Polynomin arvot

Polynomilogi

Miten todistetaan, että reaalilukumuuttujan reaalilukuarvoinen polynomi
p(x)=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50
voi saada vain ei-negatiivisia arvoja?

26

1037

Äänestä

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • Noinkohan

      Rationaalijuurilause tai rationaalijuuritesti kertoo, millaisia rationaalijuuria kokonaislukukertoimisella polynomiyhtälöllä
      f(x)=a{n}*x^{n} a{n-1}*x^{n-1} --- a{1}x a{0}=0
      voi olla. Lause sanoo, että jos a0 ja an eivät ole nollia, ja yhtälöllä on rationaalijuuriratkaisu p/q, missä syt (p,q)=1, niin p jakaa termin a0 ja q jakaa termin an.
      Ongelman tapauksessa tuo p/q = 50/26 = 25/13. Noiden tekijöillä kun kokeilee, huomaa että juurta ei ole. Kun f(x) on jatkuva ja esim. f(0)>0, voidaan todeta että aina f(x)>0.

      • Noinkohan

        Pitäisi kylläkin todistaa myös irrationaalilvuille.

    • polyimuri

      Sehän pitäisi mennä tästä, eli polynomin saa muutettua kahden nelöllisen polynomin summaksi. Siinä tulee kuitenkin liian monta ± vaihtoehtoa neliöjuurien myötä tutkittavaksi. Mahdoton homma:

      (Ax^3 Bx^2 C)^2 (Dx^2 Ex F)^2=26x^6-30x^5 13x^4-72x^3 46x^2-4x 50

      • Polynomilogi

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

      • polyimuri
        Polynomilogi kirjoitti:

        Nimimerkki 'Polyimuri' on hyvin lähellä ratkaisua. Vielä kun käytetään hiukan 'hoksottimia'', niin lopullinenkin ratkaisu löytyy. Ratkaisun avaimet ovat käsiemme ulottuvilla.

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        Luulin, että tämä olisi mennyt tuon uskonvahvistuksen jälkeen lähtemällä tuosta alusta vaan täydentämään neliöiksi, eli lopputuloksena olisi ollut kolmen binomipolynomineliön summa plus positiivinen vakio, mutta ei se niin mennytkään. Loppun tuli tekemätön paikka.
        Laita vaan se ratkaisu, minä ainakin olen tätä jo tarpeellisen määrän pyöritellyt(lue ilta ja yö).
        Tässä on nyt jotain, mitä minä en vaan näe...

        Taikka joo, (5x^3-3x^2-7)^2 (x^3 2x-1)^2

    • Algebrikko
    • MattiKSinisalo

      Nyt en kyllä ymmärrä, miksi täysin asiallinen vastaukseni poistettiin.
      Totesinhan siinä vain, että tietokoneella ratkaisut ovat helposti löydettävissä, ja annoin luettelon kirjoittamallani tietokoneohjelmalla löytämistäni ensimmäisistä ratkaisuista.
      p(x)=(x^3 2*x-1)^2 (5*x^3-3*x^2-7)^2,
      2*p(x)=(4*x^3-3*x^2-2*x-6)^2 (6*x^3-3*x^2 2*x-8)^2,
      4*p(x)=(2*x^3 4*x-2)^2 (10*x^3-6*x^2-14)^2,
      5*p(x)=(3*x^3-3*x^2-4*x-5)^2 (11*x^3-6*x^2 2*x-15)^2,
      5*p(x)=(7*x^3-3*x^2 4*x-9)^2 (9*x^3-6*x^2-2*x-13)^2,
      8*p(x)=(8*x^3-6*x^2-4*x-12)^2 (12*x^3-6*x^2 4*x-16)^2,
      9*p(x)=(3*x^3 6*x-3)^2 (15*x^3-9*x^2-21)^2,
      10*p(x)=(2*x^3-3*x^2-6*x-4)^2 (16*x^3-9*x^2 2*x-22)^2,
      10*p(x)=(8*x^3-3*x^2 6*x-10)^2 (14*x^3-9*x^2-2*x-20)^2,
      13*p(x)=(7*x^3-6*x^2-6*x-11)^2 (17*x^3-9*x^2 4*x-23)^2,
      13*p(x)=(13*x^3-9*x^2-4*x-19)^2 (13*x^3-6*x^2 6*x-17)^2,
      16*p(x)=(4*x^3 8*x-4)^2 (20*x^3-12*x^2-28)^2,
      17*p(x)=(x^3-3*x^2-8*x-3)^2 (21*x^3-12*x^2 2*x-29)^2,
      17*p(x)=(9*x^3-3*x^2 8*x-11)^2 (19*x^3-12*x^2-2*x-27)^2,
      18*p(x)=(12*x^3-9*x^2-6*x-18)^2 (18*x^3-9*x^2 6*x-24)^2,
      20*p(x)=(6*x^3-6*x^2-8*x-10)^2 (22*x^3-12*x^2 4*x-30)^2,
      20*p(x)=(14*x^3-6*x^2 8*x-18)^2 (18*x^3-12*x^2-4*x-26)^2
      ...
      Näistä ensimmäinen oli siis nimimerkin 'polyimuri' löytämä.

