Kolmen kuution summa on 33

Jos oikein laiskottaa eikä osaa ratkaista toisen asteen yhtälöä, voi annetun yhtälön ratkaista suoraan esim. wolfram alphalla:

x^3 (87723532425289-x)^3-2736111468807040^3-33=0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^3 (87723532425289-x)^3-2736111468807040^3-33=0

x = 8866128975287528
y = -8778405442862239

Oikeasti z:n arvoa ei tietystikään tiedetä. Sitä haetaan kokeilemalla eri tavoin suodatetuilla kelvollisilla |x y|:n arvoilla. Ratkaisussa |x y| = 87723532425289. Sen avulla voidaan laskea kuutiojuuri modulon kaavasta z:lle mahdollisia arvoa.

z^3 ≡ -33 (mod 87723532425289 )

https://www.wolframalpha.com/input/?i=z^3 ≡ -33 (mod 87723532425289 )

Saaduista komesta juuresta pienimmällä (ja n=31) saa annetun yhtälön toteuttavan z:n arvon. Koska z:n on oltava parillinen (33 ja |x y| parittomia), riittää kokeilla vain parittomia n:n arvoja.

-z = 16681963623081 31*87723532425289 = 2736111468807040

Andrew Booker hyödynsi (modulaarisen) matematiikan ja ohjelmoinnin syvällistä osaamistaan muita paremmin ja pyrki kaikessa minimoimaan hankalien laskutoimitusten määrän erilaisilla älykkäillä kaavojen pyörittelyillä ja optimoiduilla ohjelmilla. Onneakin tietysti tarvittiin, sillä ratkaisuun olisi voinut yhtä hyvin mennä kolme vuotta tai pitempäänkin kolmen viikon (15 core-years) asemasta. Sen ovat kymmenet muut kokeneet! Ja nyt hänellä haussa oleva ratkaisu 42:lle ei varmasti löydy ihan yhtä nopeasti hänen menetelmällään haetusta lukuavaruudesta. Hänellä on käytössä vain 250 ydintä yliopiston supertietokoneessa. Joku muu saattaa ehti ennen.

Kyllä jo ennen sinunkin syntymää, kolmen kuution summia laskettiin kaikkialla. Ja niihin kulutettiin nykyista paljon enemmän aikaa.

Tiedät varmasti, että sinunkin opiskeluaikana opiskelijoille opetettiin alle promille silloisesta matematiikan tietämyksestä. Lisenssiaatti ja tohtoritason opinnoissa päästin yhteensä koko Sumessa ehkä pariin prosenttiin. Varsinainen oppiminen tapahtui vasta oman tutkimusuran aikana. Ja jos ei ole mitään matematiikan alaa tutkinut työkseen, ei kovin paljoa voikaan tietää.

Matematiikka ja tietokoneet kehittyvät samaa tahtia. Ilman tietokoneita monet matematiikan alat olisivat vain yksittäisten nerojen ymmärrettävissä ja sovellettavissa johonkin käytännön ongelmaan. Ja usein ne kaikkein tyhmimmät ja turhimmat kokonaislukulaskut vaativat kaikkein monimutkaisinta ja vaikeimmin ymmärrettävää matematiikkaa.

Ja myös 795 löytyi pari kuukautta sitten. Ja ehkä osa muistakin alle tuhanen luvuista on jo nyt löytynyt, vaikkei tuloksia ole vielä julkaistu (julkisesti).

https://link.springer.com/article/10.1007/s40993-019-0162-1

Matemaattisesti suoraviivainen ja yksinkertainen tehtävä. Voidaan jakaa miljoonille yksittäisille täysin erillisille prosessoreille. Kaikki onnistuu lukiotason laskutoimituksilla. Niitä vaan on hirvittävän kamalan suuri määrä.

Käymällä läpi ehdot täyttäviä d:n (|x-y|) arvoja jonkun tietokoneen jollekin prosessille tuli seuraavaksi d:n arvo 102980666258459. Siitä saadaan kuutiojuuri moduloksi z0 = 38482013803633. (Kaksi muuta saatua juurta eivät johda ratkaisuun.)

Koska d modulo 18 on 17, z modulo 18 on oltava 11. (18 luvun taulukko). Haetaan ensimmäinen sopiva z1 = z0 n*d. Kun n on 14, ehto toteutuu ja z1 = 1480211341422059. Nyt aloitetaan ratkaisuun johtavan z:n haku z = z1 n*18*d. Kun n on 6, z = 12602123297335631 ja x:lle löytyy kokonaislukuarvo. Ja alkuperäinen yhtälö ratkeaa!

Paljon pientä näpertelyä suhteellisen pienillä paljon alle 64-bit luvuilla ja helpoilla ja nopeilla optimoiduilla laskutoimituksilla. Tärkeintä on karsia jo heti alkuvaiheessa pois kaikki mahdottomat d:n arvot. Esim. d ei saa olla jaollinen luvuilla 3, 4, 13, 19, 31, 37, 49,... Ei löydy juurta. Jos d on parillinen, sen modulo 24 on oltava 10 tai 14. Jos d on jaollinen 7:llä, vain kolme d modulo 49 arvoa on mahdollisia. Booker on keksinyt varmasti paljon muutakin.

