"1000 m pitkä ratakisko on päistään hitsattu kiinni. Se katkaistaan keskeltä ja väliin liitetään 1,0 metrin mittainen pala kiskoa. Tällöin kisko nousee irti maasta ympyrän kaarelle. Kuinka korkealla maasta kiskon ylin kohta on? (Tehtävän ratkaisu vaatii numeerisen ratkaisun)"
Tällaista olen pähkinyt. Olen kaiketi ihan hakoteillä, mutta seuraavaa olen saanut aikaan:
Tarkastellaan ympyrän sektoria, jonka
- kaari on 1001
- kaaren päätepisteitä P ja Q yhdistävä jana PQ=1000
- ympyrän keskipiste O
- säde OP = OQ = r
Ja edelleen, kysyttyä etäisyyttä (kaaren suurin etäisyys janasta PQ) merkitään x:llä ja janan QP keskipistettä R:llä.
ORQ on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat OR = r-x ja RQ = 500 sekä hypotenuusa OQ =r.
Pythagoraan lauseella saadaan:
(r-x)^2 500^2 = r^2, josta
x = r - sqrt(r^2-500^2). Merk. f(r) = r sqrt(r^2-500^2)
Tuosta sitten muodostin f'(r):n ja f''(r):n ja kokeilin ratkaista x[max]:n Newtonin menetelmällä, mutta funktio taitaa olla ihan väärä...
Tehtävän oikea ratkaisu on 19 metriä.
Apua, vinkkejä?!?
Ratakisko kaarella
11
8994
Vastaukset
Kun piirretään kuva (mukana jänteen puolittaja) ja merkitään, että päätepisteitä yhdistävän janan pituus on L, syntyvän kaaren pituus s ja sen säde R, kaarta vastaava keskuskulma α sekä kaaren korkeus jänteestä h, saadaan helposti yhtälöt:
s = α*R (kaaren pituus)
L/(2*R) = sin(α/2) (suorakulmaisesta kolmiosta)
R^2 = (L/2)^2 (R - h)^2 (Pytagoras).
Kun ensimmäisestä yhtälöstä ratkaistaan α ja sijoitetaan se toiseen, saadaan yhtälö R:n ratkaisemiseksi. Tämä on valitettavasti transkendentaalinen ja täytyy ratkaista numeerisesti.
Kun viimeinen yhtälö ratkaistaan h:n suhteen ja sijoitetaan ratkaisuun jo tunnetut arvot, saadaan lopputulos.- FlipFlopp
Sain ohjeiden avulla vastaukseksi 19.3678211... = 19 (m), eli ilmeisesti oikein.
Mikäs olisi näppärin ns. lukiolaisen numeerinen keino ratkaista R yhtälöstä R = L/(2*sin(s/(2*R))), L=1000, s=1001. Maple antaa vastaukseksi R=6463.688168... FlipFlopp kirjoitti:
Sain ohjeiden avulla vastaukseksi 19.3678211... = 19 (m), eli ilmeisesti oikein.
Mikäs olisi näppärin ns. lukiolaisen numeerinen keino ratkaista R yhtälöstä R = L/(2*sin(s/(2*R))), L=1000, s=1001. Maple antaa vastaukseksi R=6463.688168...Kannattaa tutustua linkin
http://www.csc.fi/csc/julkaisut/oppaat
verkkojulkaisuun "Numeeriset menetelmät käytännössä" ja etenkin sen lukuun 6 "Epälineaariset yhtälöt".- Tiiseli
Ei se noin mene. Teidän kaavoistanne puuttuu kokonaan melkein tärkein muuttuja: teräksen kimmomoduli. Kai sekin vaikuttaa siihen kuinka korkealle se käyrä nousee?
Käytännössä ei muodostu minkäänlaista käyrää: teräksen lämpölaajeneminen on noin 1,1 mm/m kun T = 100 ºC. Tuo lämpötilaero voi Suomen oloissa hyvinkin toteutua talven paukkupakkasten ja paahteisen kesäpäivän helteen aiheuttamien lämpötilaerojen välillä.
Rautatiekiskot on hitsattu yhtenäiseksi kiskoksi. Tällöin noilla oletusarvoilla lämpöpitenemisen aiheuttama pituuden kasvu 1.000 metrin matkalla olisi likimain tuo 1 m. Jostakin syystä ei kuitenkaan missään nähdä 19 metrin hellekäyriä, missähän lienee syy?
