Olkoon pallo x^2 y^2 z^2 = r^2. Jos tästä pallosta (pallon kuoresta) irroitetaan osa, joka on vaikka 1/5 pallon ulkopinta-alasta, niin mikä on syntyvän kupin tilavuus?
Tuli vaan äsken ihan kuriositeettina mieleen. Itselle ei ainakaan ihan nopeasti valjennut, että miten tuota tulisi lähestyä.
Tuli vaan äsken ihan kuriositeettina mieleen. Itselle ei ainakaan ihan nopeasti valjennut, että miten tuota tulisi lähestyä.
Vastaukset 19
Vanhimmat
... osan muodosta.
Tehtävä helpottuu, jos leikkaamme kulhon irti, 'pallon pinnalle piirrettyä ympyrää' pitkin.
Luonnollinen tapa lähestyä tehtävää on ensin laskea, että kuinka suuren osan menetämme kohtisuorasta säteestä. Toisin sanoen, laskemme irroitetun kulhon syvyyden.
Sitten käytämme helppoa triplaintegraalia uuden tilavuuden selvittämiseen.
Tai siis... tuplaintegraali varmaankin riittää.
Kaavat ovat ihan ok, mutta kyseessä on lähinnä ratkaisun lunttaaminen. Integroimalla ne kaavat voi johtaa nopeasti, eikä niitä tarvitse siten muistaa ulkoa.
... jopa ihan perinteinen yksöisintegraali riittää, sillä tiedämme ympyräkiekon pinta-alan jo valmiiksi. :)
Miten leikkaat palloa? Toivottavasti seuraavista kaavoista on apua:
http://mathworld.wolfram.com/SphericalSector.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalSegment.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCap.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalCone.html
http://mathworld.wolfram.com/SphericalWedge.html
Piirretään ympyrä jonka keskipiste on r,0
Sen yhtälö on y^2 (x-r)^2=r^2 eli
y^2=2xr-x^2
Pallosegmentti syntyy kun tuo pyörähtää matkalla h x-akselin ympäri.
Sen tilavuus V=pii*(määrätty integraali (y^2))dx
välillä 0-h
V=pii*(rx^2-x^3/3) välillä 0-h=pii*h^2*r-pii*h^3/3
Pallosegmentin ala on tuon derivaatta
A=2pii*h*r pii*h^2-pii*h^2=2pii*h*r
Sen piti olla viidesosa pallon alasta 4pii*r^2
2pii*h*r=4pii*r^2/5, josta h=2r/5
Sijoittamalla tulee pallosegmentin, jonka korkeus on h, tilavuudeksi
V=(52/375)*pii*r^3
... sittenkään pallosegmentin ala? Tuo näyttää epäilyttävästi h-korkuisen sylinterin pinta-alalta!
Väittäisin, että laskemasi 'tilavuus' on itse asiassa tuo pinta-ala.
... en väitä jälkimmäistä sittenkään. Mutta ihmetys tuosta sylinteristä pitää. ;)
... riittänee, että otamme toisen integraalin pinta-alaa varten:
A= 2pii (int_{0...h} (y) dx)
Sitten ratkaisemme tuosta h:n.
Joo, juuri sitä tuossa ihmettelin enimmäkseen, että riittääkö tuohon vähempikin tieto, koska mulla ei kovin paljoa yliopistotason matikkaan ole takana, vai tarviiko mun ymmärtää enemmänkin pallogeometriasta tms. Kiitosta vain vastanneille, pitää kummastella lisää, ja katsoa miten tuo aukenee.
Tuota voi testata tällä:
http://www.hpcsoft.com/products/MathSoL/geom/segmentsphere.html
Asetetaan
r=10
h=2r/5=4
b=0
a saadaan alkuperäisestä ympyrän yhtälöstä
y^2=2xr-x^2, x=h=4 ja r=10, tulee y=8=a
sijoitetaan laskimeen ja volumeksi tulee V=435,6
ja pinta-alaksi, top surface area, A= 251,3
Laskemalla:
V= (52/375)*pii*r^3=pii*52000/375=435,6
A=2pii*h*r=2pii*(2/5)*10*10=80pii=251,3
... viidesosan halkaisijasta. Sitähän ei kysytty niin, vaan tarkoitus oli ottaa viidesosa pallon pinta-alasta!
Siispä kukaan ei ole vielä antanut oikeita numeerisia vastauksia...
... tuo h=2r/5 on itsestäänselvästi väärin. Kyseessä on pallopinta, ei sylinteri.
Kannattaa välillä ottaa järki käteen ja ajatella mitä tekee, eikä vain sijoittaa lukuja valmisohjelmiin. Muuten tuloksena voi olla aivojen kuihtuminen pois.