      • Huutiukko

        Tietononeella ratkaisu löytyy helposti jos sitä nyt pitää ratkaisuna. Kyseessä on polynomi P(x) ja esim. WolframAlpha antaa yhtälön P(x) = 0 juuret. Näitä on kuusi, kolme kompleksista konjugaattilukuparia. Reaalijuuria ei ole, joten reaalisia nollakohtia ei ole ja koska esim.P(0) = 50 > 0 niin P(x) > 0 kaikilla arvoilla reaaliarvoilla x. W-A piirtää pätkän tuon funktion kuvaajaakin .

    • arvelus

      Luulen, että suomi24 -palstoilla vaivihkaa ja kaikessa hiljaisuudessa harjoitellaan robottisensuuria, mutta homma on vielä pahasti vaiheessa, mm.ylläolevan kaltaiset tekstit ovat haasteellisia, robotti voi luulla noita linkkiluetteloiksi tmv.

      Muilla palstoilla voi auttaa jos jotain 'uhanalaista' ympäröi vaikka pupputekstillä, ja väleihinkin voi laittaa jotain tuketta... ;)
      ps. tekoälyn kanssa taistelu - riesa vai haasteellista älyn virikettä??
      ps2. matematiikka palstalla noihin lisä-äly -virikkeisiin ei liene järin suurta tarvista

    • KyllaSeSiitaSuttaantuu

      Lisähaastetta tietokonematematiikkaguruillemme, ja muillekin. Kuka osaa osoittaa arvoiltaan ei-negatiiviseksi, ts. neliöidä, seuraavan reaalimuuttujan reaalilukuarvoisen ja reaalilukukertoimisen polynomin?
      Polynomi
      q(x)=58*x^10-42*x^9 11*x^8 42*x^7 53*x^6-160*x⁵ 118*x^4 22*x^3-56*x^2-20*x 74

      • polyimuri

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

      • matikanyritteliäs

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

      • matikanyritteliäs
        matikanyritteliäs kirjoitti:

        En tiedä neliöinnistä saati miten tämä todistetaan kokonaisuudessaan. Huomasin jotain. Ainakin jos x>=0, niin 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x-1)^2(x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0. Riittää todistaa neljännen asteen polynomifunktio positiiviseksi.

        Mitenköhän negatiiviset luvut? Ainakin tekemällä muuttujanvaihto x->-x voidaan tarkastella yhtälöä positiivisilla luvuilla, jolloin voi käyttää muun muassa aritmeettis-geometrista epäyhtälöä. Sii s pitäisi osoittaa, että kun x>0, on voimassa 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>0. Mutta 58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x 74>58x^10 42x^9 11x^8-42x^7 53x^6 160x^5 118x^4-22x^3-56x^2 20x=x(58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20). Pitäisi siis keksiä, miksi 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0. Takas suttupaperin ääreen.

        Tuota vikaa epäyhtälöä varten riittää todistaa, että 160x^4 118x^3-22x^2-56x^1 20>0 kun x>0 ja 58x^9 42x^8 11x^7-42x^6 53x^5>0 kun x>0. Jälkimmäinen on yhtäpitävää sen kanssa, että 58x^4 42x^3 11x^2-42x 53>0 kun x>0.

      • matikanyritteliäs

        Eli kun x>0, on 58x^10-42x^9 11x^8 42x^7 53x^6-160x^5 118x^4 22x^3-56x^2-20x 74=(x^3-x^2-x 1)(58x^7 16x^6 85x^5 85x^4 207x^3 47x^2) 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74>0, koska 287x^4-138x^3-103x^2-20x 74=(16x^2-4x-5)^2 (31x^4-10x^3 x^2) (40x^2-60x 49). Diskriminantin avulla nähdään, että 31x^4-10x^3 x^2=x^2(31x^2-10x 1)>0, sillä (-10)^2-4*31*1=100-124<0 ja 40x^2-60x 49>0, koska (-60)^2-4*40*49=-4240.

        Jos x<0, voidaan korvata x -x:llä ja pitää todistaa 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0. Vaikuttaisi todella heikolta epäyhtälöltä.

