Pitäisi osoittaa että x lnx on konveksi välillä ]0,inf[
Haluaisin käyttää määritelmää enkä mitään derivaattajuttuja.
Eli f on konveksi, jos f[cx (1-c)y] < cf(x) (1-c)f(y) kaikilla x, y, c, epäyhtälössä yhtäsuuruus mukana, ja c välillä (0,1)! Olen saanut, että
f[cx (1-c)y] = cx ln[cx (1-c)y] (1-c)y[cx (1-c)y]
Miten pääsisin siihen, että edellinen rivi < cx lnx (1-c)y lny.
Sulkujen sisältä pitäisi siis saada ylimääräiset jutut siivottua.
Haluaisin käyttää määritelmää enkä mitään derivaattajuttuja.
Eli f on konveksi, jos f[cx (1-c)y] < cf(x) (1-c)f(y) kaikilla x, y, c, epäyhtälössä yhtäsuuruus mukana, ja c välillä (0,1)! Olen saanut, että
f[cx (1-c)y] = cx ln[cx (1-c)y] (1-c)y[cx (1-c)y]
Miten pääsisin siihen, että edellinen rivi < cx lnx (1-c)y lny.
Sulkujen sisältä pitäisi siis saada ylimääräiset jutut siivottua.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Jaahas, kolmanneksi viimeiseltä riviltä unohtui ln hakasulkujen edestä...
"Derivaattajuttu" on täysin yksikesitteisesti yhtä eli ekvivalenttia "määritelmän" kanssa. Siis konveksisuus voidaan määritellä tapaan:
f''(x)>0 f on konveksi.
Siis jos 2. asteen derivaatta >0, niin 1. asteen derivaatta on koko ajan kasvava.
Saadaan
f(x)=x * ln(x)
f' (x)=ln x 1
f''(x) = 1/x > 0 , kun x \in (0, inf)
Riittääkö tämä? On eksakti todistus.
No eiköhän se vältä, kun en muutakaan osaa. Ja tämä derivaattajuttuhan olikin toki ihan selvä, mutta meinasin vain, että funktion kasvavuus/vähenevyyskin on yleensä tyylikkäämpää osoittaa suoraan näyttämällä, että a > b => f(a) > f(b), kun taas derivaatat ei ole ihan niin hieno tapa. Väännän aiheesta tutkielmaa, niin siksi mietin "vaikeampia" tapoja tehdä helppo asia.
Oletko näyttänyt, että nuo määritelmät eli antamasi ja tuo 2. derivaatan avulla annettu ovat ekvivalentteja? Sehän on melko helppo lasku, kun käytät differentiaalilaskennan väliarvolausetta. En tiedä oletko tuohon törmännyt (millä tasolla opiskelet?), mutta löytyy esim. tuolta:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Differentiaalilaskennan_väliarvolause
Jos osoitat määritelmien yhtäpitävyyden, niin silloinhan olet osoittanut väitteen käytten tuota omaa alkuperäistä määritelmääsi ; ).