90 asteen kulman trigonometriset funktiot

Eipä sitä suorakulmaisesta kolmiosta saa. Suorakulmaisen kolmion määritelmästä voidaan laskea terävien kulmien trigonometristen funktioiden arvot. Periaatteessa voisi ottaa raja-arvo, mutta siinä pitää silloin olettaa, että arvot voidaan yleistää 90 asteen kulmille. Jos taas ottaa yksikköympyrän, niin siitä sen saa.

Täsmällisesti matematiikassa kosini määritellään ensiksi jotenkin. Sen voi tehdä vaikkapa sarjakehitelmänä, kompleksiluvuilla tai sopivan differentiaaliyhtälön ratkaisuna, kun alkuarvo on annettu. Sitten määritelmästä johdetaan tarpeelliset ominaisuudet ja saadaan cos 90 astetta laskettua.

Turhan monimutkaista jaarittelua. Kyse on siitä, jos otetaan vaan pelkkä suorakulmainen kolmio ilman koordinaatistolaajennusta, niin kosini on kulman viereisen kateetin suhde hypotenuusaan.
Jos alat tuota viereistä kateettia liukuvasti lyhentämään, niin kulma samaan tahtiin suurenee ja kolmio "kapenee". Rajatilassa olisi kolmio jossa olisi toinen kateetti nollan mittainen (ja kosini nolla) ja kaksi 90 asteista kulmaa; )
No, matematiikassa ei periaatteessa tämänasteinen 'järki-intuitio' teoreetikkoja tyydytä, joten aletaan keksimään lisää määritelmiä, joiden varaan uusia teorioita sitten rakennetaan. Ja jos käytännön tarpeisiin hyviä ovat, niin hyvä niin... esim. negatiiviset luvut vaikka tyhjää vähempää vaikkapa omenoita ei todellisuudessa voi olla. Toisaalta taas pankkitilin saldo voi mennä miinukselle; tästä voi jollakulla olla käytännön kokemustakin jopa.
ps. Muuten ihan terävä kysymys aloittajalta, pistä vaan haasteita teoreetikoille ja idearikasta uutta vuotta tasapuolisesti.

Suorakulmaisessa kolmiossa voi olla vain yksi suora kulma ja se on jo "käytetty".
(Kannattaa miettiä yksikköympyrällä, niin saa asian visualisoitua mielessään tai paperilla)

Onko selkeintä sanoa, että kannattaa juuri tässä vaiheessa siirtyä käyttämään kosinin määrittelyä yksikköympyrän kautta, kuten aloittaja tietää?

Mielestäni nuo ylläolevat eivät olleet hyviä perusteluja.

Vai osaako joku sanoa jonkun muun hyvän tavan perustella 90 asteen kosinin arvo?

Ennen vanhaan lähtökohtana ja oppiaineistona näissä asioissa oli maalais- (myös kaupunkikansakoulun) lyhykäinen mittausoppi, mistä löytyi käsitteitä mm. neliö, kolmio, -- ei välttämättä kaksiota--, suora, kulma, suorakulma, kanta, korkeus, pinta-ala, ympyrä ja kuutio. Keskikoulussa kolmioista suhteilla pelaaminen osittain ja miksei sini ja kosinikin. Siellä ne jutun juuret on.

Jos nyt tarjotaan sokkona yksikköympyrää lähtökohdaksi, niin sehän on uskomista auktoriteettiin kritiikittä, silta ymmärtämykseen puuttuu. Nykykoulussakin kysytään usein, näin luulen, että mitähän tuollakin tiedolla tekee, ehkä muuta kuin heikoin lenkki tietokilpailussa, paljonko on kosini 90 astetta.
On toki lukiolaisille ollut olemassa valmis vastaus: se pitää tietää ylioppilaskirjoituksissa.

Matematiikka ajatusleikkiä vai ajatustotta? On sitä mietitty ihan ohjelmiksi asti.
Esim. ohjelma prisma: suuri matematiikka mysteeri:
https://areena.yle.fi/1-3551595
Pitänee tässä kirjoittajankin katsoa selviääkö mysteeri vai ei. Mihin tulokseen palstan lukijat tulenette eli tullette ;)
Tsemppiä!