Kiskot on sidottu lujasti teräsbetonisiin ratapölkkyihin, ne eivät pääse käyristymään. Syy on hyvinkin siinä, että rautatiekisko pystyy kimmomodulinsa ansiosta puristumaan kokoon juuri tuon 1 metrin 1.000 metrin matkalla kun tarpeeksi voimaa vaikuttaa.
Tuota tehtävää ei yksinkertaisesti voi laskea noilla tiedoilla, pitäisi vähintään tuntea teräksen ominaisuudet (kimmomoduli) ja kiskon paino (tavallisesti 52 kg/m). Noista voisi lähteä, mutta helppopa tehtävä se ei olisi.
-- Tiiseli kirjoitti:
Ei se noin mene. Teidän kaavoistanne puuttuu kokonaan melkein tärkein muuttuja: teräksen kimmomoduli. Kai sekin vaikuttaa siihen kuinka korkealle se käyrä nousee?
Käytännössä ei muodostu minkäänlaista käyrää: teräksen lämpölaajeneminen on noin 1,1 mm/m kun T = 100 ºC. Tuo lämpötilaero voi Suomen oloissa hyvinkin toteutua talven paukkupakkasten ja paahteisen kesäpäivän helteen aiheuttamien lämpötilaerojen välillä.
Rautatiekiskot on hitsattu yhtenäiseksi kiskoksi. Tällöin noilla oletusarvoilla lämpöpitenemisen aiheuttama pituuden kasvu 1.000 metrin matkalla olisi likimain tuo 1 m. Jostakin syystä ei kuitenkaan missään nähdä 19 metrin hellekäyriä, missähän lienee syy?
Kiskot on sidottu lujasti teräsbetonisiin ratapölkkyihin, ne eivät pääse käyristymään. Syy on hyvinkin siinä, että rautatiekisko pystyy kimmomodulinsa ansiosta puristumaan kokoon juuri tuon 1 metrin 1.000 metrin matkalla kun tarpeeksi voimaa vaikuttaa.
Tuota tehtävää ei yksinkertaisesti voi laskea noilla tiedoilla, pitäisi vähintään tuntea teräksen ominaisuudet (kimmomoduli) ja kiskon paino (tavallisesti 52 kg/m). Noista voisi lähteä, mutta helppopa tehtävä se ei olisi.
--Aina näyttää paikalle ilmaantuvan joku viisastelija, jonka mielestä jo tehtävänanto on väärin tuloksista puhumattakaan.
Voit toki ratkaista meidän iloksemme keksimäsi tehtävän. Mutta muista ottaa huomioon myös teräksen elastisplastinen käyttäytyminen ja rakenteen stabiliteetti.
Jäämme mielenkiinnolla odottamaan esittämiäsi laskelmia.- Tiiseli
Jäärä kirjoitti:
Aina näyttää paikalle ilmaantuvan joku viisastelija, jonka mielestä jo tehtävänanto on väärin tuloksista puhumattakaan.
Voit toki ratkaista meidän iloksemme keksimäsi tehtävän. Mutta muista ottaa huomioon myös teräksen elastisplastinen käyttäytyminen ja rakenteen stabiliteetti.
Jäämme mielenkiinnolla odottamaan esittämiäsi laskelmia.>ottaa huomioon myös teräksen elastisplastinen käyttäytyminen
Tämähän se pitääkin ottaa huomioon. Jotkut keksii viisaissa päissään tehtäviä, joiden ratkaisuilla ja käytännöllä ei ole tekemistä keskenään sen enempää kuin ihmisellä ja pussirotalla.
Laskelmia minun ei tarvitse esittää, koska olen jo käytännön esimerkillä osoittanut, että tuhannen metrin kiskoon ei yhden metrin pituudenlisäys aiheuta minkäänlaista käyristymistä. Ken ei usko minua, käyköön katsomassa: Suomessa löytyy kilometrin pituisia ja pidempiäkin suoria rataosuuksia yhtenäisin kiskoin ja talvella ne eivät katkea eivätkä kesähelteelläkään käyristy, vaikka kiskojen pituus lämpöpitemenisen ansiosta lisääntyykin talvisesta mitastaan jopa 1 metrin kilometrillä. - asettelija
Tiiseli kirjoitti:
>ottaa huomioon myös teräksen elastisplastinen käyttäytyminen
Tämähän se pitääkin ottaa huomioon. Jotkut keksii viisaissa päissään tehtäviä, joiden ratkaisuilla ja käytännöllä ei ole tekemistä keskenään sen enempää kuin ihmisellä ja pussirotalla.
