Piirsin ympyrän ja sen sisään joka kulmallaan ympyrään koskettavan neliön, jonka sisään taas neliöön rajautuvan ympyrän.
Ulomman ympyrän säteen pituus on 100 ja mittaustyökalun mukaan sisemmän ympyrän säde on 70,71, josta päättelin pienemmän ja isomman ympyrän säteiden suhteen olevan puolet neliöjuuri kahdesta.
Hetken aikaa kuviota katsottua se varmaan niin onkin, koska neliön lävistäjä on sama kuin ulomman ympyrän halkaisija, eli neliön sivu on säde kerrottuna neliöjuuri kahdella, joka on taas sama kun neliössä olevan ympyrän halkaisija.
Jos pienemmän ympyrän sisään piirrettäisiin taas neliö, ja neliön sisään ympyrä, niin suhdeluku lienee taas sama. Ja tätä jos jatketaan, niin lähestytään ilmeisesti nollaa, mutta sitä ei koskaan saavuteta.
Kysymykseni koskee pinta-alaa. Eli mitähän arvoa kohti mennään, jos ensin lasketaan suurimman ympyrän pinta-ala, josta vähennetään sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Sen jälkeen arvoon lisätään seuraavan ympyrän pinta-ala vähennettynä sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Ja tätä jatketaan loputtomiin.
Koska summattavat menevät kohti nollaa, niin meneekö yhteenlaskettu pinta-ala kohti ääretöntä?
Ulomman ympyrän säteen pituus on 100 ja mittaustyökalun mukaan sisemmän ympyrän säde on 70,71, josta päättelin pienemmän ja isomman ympyrän säteiden suhteen olevan puolet neliöjuuri kahdesta.
Hetken aikaa kuviota katsottua se varmaan niin onkin, koska neliön lävistäjä on sama kuin ulomman ympyrän halkaisija, eli neliön sivu on säde kerrottuna neliöjuuri kahdella, joka on taas sama kun neliössä olevan ympyrän halkaisija.
Jos pienemmän ympyrän sisään piirrettäisiin taas neliö, ja neliön sisään ympyrä, niin suhdeluku lienee taas sama. Ja tätä jos jatketaan, niin lähestytään ilmeisesti nollaa, mutta sitä ei koskaan saavuteta.
Kysymykseni koskee pinta-alaa. Eli mitähän arvoa kohti mennään, jos ensin lasketaan suurimman ympyrän pinta-ala, josta vähennetään sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Sen jälkeen arvoon lisätään seuraavan ympyrän pinta-ala vähennettynä sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Ja tätä jatketaan loputtomiin.
Koska summattavat menevät kohti nollaa, niin meneekö yhteenlaskettu pinta-ala kohti ääretöntä?
Vastaukset 3
Vanhimmat
Siirryin CAD:istä taulukkolaskentaohjelmaan. Kun ulommaisen ympyrän säteeksi laitetaan 1, niin pinta-alojen erotusten summa näyttäisi lähenevän arvoa 2,283185307.
Tuo arvohan vaikuttaisi olevan 2 * pii - 4. Ensimmäisen neliön pinta-ala on silloin 2.
Ympyrän säteellä 2 on erotusten summa 9,132741229.
Tuosta pähkäilemällä tulin lopputulokseen, että suurimman ympyrän säteen ollessa r erotusten summat lähenevät arvoa
2*(pii-2)*r^2
Tuohon on varmaan joku matemaattinen perustelukin, mutta siihen ei omat taitoni tällä hetkellä riitä, kun sarjalaskentataidot on aika huonossa hapessa.
Kahden suppenevan geometrisen sarjan summasta siinä on kysymys.
Ympyrällä summa on pii*R^2/½, ja neliön kohdalla summa on 2R^2/½.
Niiden erotus on (2pi-4)*R^2
Jos 1. ympyrän säde on r(0) niin 1. neliön sivun puolikas on on s(0) = r(0) / sqrt(2). Seuraavan sisemmän ympyrän säde r(1) = s(0) ja sen sisällä olevan neliön sivun puolikas s(1) = r(1) / sqrt(2) = r(0)/(sqrt(2))^2. Ihan yleisesti jos ympyrän n 1:sen ympyrän säde on r(n) = r(0) / (sqrt(2))^n niin s(n) = r(n)/sqrt(2) = r(0)/(sqrt(2))^(n 1).
r(i)-säteisen ympyrän ala on pi r(i)^2 = pi r(0)^2 / 2^n ja sen sisällä olevan neliön ala on (2 s(i))^2 =
4 * r(0)^2 / (sqrt(2))^(i 1) = r(0)^2 /2^(i 1)
Tuo kysytty alojen summa on
Summa (0 <= i ) (pi r(i)^2 - 4 s(i)^2) = r(0)^2 * Summa (0 <= i)(pi /2^i - 1/2^(i 1)) =
(pi - 2)* r(0)^2 Summa (0 <= i) (1/ 2^i) = (pi - 2) * r(0)^2 * (1/ (1 - 1/2) = 2(pi- 2) * r(0)^2). Tuossa lopussa laskettiin siis geometrisen sarjan 1 1/2 1/4 ... summa.
Tässä tehtävässä oli r(0) = 100.
Ohman