      • matikanyritteliäs

        Epäyhtälö 58*x^10 42*x^9 11*x^8-42*x^7 53*x^6 160*x^5 118*x^4-22*x^3-56*x^2 20*x 74>0 kun x>0 on helppo. Jos x>=1, on 58x^10>42x^7 ja 160x^5>22x^3 56x^2. Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56. Samoin myös 53x^6>42x^7. Eli eipä tuohon tarvittu tietokonetta.

      • polyimuri
        polyimuri kirjoitti:

        (±7x^5 AX^4 BX^2±7)^2 (±3X^5 CX^3±2X±5)^2

        Tommosesta lähtisin liikkeelle, sis jos ehtisin tätä nyt ratkaista. Sulkujen sisällä olevia termejä x^4, x^3, x^2 varmaan pitää muutella keskenään toisin, mutta tosta alkaisin.

        (7x^5-4x^3 6x^2 2x-5)^2 (-3x^5 7x^4-3x^3 7)^2

      • koodimatikisti

        Hmm. Python 2:sta tuo olikin.

      • mathFM

        Tämän voi ratkaista helposti tietokoneella. Ensiksi saadaan Samuelsonin epäyhtälöllä, että mahdolliset juuret ovat välillä ]-0.216...,0.316...[ kun pyöristetään oikeisiin suuntiin. Sitten Sturmin lause välillä [-1,1] todistaa hetkessä, että juuria ei ole.

      • yksvaanma

        Ei Samuelsonin ey toimi kun kaikki juuret eivät ole reaalisia. Fujiwaran, Cauchyn, Kojiman ja Lagrangen rajat toimivat.

    • NoinOn

      "Jos taas 0<x<1, on 74 20x>=22x^3 56x^2 koska 74 20>22 56."

      Jos yritetään todistaa "simppelisti" että tuo vasen puoli on suurempi kuin oikea oletetulla välillä, pitää valita vasemmalle puolelle minimiarvo ko välillä ja oikelle maksimiarvo. Vasen puoli saa minimin 74, kun x=0. Oikea puoli saa maksimin 78, kun x=1. Eli noin ei voi todistaa.

      • matikanyritteliäs

        Jos 0<x<1, niin 0<x^2<2, josta 0<56x^2<56.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<x, josta 0<20x^3<20x.
        Jos 0<x<1, niin 0<x^3<1, josta 0<2x^3<2.

        Lisätään epäyhtälöt puolittain, jolloin 0<22x^3 56x^2<58 20x<74 20x.

      • matikanyritteliäs

        Typo: Jos 0<x<1, niin 0<x^2<1, josta 0<56x^2<56.

    • tractor

      No mutta se oli ilkeästi sanottu :(

      • tractor

        Sano heille vaikka terveisiä IMAGINAARI-tasolta :p

    Ketjusta on poistettu 5 sääntöjenvastaista viestiä.

    Takaisin ylös

    Luetuimmat keskustelut

    1. Medvedev: Suomi tuhoutuu ydinsodassa ensimmäisenä

      Venäjän ydinaseilla on lyhyin matka Suomeen, joten ydinsodassa Suomi tuhoutuu heti sodan alkuminuuteilla, muilla mailla
      Maailman menoa
      472
      1366

    2. Rakastan sinua

      Anteeksi että epäilin sinua.. ❤️
      Ikävä
      64
      1136

    3. Mitähän meinaat

      Vai meinaatko mitään kohtaamisen suhteen?
      Ikävä
      61
      852

    4. Oletko hyljännyt minut mies?

      Toivottavasti et. 🥺🥺🥺🥺🥺
      Ikävä
      61
      815

    5. Hotellille löytyi ostaja....

      Tämän päivän Kainuun Sanomissa oli uutinen, että pesänhoitajan mukaan Hotelli Kainuu myydään ensiviikolla. Hieno homma,
      Kuhmo
      18
      767

    6. Onko se loukkaavaa

      Kun joka kerta tuijotan sun peppua. En mahda sille mitään, että se vangitsee katseeni. Pohdin vain että ei minusta ole k
      Ikävä
      100
      733

    7. Sinä. Just sinä.

      Palataan ajassa taaksepäin vuosi tai kaksi. Mitä tekisit toisin jos voisit?
      Ikävä
      72
      704

    8. Onko kaivattusi seinäruusu?

      Kun hän saapuu paikalle, huomaako kukaan, vai kääntyvätkö päät? Onko se hyvä vai huono juttu? Oletko sinä huomattu vai
      Ikävä
      49
      681

    9. Jippii ! Zoon konkurssia tutkitaan .

      Vihdoinkin jotakin tietoa.
      Ähtäri
      30
      677

    10. Tiedätkö kaivattusi musiikkimaun?

      Minkälaisesta musiikista hän pitää?
      Ikävä
      62
      664
    Aihe
    TietosuojaselosteKäyttöehdotEvästeasetuksetSäännöt