Laskelmia minun ei tarvitse esittää, koska olen jo käytännön esimerkillä osoittanut, että tuhannen metrin kiskoon ei yhden metrin pituudenlisäys aiheuta minkäänlaista käyristymistä. Ken ei usko minua, käyköön katsomassa: Suomessa löytyy kilometrin pituisia ja pidempiäkin suoria rataosuuksia yhtenäisin kiskoin ja talvella ne eivät katkea eivätkä kesähelteelläkään käyristy, vaikka kiskojen pituus lämpöpitemenisen ansiosta lisääntyykin talvisesta mitastaan jopa 1 metrin kilometrillä.tehtävänasettelussa kyllä mainittiin, että
kisko nousee kaarelle. Se, kuinka korkealle, jää
tietysti ratkaisematta.
Muuten, sillä ei ole suurta väliä, onko kiskot
jatkettu hitsaamalla vai sidekiskoin ja pultein.
Jos ajatellaan esimerkiksi 18 m pituista pätkää,
niin sen pituus muuttuisi vapaana reilut
parikymmentä milliä. Ei noin suurta rakoa synny
kiskon päiden väliin, vaikka käytettäisiinkin
pulttiliitosta. Jos syntyisi, niin olisi iskoissa
todella horot reiät.
Vanhasta Keksintöjen kirjasta löysin seuraavia
arvoja: 43,567 kg/m kiskon pultinreikä 25 mm,
sidekiskon pultinreikä 24 mm ja sidepultin
halkaisja 22 mm. Minun laskujeni mukaan tuossa
on tasan kymmenen milliä pelivaraa, ja se tulee
käytetyksi jo alle 10 m pitkillä kiskoilla.
Samaisesta lähteestä löytyy kyllä kaava, jolla
kiskon pituuden muutos lämpötilan funktiona
voidaan laskea, mutta en oikein ymmärrä, miten se
sopii yhteen edellä mainittujen arvojen kanssa. - Tiiseli
asettelija kirjoitti:
tehtävänasettelussa kyllä mainittiin, että
kisko nousee kaarelle. Se, kuinka korkealle, jää
tietysti ratkaisematta.
Muuten, sillä ei ole suurta väliä, onko kiskot
jatkettu hitsaamalla vai sidekiskoin ja pultein.
Jos ajatellaan esimerkiksi 18 m pituista pätkää,
niin sen pituus muuttuisi vapaana reilut
parikymmentä milliä. Ei noin suurta rakoa synny
kiskon päiden väliin, vaikka käytettäisiinkin
pulttiliitosta. Jos syntyisi, niin olisi iskoissa
todella horot reiät.
Vanhasta Keksintöjen kirjasta löysin seuraavia
arvoja: 43,567 kg/m kiskon pultinreikä 25 mm,
sidekiskon pultinreikä 24 mm ja sidepultin
halkaisja 22 mm. Minun laskujeni mukaan tuossa
on tasan kymmenen milliä pelivaraa, ja se tulee
käytetyksi jo alle 10 m pitkillä kiskoilla.
Samaisesta lähteestä löytyy kyllä kaava, jolla
kiskon pituuden muutos lämpötilan funktiona
voidaan laskea, mutta en oikein ymmärrä, miten se
sopii yhteen edellä mainittujen arvojen kanssa.>Samaisesta lähteestä löytyy kyllä kaava, jolla
>kiskon pituuden muutos lämpötilan funktiona
>voidaan laskea, mutta en oikein ymmärrä, miten se
>sopii yhteen edellä mainittujen arvojen kanssa
No eipä sovikaan. Mutta tosiasia on, että jos mittaamme kilometrin pätkän mihinkään sitomatonta ja suoraa ratakiskoa sanotaan vaikka -40 asteen lämpötilassa, ja mittaamme kesäkuumalla kun auringonpaiste on lämmittänyt kiskon jopa 50 asteen lämpötilaan, sama kisko on noin metrin pitempi lämpölaajenemisen ansiosta.
