Miten todistetaan, että jokin laskutoimitus on hyvin määritelty? Jos meillä on vaikka joukossa X ekvivalenssi ~ ja määrittelemme joukolle X/~ jonkin laskutoimituksen, niin miten todistetaan määritelty laskutoimitus hyvin määritellyksi?
Otetaanko ensin samasta luokasta kaksi edustajaa a, a' in X ja toisesta luokasta b, b' in X ja todetaan, että a b on samassa luokassa kuin a' b'? Jos tämä pitää paikkansa niin seuraako siitä suoraan, että laskutoimitus on hyvin määritelty vai pitää todeta vielä jotain muutakin? Haen takaa tarkkaa päättelyketjua, jolla todistus annetaan.
Otetaanko ensin samasta luokasta kaksi edustajaa a, a' in X ja toisesta luokasta b, b' in X ja todetaan, että a b on samassa luokassa kuin a' b'? Jos tämä pitää paikkansa niin seuraako siitä suoraan, että laskutoimitus on hyvin määritelty vai pitää todeta vielä jotain muutakin? Haen takaa tarkkaa päättelyketjua, jolla todistus annetaan.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Oletan nyt, että joukon A laskutoimituksella tarkoitat joukon A binäärioperaatiota. Yleensä tällöin "laskutoimitusta" sanotaan hyvin määritellyksi, mikäli se tosissaan on laskutoimitus. Se miksi pistin tuon laskutoimituksen lainausmerkkeihin on siksi, että siinä itseasiassa vahvistetaan, että meillä on kyseessä funktio (ja siten siis binäärioperaatio) eikä vain joukon A^2 relaatio joukon A kanssa. Tuossa A^2 tarkoittaa siis joukon A karteesista tuloa itsensä kanssa.
Olkoon A joukon X ekvivalenssiluokkien joukko ekvivalenssirelaation ~ suhteen ja olkoon meillä R jokin joukon A^2 relaatio joukon A kanssa, joka toteuttaa tarkoittamasi ehdon. Eli jos ([a],[b])R[x] ja ([a],[b])R[y], niin [x]=[y] (missä hakasulkeet merkkaavat vain sulkeiden sisällä olevan alkion määräämää ekvivalenssiluokkaa relaation ~ suhteen). Mutta tämähän on vain funktion määritelmä, joten relaatio R on funktio joukolta A^2 joukolle A, ja on järkevää puhua joukon A binäärisestä relaatiosta ja siten laskutoimitus on hyvin määritelty.
Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio. Tällöin pitää näyttää että kahden ekvalenssiluokan kuva on yksikäsitteisesti määritelty. Helpoiten se onnistuu yleensä, kun valitaan alkiot a~a' ja b~b' ja osoitetaan, että a b~a' b' kanssa. Tällöin siis relaatio näytetään funktioksi ts. näytetään, että voidaan hyvällä syyllä kutsua binäärioperaatioksi ts. näytetään, että binäärioperaatio on hyvin määritelty.
"Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio."
Siis tämähän vain siis tarkoittaa, että asetetaan relaatio R joukolta A^2 joukolle A s.e.
([a],[b])R([a b])
mutta meillä ei vielä ole mitään takuita, että jos [a]=[a'] ja [b]=[b'], niin päteekö, että
[a b]=[a' b']
eli onko relaatio R funktio.
Anteeksi, vähän hopussa tätä kirjoittelen.
Luulen ymmärtäväni (koitan laskea erästä tehtävää enkä oikein hahmoittanut kokonaiskuvaa).
Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla.
"Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."
Juu, jälkimmäinen on oikein. Eli yhtäsuuruus pitää osoittaa ekvivalenssiluokkien suhteen osoitetaan, että "relaation kuvat" ovat samassa ekvivalenssiluokassa ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta riippumatta.
Eli käytännössä sie osoitat, että (jos E on joukon X^2 ekvivalenssiluokkien joukko relaation ~ suhteen) joukon E^2 jokainen alkio on relaatiossa (*):n suhteen vain yhden joukon E alkion kanssa. Täten relaatio * on funktio ja siten annettu laskutoimitus on hyvin määritelty.
Joo, nyt selkeni tämäkin.
Kiitos!