Miten todistetaan, että jokin laskutoimitus on hyvin määritelty? Jos meillä on vaikka joukossa X ekvivalenssi ~ ja määrittelemme joukolle X/~ jonkin laskutoimituksen, niin miten todistetaan määritelty laskutoimitus hyvin määritellyksi?
Otetaanko ensin samasta luokasta kaksi edustajaa a, a' in X ja toisesta luokasta b, b' in X ja todetaan, että a b on samassa luokassa kuin a' b'? Jos tämä pitää paikkansa niin seuraako siitä suoraan, että laskutoimitus on hyvin määritelty vai pitää todeta vielä jotain muutakin? Haen takaa tarkkaa päättelyketjua, jolla todistus annetaan.
Hyvin määritelty laskutoimitus
laskukone.
5
1311
Vastaukset
- al-gebra
Oletan nyt, että joukon A laskutoimituksella tarkoitat joukon A binäärioperaatiota. Yleensä tällöin "laskutoimitusta" sanotaan hyvin määritellyksi, mikäli se tosissaan on laskutoimitus. Se miksi pistin tuon laskutoimituksen lainausmerkkeihin on siksi, että siinä itseasiassa vahvistetaan, että meillä on kyseessä funktio (ja siten siis binäärioperaatio) eikä vain joukon A^2 relaatio joukon A kanssa. Tuossa A^2 tarkoittaa siis joukon A karteesista tuloa itsensä kanssa.
Olkoon A joukon X ekvivalenssiluokkien joukko ekvivalenssirelaation ~ suhteen ja olkoon meillä R jokin joukon A^2 relaatio joukon A kanssa, joka toteuttaa tarkoittamasi ehdon. Eli jos ([a],[b])R[x] ja ([a],[b])R[y], niin [x]=[y] (missä hakasulkeet merkkaavat vain sulkeiden sisällä olevan alkion määräämää ekvivalenssiluokkaa relaation ~ suhteen). Mutta tämähän on vain funktion määritelmä, joten relaatio R on funktio joukolta A^2 joukolle A, ja on järkevää puhua joukon A binäärisestä relaatiosta ja siten laskutoimitus on hyvin määritelty.
Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio. Tällöin pitää näyttää että kahden ekvalenssiluokan kuva on yksikäsitteisesti määritelty. Helpoiten se onnistuu yleensä, kun valitaan alkiot a~a' ja b~b' ja osoitetaan, että a b~a' b' kanssa. Tällöin siis relaatio näytetään funktioksi ts. näytetään, että voidaan hyvällä syyllä kutsua binäärioperaatioksi ts. näytetään, että binäärioperaatio on hyvin määritelty.- al-gebra
"Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio."
Siis tämähän vain siis tarkoittaa, että asetetaan relaatio R joukolta A^2 joukolle A s.e.
([a],[b])R([a b])
mutta meillä ei vielä ole mitään takuita, että jos [a]=[a'] ja [b]=[b'], niin päteekö, että
[a b]=[a' b']
eli onko relaatio R funktio.
Anteeksi, vähän hopussa tätä kirjoittelen. - laskukone.
Luulen ymmärtäväni (koitan laskea erästä tehtävää enkä oikein hahmoittanut kokonaiskuvaa).
Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla. - al-gebra
laskukone. kirjoitti:
Luulen ymmärtäväni (koitan laskea erästä tehtävää enkä oikein hahmoittanut kokonaiskuvaa).
Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."
Juu, jälkimmäinen on oikein. Eli yhtäsuuruus pitää osoittaa ekvivalenssiluokkien suhteen osoitetaan, että "relaation kuvat" ovat samassa ekvivalenssiluokassa ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta riippumatta.
Eli käytännössä sie osoitat, että (jos E on joukon X^2 ekvivalenssiluokkien joukko relaation ~ suhteen) joukon E^2 jokainen alkio on relaatiossa (*):n suhteen vain yhden joukon E alkion kanssa. Täten relaatio * on funktio ja siten annettu laskutoimitus on hyvin määritelty. - laskukone.
al-gebra kirjoitti:
"Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."
Juu, jälkimmäinen on oikein. Eli yhtäsuuruus pitää osoittaa ekvivalenssiluokkien suhteen osoitetaan, että "relaation kuvat" ovat samassa ekvivalenssiluokassa ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta riippumatta.
Eli käytännössä sie osoitat, että (jos E on joukon X^2 ekvivalenssiluokkien joukko relaation ~ suhteen) joukon E^2 jokainen alkio on relaatiossa (*):n suhteen vain yhden joukon E alkion kanssa. Täten relaatio * on funktio ja siten annettu laskutoimitus on hyvin määritelty.Joo, nyt selkeni tämäkin.
Kiitos!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 854598
Haleja ja pusuja
Päivääsi kulta 🤗🤗💋❤️❤️❤️ kaipaan sinua Tänäänkin.. Miksikäs se tästä muuttuisi kun näin kauan jatkunut 🥺864426Onko mukava nähdä minua töissä?
Onko mukava nähdä minua töissä vai ei? Itse ainakin haluan nähdä sinut 🤭433759Oi mun haniseni
Mul on ihan törkee ikävä sua. En jaksais tätä enää. Oon odottanut niin kauan, mutta vielä pitää sitä tehdä. Tekis mieli173612Hei rakas sinä
Vaikka käyn täällä vähemmän, niin ikäväni on pahempaa. Pelkään että olen ihan hukassa😔 mitä sinä ajattelet? naiselle402987Kyllä mulla on sua ikävä
Teen muita juttuja, mutta kannan sua mielessäni mukana. Oot ensimmäinen ajatus aamulla ja viimeinen illalla. Välissä läm102794En kirjoita sulle tänne
Enään nainen. Olen kyllä kiltisti enkä ala mihinkään kuin tosirakkaudesta. Kanssasi sitten jos se on mahdollista ja pidä212711IS:n tiedot: Toni Immonen irtisanottiin MTV:ltä Toni Immonen työskenteli pitkään MTV:llä.
IS:n tiedot: Toni Immonen irtisanottiin MTV:ltä Toni Immonen työskenteli pitkään MTV:llä. IS uutisoi torstaina Toni Imm392143Nainen, tunnusta että olet varattu ja tyytymätön suhteeseesi
Ja siksi pyörit täällä ikävä palstalla etsien sitä jotain jota elämääsi kaipaat. ehkäpä olet hieman surullinen, koska ta1581758Savon murteella viäntäminen asiakaspalvelussa?
Olin äsken tekemisissä puhelimitse rahoitusalan firman asiakasneuvonnassa. Tyyppi väänsi leveää savoa oikein perusteelli1171332