Ja edelleen tosiasia on ja sellaisena pysyy, että Suomessa on jopa useita kilometrejäkin pitkiä yhtenäisiä kiskoja, jotka on lujasti sidottu alustaansa - ne eivät siis pääse taipumaan kaarelle. Mihin silloin joutuu lämpöpitenemisestä syntynyt lisäpituus?
>Muuten, sillä ei ole suurta väliä, onko kiskot
>jatkettu hitsaamalla vai sidekiskoin ja pultein.
>Jos ajatellaan esimerkiksi 18 m pituista pätkää,
>niin sen pituus muuttuisi vapaana reilut
>parikymmentä milliä. Ei noin suurta rakoa synny
>kiskon päiden väliin, vaikka käytettäisiinkin
>pulttiliitosta
Niinhän se ennenaikaan oli. Kyllä junakyyti oli silloin melkoista kolkuttelua kovilla pakkasilla. Kesäaikaan liikuntavara sulkeutui kiinni, ja kyyti oli paljon hiljaisempaa. Se liikuntavara ei toki riittänytkään, vaan hellekäyrien takia piti veturinkuljettajien olla aina valppaana, siltikin onnettomuuksia sattui.
http://www.onnettomuustutkinta.fi/29690.htm
http://vaunut.org/kuvasivu/29424 - häh?
Tiiseli kirjoitti:
>Samaisesta lähteestä löytyy kyllä kaava, jolla
>kiskon pituuden muutos lämpötilan funktiona
>voidaan laskea, mutta en oikein ymmärrä, miten se
>sopii yhteen edellä mainittujen arvojen kanssa
No eipä sovikaan. Mutta tosiasia on, että jos mittaamme kilometrin pätkän mihinkään sitomatonta ja suoraa ratakiskoa sanotaan vaikka -40 asteen lämpötilassa, ja mittaamme kesäkuumalla kun auringonpaiste on lämmittänyt kiskon jopa 50 asteen lämpötilaan, sama kisko on noin metrin pitempi lämpölaajenemisen ansiosta.
Ja edelleen tosiasia on ja sellaisena pysyy, että Suomessa on jopa useita kilometrejäkin pitkiä yhtenäisiä kiskoja, jotka on lujasti sidottu alustaansa - ne eivät siis pääse taipumaan kaarelle. Mihin silloin joutuu lämpöpitenemisestä syntynyt lisäpituus?
>Muuten, sillä ei ole suurta väliä, onko kiskot
>jatkettu hitsaamalla vai sidekiskoin ja pultein.
>Jos ajatellaan esimerkiksi 18 m pituista pätkää,
>niin sen pituus muuttuisi vapaana reilut
>parikymmentä milliä. Ei noin suurta rakoa synny
>kiskon päiden väliin, vaikka käytettäisiinkin
>pulttiliitosta
Niinhän se ennenaikaan oli. Kyllä junakyyti oli silloin melkoista kolkuttelua kovilla pakkasilla. Kesäaikaan liikuntavara sulkeutui kiinni, ja kyyti oli paljon hiljaisempaa. Se liikuntavara ei toki riittänytkään, vaan hellekäyrien takia piti veturinkuljettajien olla aina valppaana, siltikin onnettomuuksia sattui.
http://www.onnettomuustutkinta.fi/29690.htm
http://vaunut.org/kuvasivu/29424Viimeeksi kun katsoin, niin kyllä ratakisko oli koostettu paloista ja näiden palojen välissä oli todellakin välit. Siitä se junan äänikin osaltaan kuuluu.
- Tiiseli
häh? kirjoitti:
Viimeeksi kun katsoin, niin kyllä ratakisko oli koostettu paloista ja näiden palojen välissä oli todellakin välit. Siitä se junan äänikin osaltaan kuuluu.
Et sitten ole rautateillä matkustanut viimeisen neljännesvuosisadan kuluessa? Vai katsoitko jotakin teollisuusraidetta? Nykyisin junat eivät kolkata niinkuin muinoin, sillä kisko on todellakin hitsattu yhtenäiseksi.
