Potenssilaskua

No esimerkiksi 5^3,5= 5^(7/2)=sqrt(5^7)

Korotetaan seittemänteen ja otetaan neliöjuuri... sehän on laskettavissa pännällä ja paprulla

Tai sitten
x^3,5
= x^3 * x^0,5
= x^3 * sqrt(x),
niin ei tule kuin neljä kertolaskua, joskin viimeinen "sekavan" luvun sqrt(x) kanssa (jos oletataan että x on joku helppo luku lähtiässäkään).

Huomaa tosin, että seitsemmännenkin potenssin voi laskea
x^7
= x * x^6
= x * (x^2)^3
= x * (x^2) * (x^2)^2
eli kun olet kerran laskenut toiseen korotetun arvon, niin korota se (eli x^2) toisen kerran toiseen ja sitten laske yo. tulo.

Jos tahdot siis laskea a^3,5 missä a>0 on mikä tahansa reaaliluku ja tahdot lukuarvon vastaukseksi niin ongelmaksi tulee neliöjuuren laskeminen mielivaltaisesta luvusta. Siihen ei ole kuin likimääräisiä menetelmiä. Intuitiivisin on puolitusmenetelmä, missä kokeillaan 2. potensseja onko liian suuri vai pieni ja pienennetään väliä kunnes on saavutettu haluttu tarkkuus. Parempi menetelmä on Newton-menetelmä, mutta se vaatii derivaatan ymmärtämistä.

Ja yleisesti esimerkiksi tietokoneet laskevat tuon lausekkeen
a^3,5=exp(3,5*ln(a)) eli ottavat luonnollisen logaritmin kantaluvusta, kertovat tuloksen 3,5 ja laskevat eksponenttifunktion exp(x) (eli e^x) arvon. Kysymys palautuu kuinka lasketaan logaritmi ja eksponenttifunktio. Molemmissa joko käyttämällä Taylorin polynomeja tai Pade-approksimantteja (ne ovat periaatteessa kahden polynomin osamääriä eli esim. muotoa (ax^2 bx c) / (dx^2 ex f) )

Mutta jos sinulla on onnea niin neliöjuuri on joku mukava rationaaliluku silloin homma on yksinkertainen esim.
4^3,5=4*4*4*sqrt(4)=4*4*4*2=128.

Yllättävää ettei neliöjuurta voi täsmällisesti laskea tavallisilla peruslaskutoimituksilla...

Yo. vastaukset perustuivat siihen että kysyjän eksponentissa oli tuo puolikas ja saatiin tuo neliöjuuren laskeminen mukaan.

Yleisessä tapauksessa, jos kerran laskukonetta ei käytetä, muistutan mieliin vanhan kunnon logaritmitaulun.

Ja kyllä kaikki paitsi raja-arvon (limes) sisältävät laskut viime kädessä perustuvat peruslaskutoimituksiin. Eipähän muita laskutoimituksia ole. Paitsi tuo "transkendenttinen" toimitus "limes".

5^3.5 = 5^3 * 5^0.5 = 125 * neliöjuuri(5)

Lasketaan neliöjuuri(5) iteroimalla. Ensin etsitään suurin mahdollinen kokonaisluku, siis kokonaisosa. Se on 2, koska 2^2=4 eli vielä alle 5. Haetaan kakkosen ylittävä osuus muodossa
(2 x)^2 = 5
Tämä voidaan esittää myös muodossa
x=(1-x^2)/4

Iteratiossa
x_n 1 = (1-(x_n)^2)/4

Kun alkuarvoksi arvataan x_0 = 0.50, sadaan jo viidellä iteraatiokierroksella x_5=0.2361403157. Näin ollen 5^3.5 = 125 * (2 0.2361403157)=125*2.236140316 =279.5175394614, kun oikea arvo on 279.5084972. Homma onnistuu nelilaskimellakin melko vaivatta.

Ilmeisesti menettely on nopeampi kuin edellä kuvattu tietokoneella yleisesti käytetty menettely, jossa tarvitaan exponenttifunktion sarjakehitelmää ja lisäksi on laskettava logaritmi(5), sekin sarjakehitelmästä.