CAD-matematiikkaa, ympyröitä joissa neliöitä jne.

cädi_muttei_läk

Piirsin ympyrän ja sen sisään joka kulmallaan ympyrään koskettavan neliön, jonka sisään taas neliöön rajautuvan ympyrän.

Ulomman ympyrän säteen pituus on 100 ja mittaustyökalun mukaan sisemmän ympyrän säde on 70,71, josta päättelin pienemmän ja isomman ympyrän säteiden suhteen olevan puolet neliöjuuri kahdesta.

Hetken aikaa kuviota katsottua se varmaan niin onkin, koska neliön lävistäjä on sama kuin ulomman ympyrän halkaisija, eli neliön sivu on säde kerrottuna neliöjuuri kahdella, joka on taas sama kun neliössä olevan ympyrän halkaisija.

Jos pienemmän ympyrän sisään piirrettäisiin taas neliö, ja neliön sisään ympyrä, niin suhdeluku lienee taas sama. Ja tätä jos jatketaan, niin lähestytään ilmeisesti nollaa, mutta sitä ei koskaan saavuteta.

Kysymykseni koskee pinta-alaa. Eli mitähän arvoa kohti mennään, jos ensin lasketaan suurimman ympyrän pinta-ala, josta vähennetään sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Sen jälkeen arvoon lisätään seuraavan ympyrän pinta-ala vähennettynä sen sisällä olevan neliön pinta-ala. Ja tätä jatketaan loputtomiin.

Koska summattavat menevät kohti nollaa, niin meneekö yhteenlaskettu pinta-ala kohti ääretöntä?

3

<50

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • cädi_muttei_läk

      Siirryin CAD:istä taulukkolaskentaohjelmaan. Kun ulommaisen ympyrän säteeksi laitetaan 1, niin pinta-alojen erotusten summa näyttäisi lähenevän arvoa 2,283185307.
      Tuo arvohan vaikuttaisi olevan 2 * pii - 4. Ensimmäisen neliön pinta-ala on silloin 2.

      Ympyrän säteellä 2 on erotusten summa 9,132741229.

      Tuosta pähkäilemällä tulin lopputulokseen, että suurimman ympyrän säteen ollessa r erotusten summat lähenevät arvoa

      2*(pii-2)*r^2

      Tuohon on varmaan joku matemaattinen perustelukin, mutta siihen ei omat taitoni tällä hetkellä riitä, kun sarjalaskentataidot on aika huonossa hapessa.

    • Summassavaan

      Kahden suppenevan geometrisen sarjan summasta siinä on kysymys.
      Ympyrällä summa on pii*R^2/½, ja neliön kohdalla summa on 2R^2/½.
      Niiden erotus on (2pi-4)*R^2

    • Ohman

      Jos 1. ympyrän säde on r(0) niin 1. neliön sivun puolikas on on s(0) = r(0) / sqrt(2). Seuraavan sisemmän ympyrän säde r(1) = s(0) ja sen sisällä olevan neliön sivun puolikas s(1) = r(1) / sqrt(2) = r(0)/(sqrt(2))^2. Ihan yleisesti jos ympyrän n 1:sen ympyrän säde on r(n) = r(0) / (sqrt(2))^n niin s(n) = r(n)/sqrt(2) = r(0)/(sqrt(2))^(n 1).

      r(i)-säteisen ympyrän ala on pi r(i)^2 = pi r(0)^2 / 2^n ja sen sisällä olevan neliön ala on (2 s(i))^2 =

      4 * r(0)^2 / (sqrt(2))^(i 1) = r(0)^2 /2^(i 1)
      Tuo kysytty alojen summa on

      Summa (0 <= i ) (pi r(i)^2 - 4 s(i)^2) = r(0)^2 * Summa (0 <= i)(pi /2^i - 1/2^(i 1)) =

      (pi - 2)* r(0)^2 Summa (0 <= i) (1/ 2^i) = (pi - 2) * r(0)^2 * (1/ (1 - 1/2) = 2(pi- 2) * r(0)^2). Tuossa lopussa laskettiin siis geometrisen sarjan 1 1/2 1/4 ... summa.

      Tässä tehtävässä oli r(0) = 100.

      Ohman

    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Hoitajalakko peruuntuu, tilalle joukkoirtisanoutumiset

      "Tehyn ja Superin hallitukset kokoontuivat tänään toteamaan, että tilanne edellyttää järeämpiä työtaistelutoimia." https://www.hs.fi/politiikka/art-2
      Maailman menoa
      739
      9286
    2. Johan tuli oikea aivopieru Britti Lordilta

      Emeritusprofessori Lordi Robert Skidelsky sanoi Suomen rikkovan YYA sopimusta joka on tehty Neuvostoliiton kanssaa 1948. Mitä pir
      Maailman menoa
      374
      8179
    3. Tehyn Rytkösellä tallessa tekstiviestit A-studiokohussa

      https://www.mtvuutiset.fi/artikkeli/a-studiosta-kohu-tehyn-rytkosen-mukaan-ministeri-linden-sai-paattaa-osallistujat-ohjelma-kiistaa-vaitteen/8407068
      Maailman menoa
      164
      6019
    4. William ja Sonja Aiello ERO

      Hyvä Sonja! Nyt etsit uudet kaverit ja jätät nuo huume- ja rahanpesu porukat haisemaan taaksesi!
      Kotimaiset julkkisjuorut
      54
      2453
    5. Oho! Seurapiirikaunotar, ex-missi Sabina Särkkä yllättää tällä harvinaisella kyvyllä: "Mulla on..."

      Sabina Särkkä on nähty monissa tv-reality-sarjoissa. Mutta tiesitkö, että Särkällä on valokuvamuisti? https://www.suomi24.fi/viihde/oho-seurapiirikaun
      Kotimaiset julkkisjuorut
      6
      2159
    6. Se siitä sitten

      Kirjoitan tänne kun en sulle voi. En vaivaa sua enää koskaan. En ikinä tarkoittanut olla ahdistava tai takertuva. Tunteet heräsi enkä osannut olla tyy
      Ikävä
      82
      1795
    7. Ohhoh! Rita Niemi-Manninen otti ison tatuoinnin - Herätti somekansan: "Täydellinen paikka!"

      Rita Niemi-Mannisen suuri, uusi tatuointi on saanut somekansan heräämään talvihorroksesta. Niemi-Manninen otti tatskan rakkauslomalla Aki-miehensä kan
      Kotimaiset julkkisjuorut
      20
      1738
    8. Harvoin julkisuudessa nähty Jari Sillanpää, 56, julkaisi uusia kuvia - Karisti Suomen pölyt jaloista

      Huumekohun jälkeen matalaa profiilia pitänyt Jari "Siltsu" Sillanpää on ollut vaitonainen elämästään. Tänä keväänä miehen some on ollut hiljainen. Nyt
      Kotimaiset julkkisjuorut
      8
      1595
    9. Ihastumisesta kertominen

      Olen päättänyt kertoa tunteistani ihastukseni kohteelle. Erityisen vaikeaksi tilanteeni tekee se, että kyseessä on ns. kielletty rakkaus. Olen jo toi
      Ihastuminen
      92
      1519
    10. Taas Venäjän tiedoittaja akka Varoitti Suomea ja Ruotsia liittymästä Natoon

      Juuri sopivasti julkaistu varoitus, kun Suomen eduskunta alkaa klo 13:50 käsitellä asiaa suorassa TV 1:n lähetyksessä. ILtasanomat.
      Maailman menoa
      441
      1418
    Aihe