En pääse muuhun kuin tuohon lopputulokseen:
http://www.oph.fi/etalukio/pitka_matematiikka/kurssi3/maa3_teoria11.html
Koko pallon pinta-ala on 4piir^2, ja pallokalotin
pinta-ala on 2pii*h*r
Näiden suhde on 4piir^2/(2pii*h*r)=2r/h
ja sen piti olla 5 , eli 2r/h=5, josta h=2r/5
... heittää linkkiä pöytään: jos et osaa todistaa kaavaasi, se voi yhtä hyvin olla väärin. Kukaan ei ole vielä vakuuttavasti näyttänyt asiaa todeksi.
... löytyy sitten täältä: http://mathworld.wolfram.com/Zone.html
Siinä ainoa oikeasti valaiseva linkki tähän asti annetuista. Kuten artikkelissa sanotaan, tulos on erittäin yllättävä. Jos todistusta ei tiedä, sitä ei kannata uskoa.
Ja joku etälukio nyt on tunnettu virheistään muutenkin -- mikä se sellainen sivu on missä 'opetetaan' asioita todistuksitta?
"Siinä ainoa oikeasti valaiseva linkki tähän asti annetuista. Kuten artikkelissa sanotaan, tulos on erittäin yllättävä."
Minusta somewhat=jossainmäärin, ei erittäin.
"Jos todistusta ei tiedä, sitä ei kannata uskoa."
Ai eikö? Gradua tehdessä törmäsin ongelmaan, joka ei ihan helposti ratkennut. Kysyin ohjaajalta, joka antoi vinkkejä todistukseen. Samana iltana vinkkien pohjalta todistin lauseen, sillä uskoin menetelmän toimivan. Jos en olisi uskonut, graduni olisi vieläkin kesken. Uutta matematiikkaa opiskellessa kannattaa pitää mieli virkeänä ja uskoa, että vaikka jokin menetelmä ei toimisi, siitä voi olla jossain toisessa asiassa hyötyä. Joskus voi usean epäonnistumisen jälkeen keksiä juuri sen toimivasn idean, johon tarvitaan epäonnistuneiden todistusten päteviä osatuloksia.
Toisaalta luin yhtä artikkelia, josta sain idean yhteen toiseen ongelmaan. Sain sen pohjalta ratkaistua ongelman. Tämän jälkeen oli mukava perehtyä artikkelin todistukseen. Enpä olisi taaskaan ongelmaa ratkaissut, jollen olisi uskonut alkuperäisen artikkelin lauseeseen.
Tuossa ylempänä johdin pallokalotin tilavuudelle ja alalle yhtälöt ilman minkäänlaisia linkkejä.
Pistäpä tänään leopardikuvioo päälle, lähde paanalle ja pidä loppuviikko talvilomaa.
Sinä olet selvästi loman tarpeessa.
Ei integraalista voi joka tilanteessa ottaa derivaattaa ja olettaa saavansa mitä haluaa, ainakaan ilman perusteluja!
Toimenpiteen kanssa täytyy olla todella varovainen. En vanno mitään, mutta luulenpa että siinä saattoi tulla oikea vastaus vahingossa. Oikeastaan sillä ei ole mitään väliä oliko vastaus oikein, jos todistus ei vakuuta lukijaansa.
... en suinkaan tarkoittanut, ettäkö mieli pitäisi sulkea eri mahdollisuuksilta, vaan peräänkuulutin todistusten arvoa arvausten ja lunttausten edelle. Jos todistit väitteesi, hyvä sinulle.
Tietysti riippuu mikä on lähde: jos se on avoimen yliopiston nettisivu, ilman lähdetietoja ja ilman todistuksia, en luottaisi kyllä mihinkään. Yksi pieni kirjoitusvirhe voisi tehdä kummia...
Matemaatikoilla on tapana olla ylivarovaisia ja yliskeptisiä asioista ennen kuin he todistavat ne -- yleensä se toimii hyvin, mutta en nyt ota kantaa meneekö varovaisuus liiallisuuksiin. En usko sen haittaavan luovuutta kovinkaan paljon. On hyvä idea yrittää todistaa itsensä vääräksi.
Oliko kukaan todistanut ongelmaasi aiemmin? Jos aiot keksiä jotain ihan uutta, yksi idea sadasta toimii, joten siinä menee elämä hukkaan, jos ei osaa myöskin antaa sopivasti periksi.
As for 'somewhat', ok, the author was conservative and thought it was 'somewhat surprising', whereas I think it was bloody amazing!