Tässä sinulle tietoa netistä:
--
3. Miksi kiskojen välissä ei ole enää rakoa? Mitä tapahtuu helteellä kiskoille?
Alunperin raot tarvittiin, koska teräksiset (aiemmin rautaiset) kiskot venyvät lämmetessään (lämpölaajeneminen). Talvella raot ovat suurimmillaan. Myöhemmin katkaistiin kiskojen päät viistosti, jolloin rako ei ollut enää kohtisuorassa liikkeeseen nähden. Pyörät kulkivat raon yli tällöin jouhevammin.
Nykyään rakoja ei ole uusilla kiskotuksilla, sillä kiskojen tuenta on kehittynyt (lujempi kiskon kiinnitys pölkkyyn, betoniset ratapölkyt, tukeva raidesepeli). Tällöin voidaan hitsata kiskot kiinni toisiinsa, jolloin lämpötilan muutos ei pääse muuttamaan kiskon pituutta. Luja kiinnitys pölkkyihin pitää kiskon paikallaan, ja kiskoon kerääntyy jännitystä (vrt. kokoon painettu tai venytetty jousi).
Nykyään raiteet pyritään rakentamaan kesällä (tai kiskoja lämmitetään raidetta rakennettaessa), jotta kiskot olisivat pisimmillään. Tällöin ilman viileneminen pyrkii lyhentämään kiskoja, mutta ne pysyvät mitassaan ollessaan päistään toisistaan kiinni. Kisko on tällöin jännittynyt kuten venytetty jousi. Joskus on tapahtunut kiskon katkeamisia, kun hitsaussauma on pettänyt. Jos kiskot kiinnitettäisiin kylmänä, lämpölaajenemisen aiheuttama paine pyrkii painamaan kiskonpätkiä yhteen. Nämä kun ovat kuitenkin hitsattuina kiinni toisissaan, jännitys pyrkii taivuttamaan kiskoa mutkalle. Silloin tällöin tällaisessa tilanteessa kiskojen tuenta pettää, ja raide menee mutkalle. Tätä tapahtuu toisinaan helteillä. (Lajunen)
http://www.kotimaki.com/rautatie/faq/SHRFAQB2.HTM
--
Lisätietoa:
http://www.talentum.com/doc.te?f_id=649303
- soikio
Tässä tehtävässä määrättiin ,että se kisko nousee ympyränkaarelle,mutta mikä käyrä se todellisuudessa on ,jos sen kiskon päät ovat edelleen kiinni samassa paikassa ja keskikohta nousee 19 metriä?
Sehän oli ympyränkaari jo ennestään ja jota sitten venytetään keskikohdasta.
Ei se ainakaan ympyränkaarena pysy ,mutta onko se joku muu avaruuskäyrä?
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Suomen kansa haluaa Antti Lindtmanista pääministerin
Lindtman on miltei tuplasti suositumpi kuin etunimikaimansa Kaikkonen. Näin kertoo porvarimedian teettämä kysely. http2604596Vain 21% kannattaa Lindtmania pääministeriksi
se on selvästi vähemmän kuin puolueen kannatus, mites nyt noin?1323003Miten löydän sinut
Ja saan sanottua kaiken mitä haluan sinulle kertoa? Ja kuinka kuuntelisit minua sen hetken? Kuinka voin ilmaista sen mit432776Yöllinen autolla kaahari Heinolan seudulla
Asukkaita häiriköivän nuoren herran autokaahaus keskustelu poistettu, onko jokin hyvävelijärjestelmä käytössä ?751749Vaikea tilanne
Hieman kolkuttaa omatuntoa, kun on osoittanut kiinnostusta väärää naista kohtaan. En ymmärrä miten toinen on voinut te1061604Jouluksi miettimistä: kuka tai mikä valmistaa rahan?
Nyt kun on ollut vääntöä rahasta ja eritoten sen vähyydestä, niin olisi syytä uida rahan alkulähteille, eli mistä se syn281493- 551334
- 931245
- 471119
Julkinen sektori on elänyt aivan liian leveästi yli varojensa!
Viimeisen 15 vuoden aikana julkisen puolen palkat ovat nousseet n. 40%, kun taas yksitysellä sektorilla vain n. 20%. En2081116