Miten todistetaan, että jokin laskutoimitus on hyvin määritelty? Jos meillä on vaikka joukossa X ekvivalenssi ~ ja määrittelemme joukolle X/~ jonkin laskutoimituksen, niin miten todistetaan määritelty laskutoimitus hyvin määritellyksi?
Otetaanko ensin samasta luokasta kaksi edustajaa a, a' in X ja toisesta luokasta b, b' in X ja todetaan, että a b on samassa luokassa kuin a' b'? Jos tämä pitää paikkansa niin seuraako siitä suoraan, että laskutoimitus on hyvin määritelty vai pitää todeta vielä jotain muutakin? Haen takaa tarkkaa päättelyketjua, jolla todistus annetaan.
Hyvin määritelty laskutoimitus
laskukone.
5
1358
Vastaukset
- al-gebra
Oletan nyt, että joukon A laskutoimituksella tarkoitat joukon A binäärioperaatiota. Yleensä tällöin "laskutoimitusta" sanotaan hyvin määritellyksi, mikäli se tosissaan on laskutoimitus. Se miksi pistin tuon laskutoimituksen lainausmerkkeihin on siksi, että siinä itseasiassa vahvistetaan, että meillä on kyseessä funktio (ja siten siis binäärioperaatio) eikä vain joukon A^2 relaatio joukon A kanssa. Tuossa A^2 tarkoittaa siis joukon A karteesista tuloa itsensä kanssa.
Olkoon A joukon X ekvivalenssiluokkien joukko ekvivalenssirelaation ~ suhteen ja olkoon meillä R jokin joukon A^2 relaatio joukon A kanssa, joka toteuttaa tarkoittamasi ehdon. Eli jos ([a],[b])R[x] ja ([a],[b])R[y], niin [x]=[y] (missä hakasulkeet merkkaavat vain sulkeiden sisällä olevan alkion määräämää ekvivalenssiluokkaa relaation ~ suhteen). Mutta tämähän on vain funktion määritelmä, joten relaatio R on funktio joukolta A^2 joukolle A, ja on järkevää puhua joukon A binäärisestä relaatiosta ja siten laskutoimitus on hyvin määritelty.
Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio. Tällöin pitää näyttää että kahden ekvalenssiluokan kuva on yksikäsitteisesti määritelty. Helpoiten se onnistuu yleensä, kun valitaan alkiot a~a' ja b~b' ja osoitetaan, että a b~a' b' kanssa. Tällöin siis relaatio näytetään funktioksi ts. näytetään, että voidaan hyvällä syyllä kutsua binäärioperaatioksi ts. näytetään, että binäärioperaatio on hyvin määritelty.- al-gebra
"Siis, kun määritetään ekvivalenssiluokille funktiota siten, että a ja b:n ekvivalenssiluokat [a] ja [b] kuvautuvat a b:n ekvivalenssiluokalla [a b], niin meillä ei ole mitään varmuutta vielä, että kyseessä on funktio."
Siis tämähän vain siis tarkoittaa, että asetetaan relaatio R joukolta A^2 joukolle A s.e.
([a],[b])R([a b])
mutta meillä ei vielä ole mitään takuita, että jos [a]=[a'] ja [b]=[b'], niin päteekö, että
[a b]=[a' b']
eli onko relaatio R funktio.
Anteeksi, vähän hopussa tätä kirjoittelen. - laskukone.
Luulen ymmärtäväni (koitan laskea erästä tehtävää enkä oikein hahmoittanut kokonaiskuvaa).
Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla. - al-gebra
laskukone. kirjoitti:
Luulen ymmärtäväni (koitan laskea erästä tehtävää enkä oikein hahmoittanut kokonaiskuvaa).
Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."
Juu, jälkimmäinen on oikein. Eli yhtäsuuruus pitää osoittaa ekvivalenssiluokkien suhteen osoitetaan, että "relaation kuvat" ovat samassa ekvivalenssiluokassa ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta riippumatta.
Eli käytännössä sie osoitat, että (jos E on joukon X^2 ekvivalenssiluokkien joukko relaation ~ suhteen) joukon E^2 jokainen alkio on relaatiossa (*):n suhteen vain yhden joukon E alkion kanssa. Täten relaatio * on funktio ja siten annettu laskutoimitus on hyvin määritelty. - laskukone.
al-gebra kirjoitti:
"Oletetaan, että meillä on joukko X^2 ja siinä jokin ekvivalenssirelaatio ~. Määritellään ekvivalenssiluokille binäärinen laskutoimitus vaikka [a,b]*[c,d] = [a c, b d]. Jos on osoitettava, että tämä laskutoimitus on hyvin määritelty, niin on edettävä seuraavasti.
Otetaan kahdesta eri luokasta kaksi edustajaa, vaikka (a,b), (a',b') sekä (c,d) ja (c',d') joille pätee (a,b) ~ (a',b') ja (c,d) ~ (c',d'). Lasketaan (a,b)*(c,d)=(a c, b d) ja (a',b')*(c',d') = (a' c',b' d'). Nyt jos osoitetaan, että a' c' = a c käyttämällä relaation ~ ominaisuuksia (ja vastaavasti b d=b' d') niin on osoitettu, että (a' c',b' d')=(a c,b d) josta seuraa, että [a,b]*[c,d]=[a c,b d] on hyvin määritelty, koska sen tulos ei riipu luokan edustajien valinnasta?
Eikun hetkinen.. pitääkö tuossa osoittaa, että (a' c',b' d') ~ (a c,b d) yhtäsuuruuden sijaan? Niinhän se taitaakin olla."
Juu, jälkimmäinen on oikein. Eli yhtäsuuruus pitää osoittaa ekvivalenssiluokkien suhteen osoitetaan, että "relaation kuvat" ovat samassa ekvivalenssiluokassa ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta riippumatta.
Eli käytännössä sie osoitat, että (jos E on joukon X^2 ekvivalenssiluokkien joukko relaation ~ suhteen) joukon E^2 jokainen alkio on relaatiossa (*):n suhteen vain yhden joukon E alkion kanssa. Täten relaatio * on funktio ja siten annettu laskutoimitus on hyvin määritelty.Joo, nyt selkeni tämäkin.
Kiitos!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kansalla on oikeus tietää miksi persut pettävät
Koko kulunut hallituskausi on kysytty persuilta, minkä vuoksi he ovat pettäneet käytännössä jokaisen vaalilupauksen, ain607502Venäjän armeijan evp-upseeri: Armeija surkeassa tilassa, jonka läpäisee kaiken kattava
valehtelu. Venäläiset alkaneet pohtia julkisesti maan todellisia tappioita. Z-bloggari ja 3. luokan kapteeni (evp.) Mak1232936- 1421776
Kansalla on oikeus tietää mikä on SDP:n talousohjelma jolla maan talous
saadaan nousuun? Miksi puolue piilottelee sitä, vai eikö sitä ole? Tähän asti olemme vaan saaneet kuulla hallituksen ha651649Ammattiliitto 900 euroa/vuosi - Työttömyyskassa 72 euroa/vuosi
Ammattiliitosta eroamalla voi säästää jopa 800 euroa vuodessa. Mitä enemmän tienaat, sitä enemmän maksat liitolle. Esim1151458Miten voit olla niin tyhmä
että et tajunnut että sua vedätettiin? Tietäisitpä miten hyvät naurut on saatu. Naiselle1671404- 1311153
- 75842
Kyriake=Kirkko
Kirkko, Kyriake Kirkko-sana tulee kreikankielen sanasta Kyriake=Herran omat, Kristuksen omaksi kastettujen suuri joukko47802- 52745