”Heitetään kahdesti n-tahkoista noppaa (n>=7). Oletetaan, että nopan jokaisen silmäluvun todennäköisyys on sama. Millä todennököisyydellä:
a) Silmälukujen summa on 7.
b) jälkimmäinen luku on suurempi kuin ensimmäinen.”
Juu elikkäis näistä tarvitsisin hieman valaistusta kyseisen tehtävän kohtaan b). Kiitos!
a) Silmälukujen summa on 7.
b) jälkimmäinen luku on suurempi kuin ensimmäinen.”
Juu elikkäis näistä tarvitsisin hieman valaistusta kyseisen tehtävän kohtaan b). Kiitos!
Vastaukset 6
Vanhimmat
a+0%,+koska+heitetään+kahdesti+ja+pienin+on+7+joten+pienin+mahdollinen+summa+on+14,+jos+kerran+niin+1/n+=+x%
b)suotuisia tapauksia ovat
(1,2), (1,3),...,(1,n)
(2,3),......,(2,n)
.....
(n-1,n)
Näitä on (n-1) (n-2) ... 2 1 = n(n-1) / 2 kappaletta . Kaikkiaan mahdollisuuksia on n^2. Kysytty
tn = (n(n-1)/2) / n^2 = (n-1) / (2n).
esim. n= 2, tn = 1/4
n= 3, tn = 1/3
n = 4, tn = 3/8 jne
Hieman jäi epäselväksi, mistä nimittäjään ilmestyy luku 2 tuossa ”näitä on” kappaleen toteamuksessa.
Lukujen 1,2,...,n summa on n(n 1)/2. Tässä oli lukujen 1,2,...,n-1 summa joka on siis (n-1)n / 2 = n(n-1)/2.
Kysytty tn voidaan päätellä näinkin:
Kaikkiaan kahdella heitolla on n^2 eri tulosmahdollisuutta. Näistä sellaisia, joissa molemmilla heitoilla tulee sama tulos, on n kappaletta.Tapauksia, joissa nopilla saadaan eri suuret tulokset, on siis n^2 - n = n(n-1) kappaletta. Tuloksia (i,j) missä i < j on yhtä monta kuin niitä tuloksia missä j > i eli kumpiakin on n(n-1)/2 kappaletta. Yhteensä n n(n-1)/2 n(n-1)/2 = n^2 kuten pitääkin.
Kysytty tn =( n(n-1)/2) / n^2 = (n-1) / (2n) .
Sanon vielä vähän selvemmin:
Olkoon (i,j) tulos jossa 1. heitolla saadaan i ja toisella heitolla j, i ja j ovat siis joitain lukuja joukosta (1,2,...,n).Mahdollisia tuloksia (i,j) on siis n^2 kappaletta.
Tuloksia (i,i) on n kappaletta. Tuloksia, joissa i =/ j on siis n^2 - n kappaletta.Tuloksia (i,j) missä i < j on yhtä monta kuin tuloksia (j,i). Sllä jokaista tulosta (i,j) missä i < j vastaa tulos (j,i) missä j > i ja kääntäen. Joukoissa ( (i,j) ) ja ( (j,i) ) on siis yhtä monta alkiota (lukuparia).
Siis tuloksia (i,j) missä i < j on (n^2 - n)/2 kappaletta. Yhteensä n 2*((n^2-n) / 2) = n^2.
Voidaan ratkaista myös piirtämällä n x n taulukko, jossa pystyrivi edustaa 1. heittoa ja vaakarivi toista. Siitä nähdään, että silmälukujen summa = 7 edustaa 6 tapausta. Eli todennäköisyys on 6/n^2. Taulukossa lävistäjällä silmäluvut ovat samat (n tapausta). Lävistäjän yläpuolella 2. heitto on suurempi kuin 1. Niiden tapausten lkm = (n^2-n)/2. Eli kysytty tn = (n-1)/(2n).