Anonyymi kirjoitti:

Matemaattisesti suoraviivainen ja yksinkertainen tehtävä. Voidaan jakaa miljoonille yksittäisille täysin erillisille prosessoreille. Kaikki onnistuu lukiotason laskutoimituksilla. Niitä vaan on hirvittävän kamalan suuri määrä.

Käymällä läpi ehdot täyttäviä d:n (|x-y|) arvoja jonkun tietokoneen jollekin prosessille tuli seuraavaksi d:n arvo 102980666258459. Siitä saadaan kuutiojuuri moduloksi z0 = 38482013803633. (Kaksi muuta saatua juurta eivät johda ratkaisuun.)

Koska d modulo 18 on 17, z modulo 18 on oltava 11. (18 luvun taulukko). Haetaan ensimmäinen sopiva z1 = z0 n*d. Kun n on 14, ehto toteutuu ja z1 = 1480211341422059. Nyt aloitetaan ratkaisuun johtavan z:n haku z = z1 n*18*d. Kun n on 6, z = 12602123297335631 ja x:lle löytyy kokonaislukuarvo. Ja alkuperäinen yhtälö ratkeaa!

Paljon pientä näpertelyä suhteellisen pienillä paljon alle 64-bit luvuilla ja helpoilla ja nopeilla optimoiduilla laskutoimituksilla. Tärkeintä on karsia jo heti alkuvaiheessa pois kaikki mahdottomat d:n arvot. Esim. d ei saa olla jaollinen luvuilla 3, 4, 13, 19, 31, 37, 49,... Ei löydy juurta. Jos d on parillinen, sen modulo 24 on oltava 10 tai 14. Jos d on jaollinen 7:llä, vain kolme d modulo 49 arvoa on mahdollisia. Booker on keksinyt varmasti paljon muutakin.

Lue lisää

Jos ei halua n%C3%A4perrell%C3%A4 pienill%C3%A4 luvuilla%2C tuon voi laskea my%C3%B6s perinteisell%C3%A4 tavalla k%C3%A4ytt%C3%A4en d%3An sijasta t%3At%C3%A4 %28t %3D %7Cy%2Bz%7C%29. Ongelmana on tietysti se%2C ett%C3%A4 noita t%3An arvoja on n. 8 kertainen m%C3%A4%C3%A4r%C3%A4 ja niiden alkutekij%C3%B6iden haku on hitaampaa eik%C3%A4 t%C3%A4ll%C3%B6in voi my%C3%B6sk%C3%A4%C3%A4n hy%C3%B6dynt%C3%A4%C3%A4 sit%C3%A4 tosiasiaa%2C ett%C3%A4 x ja y ovat nimellisarvoiltaan eritt%C3%A4in usein suhteellisen l%C3%A4hell%C3%A4 toisiaan. Jos eiv%C3%A4t olisi olleet%2C niin 42%3An laskenta jatkuisi viel%C3%A4 muutaman kuukauden.%3Cbr %2F%3E%3Cbr %2F%3Et %3D %7Cy%2Bz%7C %3D 93037881443153146 . Tuon kun sijoittaa vaikka Wolfram Alphaan%2C saa x%3An arvon. %3Cbr %2F%3E%3Cbr %2F%3Ehttps%3A%2F%2Fwww.wolframalpha.com%2Finput%2F%3Fi%3Dx%5E3%2B%E2%89%3Cbr %2F%3E%A1%2B-42%2B%28mod%2B%2893037881443153146%29%2B%29%3Cbr %2F%3E%3Cbr %2F%3EV%C3%A4%C3%A4r%C3%A4pariteettiset ja liian pienet arvot voi hyl%C3%A4t%C3%A4. Ja tietysti v%C3%A4%C3%A4r%C3%A4t x%3An modulo 18 arvot. K%C3%A4yt%C3%A4nn%C3%B6ss%C3%A4 vain muutama prosentti p%C3%A4%C3%A4see jatkok%C3%A4sittelyyn. R%C3%A4%C3%A4t%C3%A4l%C3%B6im%C3%A4ll%C3%A4 isojen lukujen kuutiojuurimoduloiden laskennassa tarvittavaa kiinalaista j%C3%A4%C3%A4nn%C3%B6slausetta huomioimaan kaikki reunaehdot automaattisesti ja keskeytt%C3%A4m%C3%A4ll%C3%A4 laskenta heti%2C jos yksikin ehto ei en%C3%A4%C3%A4 toteudu%2C saattaisi ehk%C3%A4 p%C3%A4%C3%A4st%C3%A4 saamaan nopeuteen kuin d%3At%C3%A4 k%C3%A4ytt%C3%A4en.