat yleensä ovat siistejä kohtuupieniä kokonaislukuja.
Esimerkki: Etsi yhtälön 2x^2-8x-10=0 ratkaisut.
2x^2-8x-10=0 | Jaetaan x^2 termin kertoimella
2(x^2-4x-5)=0
Nyt pitäisi keksiä mitkä q ja r toteuttavat yhtälön:
(x-q)(x-r)=x^2-4x-5=0
Koska (x-q)(x-r)=x^2-(q r)x qr, on q r=4 ja qr=-5.
Kun esimerkissä ihan tarkoituksella (kuten useimmissa koulutehtävissäkin) oli käytössä siistejä kokonaislukuja, näemme helposti että q=5 ja r=-1.
Yhtälön 2x^2-8x-10=0 ratkaisut ovat siis 5 ja -1.
Melko mykistävän monimutkaista esitystä yksinkertaiseen ongelmaan.
Eihän tässä mitään kolmea pistettä edes tarvita tai symmetrisyyspäättelyä: kaksi annetaan eli (0,0) ja (3,-6) ja näistä jälkimmäinen on yllättäen derivaatan nollakohta. Yleensä kannattaa mennä siitä mistä aita on matalin.
Kyllä derivaatan käyttäminenkin on tosi hyvä idea, mutta ei se minusta yhtään yksinkertaisempaa ole. Kolmannen paraabelin pisteenhän näkee jo mitään laskematta, kun hahmottelee paraabelin kulkua koordinaatistoon.
"ei se minusta yhtään yksinkertaisempaa ole"
Kolmen toisen asteen yhtälön ratkaisu sinulla, kahden toisen asteen yhtälön ja yhden ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu minulla. Ihan miten vaan.
"Kolmen toisen asteen yhtälön ratkaisu sinulla, kahden toisen asteen yhtälön ja yhden ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu minulla. Ihan miten vaan."
Krhm. Molemmissa tavoissa selviää kyllä ratkaisemalla lineaarisen kolmen yhtälön yhtälöryhmän. Kolmas yhtälö vain on eri. Toisen asteen yhtälöitä ei joudu ratkaisemaan kummassakaan.
Riippuu siitä, miten määrittelet yhtälön ratkaisemisen tämän tehtävän puitteissa. Itse määrittelin niin, että kun sijoitan pisteen paraabelin tai sen derivaatan yhtälöön, kyseinen yhtälö on ratkaistu (koska piste ratkaisee yhtälön). Tämä kahden toisen asteen yhtälön ja yhden ensimmäisen asteen yhtälön ratkaisu sitten johtaa kyseiseen yhtälöryhmään.
"Riippuu siitä, miten määrittelet yhtälön ratkaisemisen tämän tehtävän puitteissa."
Tähän on vaikea sanoa enää mitään.
Alkuperäiselle kysyjälle ehdottaisin vielä, että opettelee myös tuon derivaattakonstin. Siitä voi olla apua yllättävän usein.
Liian pitkiä unettomia öitä fyssan labran käytävillä ja tulee ihmeellisiä ajatuksia päähän. Siksi käytän nykyään foliohattua.
tota miten noi sun kysymyksesi viittaa tai kuuluu matematiikkaan?!ite oon jo amiksen toisella luokalla ja mulla ei ole ollut koskaan noita laskuja,mitä sä kerroit.